1、 机械工程测试技术基础习题解答 教材：机械工程测试技术基础，熊诗波 黄长艺主编，机械工业出版社， 2006年 9月第 3版第二次印刷。 绪 论 0-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。 解答：教材 P45， 二、法定计量单位 。 0-2 如何保证量值的准确和一致？ 解答：（参考教材 P46， 二、法定计量单位 五、量值的传递和计量器具检定 ） 1、对计量单位做出严格的定义； 2、有保存、复现和传递单位的一整套制度和设备； 3、必须保存有基准计量器具，包括国家基准、副基准、工作基准等。 3、必须按检定规程对 计量器具实施检定或校准，将国家级准所复现的计量单位量值经过各级计算标准传递到工作计量器具
2、。 0-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类表示的？ 解答：（教材 P810， 八、测量误差 ） 0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改写为相对误差。 1.0182544V7.8V (25.048940.00003)g (5.4820.026)g/cm2 解答： - 6 67 . 8 1 0 / 1 . 0 1 8 2 5 4 4 7 . 6 6 0 1 6 8 2 / 1 0 60 . 0 0 0 0 3 / 2 5 . 0 4 8 9 4 1 . 1 9 7 6 5 5 / 1 0 0.026 /5.482 4.743 0-5 何谓测量不确定度？国际计量局于 1980 年提出的建议实
3、验不确定度的规定建议书INC-1(1980)的要点是什么？ 解答： (1)测量不确定度是 表征被测量值的真值在所处量值范围的一个估计，亦即由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度 。 (2)要点：见教材 P11。 0-6 为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么是用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程为 150V 的 0.5级电压表和量程为 30V的 1.5级电压表分别测量 25V电压，请问哪一个测量准确度高？ 解答： (1)因为 多数的电工仪表、热工仪表和部分无线电测量仪器是按引用误差分级的 （例如，精度等级为0.2 级的电表，其引用误差为
4、0.2%），而 引用误差 =绝对误差 /引用值 其中的引用值 一般 是仪表的 满度值 (或量程 )，所以用电表测量的结果的绝对误差大小与量程有关。量程越大，引起的绝对误差越大，所以在选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程。 (2)从 (1)中可知，电表测量所带来的绝对误差 =精度等级 量程 /100，即电表所带来的绝对误差是 一定的，这样，当被测量值越大，测量结果的相对误差就越小，测量准确度就越高，所以用电表时应尽可能地在电表量程上限的三分之二以上使用。 (3)150V的 0.5级电压表所带来的绝对误差 =0.5150/100=0.75V； 30V的 1.5级电压表所带来的绝对误
5、差 =1.530/100=0.45V。所以 30V的 1.5 级电压表测量精度高。 0-7 如何表达测量结果？对某量进行 8次测量，测得值分别为： 802.40， 802.50， 802.38， 802.48， 802.42，802.46， 802.45， 802.43。求其测量 结果。 解答： (1)测量结果 =样本平均值 不确定度 或 x sXx x n (2)81 802.448 iixx 8 21()0.04035681iixxs 0 .0 1 4 2 6 88x s 所以 测量结果 =802.44+0.014268 0-8 用米尺逐段丈量一段 10m的距离，设丈量 1m 距离的标准差
6、为 0.2mm。如何表示此项间接测量的函数式？求测此 10m距离的标准差。 解答： (1) 101 iiLL(2) 210 210 .6 m miLLi iL L0-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为 0.5%，求其体积的相对标准差为多少？ 解答：设直径的平均值为 d ，高的平均值为 h ，体积的平均值为 V ，则 24dhV 22 2 2 22 2 2 22222242V d h d hdhVV dh d dh VV 所以 22 224 4 (0 . 5 % ) (0 . 5 % ) 1 . 1 %V d h V d h 第一章 信号的分类与描述 1-1 求周期方波（见图 1-4）的傅里
7、叶级数（复指数函数形式），划出 |cn| 和 n 图，并与表 1-1对比。 解答：在一个周期的表达式为 00( 0 )2()( 0 )2TAtxt TAt 积分区间取（ -T/2， T/2） 000 0 000022020 0 021 1 1( ) d = d + d= ( c os - 1) ( = 0, 1, 2, 3, )TTjn t jn t jn tTTnc x t e t A e t A e tT T TAj n nn 所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001( ) ( 1 c o s )jn t jn tnnnAx t c e j n en ， = 0 , 1 , 2 , 3 ,
