1、1让经验在“破”与“立”中修正教学中如何让学生积累基本活动经验？这一直是一线教师十分关注的话题。笔者认为，结合具体的教学案例来探讨是研究和解决这一问题的有效途径。不久前，笔者就碰到了这样一道极富启