8、 n 。 ( 1 c os ) ( = 0, 1, 2, 3, )0nInRAcnnnc 22 2 1 , 3 , ,( 1 c o s )0 0 , 2 , 4 , 6 , n n R n IA n Ac c c n nnn 1 , 3 , 5 ,2a r c ta n 1 , 3 , 5 ,20 0 , 2 , 4 , 6 ,nInnR nc ncn 没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。 图 1-4 周期方波信号波形图 0 t x(t) T02T02 0T A -A T01-2 求正弦信号 0( ) sinx t x t 的绝对均值x和均方根值 rmsx 。 解答： 0 0 0 02 20
9、00 0 02 2 4 211 ( ) d s i n d s i n d c o sT TTTx x x x x x t t x tt tt tT T T T T 22 2 2 00r m s 00 0 01 1 1 c o s 2( )d s in d d2 2T T Txx tx x t t x t t tT T T 1-3 求指数函数 ( ) ( 0 , 0 )atx t A e a t 的频谱。 解 答 ： ( 2 )220 220 ( 2 )( ) ( ) ( 2 ) 2 ( 2 )a j f tj f t a t j f t e A A a j fX f x t e d t A
10、e e d t Aa j f a j f a f 22() ( 2 )kXf af I m ( ) 2( ) a r c t a n a r c t a nR e ( )X f ff X f a 1-4 求符号函数 (见图 1-25a)和单位阶跃函数 (见图 1-25b)的频谱。 |cn| n /2 -/2 0 0 30 50 30 50 2A/ 2A/3 2A/5 幅频图 相频图 周期方波复指数函数形式频谱图 2A/5 2A/3 2A/ -0 -30 -50 -0 -30 -50 单边指数衰减信号频谱图 f |X(f)| A/a 0 (f) f 0 /2 -/2 a)符号函数的频谱 10(
11、) sgn( ) tx t tt t=0 处可不予定义，或规定 sgn(0)=0。 该信号不满足绝对可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。 可以借助于双边指数衰减信号与符号函数相乘，这样便满足傅里叶变换的条件。先求此乘积信号 x1(t)的频谱，然后取极限得出符号函数 x(t)的频谱。 1 0( ) sgn ( ) 0atatatetx t e t et 10( ) sgn( ) lim ( )ax t t x t02 2 211 2204( ) ( ) ( 2 )j f t a t j f t a t j f t fX f x t e d t e e d t e e d t j af 10
12、 1( ) s g n ( ) l i m ( )aX f t X f j f F 1()Xf f 02()02fff t sgn(t) 0 1 -1 t u(t) 0 1 图 1-25 题 1-4 图 a)符号函数 b)阶跃函数 b)阶跃函数频谱 10() 00tut t 在跳变点 t=0处函数值未定义，或规定 u(0)=1/2。 阶跃信号不满足绝对可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不 满足绝对可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可采用如下方法求解。 解法 1：利用符号函数 11( ) sgn( )22u t t 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) sg n ( ) ( ) ( )2 2
13、 2 2 2U f u t t f j f jff F F F 2 211( ) ( )2U f f f 结果表明，单位阶跃信号 u(t)的频谱在 f=0 处存在一个冲激分量，这是因为 u(t)含有直流分量，在预料之中。同时，由于 u(t)不是纯直流信号，在 t=0 处有跳变，因此在频谱中还包含其它频率分量。 解法 2： 利用冲激函数 10( ) ( )d 00t tut t 时时 根据傅里叶变换的积分特性 1 1 1 1( ) ( ) d ( ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 2tU f f f f jj f f F单位阶跃信号频谱 f |U(f)| 0 (1/2) f (f) 0 /2
14、 -/2 1( ) sgn( )atx t e t 符号函数 t x1(t) 0 1 -1 符号函数频谱 f (f) 0 /2 0 f |X(f)| -/2 1-5 求被截断的余弦函数 0cost (见图 1-26)的傅里叶变换。 0c o s()0 t t TxttT 解： 0( ) ( ) c o s( 2 )x t w t f t w(t)为矩形脉冲信号 ( ) 2 s in c ( 2 )W f T T f 00220 1c o s ( 2 ) 2 j f t j f tf t e e 所以002211( ) ( ) ( )22j f t j f tx t w t e w t e 根据
15、频移特性和叠加性得： 000011( ) ( ) ( )22sinc 2 ( ) sinc 2 ( ) X f W f f W f fT T f f T T f f 可见 被截断余弦函数 的频谱等于将矩形 脉冲 的频谱一分为二，各向左右移动 f0，同时谱线高度减小一半。 也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。 1-6 求指数衰减信号 0( ) sinatx t e t 的频谱 解 答 ： 指数衰减信号 x(t) f X(f) T f0 -f0 被截断的余弦函数频谱 图 1-26 被截断的余弦函数 t t T -T T -T x(t) w(t) 1 0 0 1 -1 000 1s
16、 in ( ) 2 j t j tt e ej 所以 001() 2 j t j tatx t e e ej 单边指数衰减信号 1 ( ) ( 0 , 0 )atx t e a t 的频谱密度函数为 11 220 1( ) ( ) j t a t j t ajX f x t e d t e e d t a j a 根据频移特性和叠加性得： 001 0 1 0 2 2 2 22 2 20 0 02 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0( ) ( )11( ) ( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) a j a jX X Xj j a aaa ja a
17、 a a 1-7 设有一时间函数 f(t)及其频谱如图 1-27所示。现乘以余弦型振荡 00cos ( )m t 。在这个关系中，函数 f(t)叫做调制信号，余弦振荡 0cost 叫做载波。试求调幅信号 0( )cosft t 的傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若 0 m 时将会出现什么情况？ 图 1-27 题 1-7 图 F() 0 f(t) 0 t -m m 0 0 X() - () 指数衰减信号的频谱图 解： 0( ) ( ) cos( )x t f t t ( ) ( )F f t F 000 1c o s ( ) 2 j t j tt e e 所以0011( ) ( )
18、( )22j t j tx t f t e f t e 根据频移特性和叠加性得： 0011( ) ( ) ( )22X f F F 可见调幅信号的频谱等于将 调制信号 的频谱一分为二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半。 若 0 m 将发生混叠。 1-8 求正弦信号 0( ) sin ( )x t x t 的均值 x 、均方值 2x 和概率密度函数 p(x)。 解答： (1) 0000 011l im ( ) d si n ( ) d 0TTx T x t t x t tTT ，式中0 2T 正弦信号周期 (2) 00 222 2 2 2 0000 0 0001 1 1 c o s 2
19、 ( )l im ( ) d sin ( ) d d22T T Tx T xx t x t t x t ttT T T (3)在一个周期内 0 1 2 2xT t t t 0002 ( ) l im xxTTT tP x x t x x T T T 22 0 0 00 0 ( ) 2 2 d 1( ) l im l im dxxP x x t x x t tpx x T x T x xx f X(f) 0 -0 矩形调幅信号频谱 第二章 测试装置的基本特性 2-1 进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为 90.9nC/MPa，将它与增益为0.005V/nC的电荷放大器相连，而电
20、荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为 20mm/V。试计算这个测量系统的总灵敏度。当压力变化为 3.5MPa 时，记录笔在记录纸上的偏移量是多少？ 解：若不考虑负载效应，则各装置串联后总的灵敏度等于各装置灵敏度相乘，即 S=90.9(nC/MPa)0.005(V/nC)20(mm/V)=9.09mm/MPa。 偏移量： y=S3.5=9.093.5=31.815mm。 2-2 用一个时间常数为 0.35s的一阶装置去测量周期分别为 1s、 2s 和 5s 的正弦信号，问稳态响应幅值误差将是多少？ 解：设一阶系统 1() 1Hs s ， 1()1H j 2 211( ) ( )2
21、1 ( ) 1 ( )AHT ， T 是输入的正弦信号的周期 稳态响应相对幅值误差 1 10 0%A ，将已知周期代入得 5 8 .6 % 1s3 2 .7 % 2s8 .5 % 5sTTT2-3 求周期信号 x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t45)通过传递函数为 H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。 解： 1()1 0.0 0 5H j ，21() 1 ( 0 .0 0 5 )A ， ( ) a rc ta n (0 .0 0 5 ) 该装置是一线性定常系统，设稳态响应为 y(t)，根据线性定常系 统的频率保持性、比例性和叠加性得到 y(t)=y01cos(10t+1)+y02cos(100t45+2) x(t) 正弦信号 x x+x t t t
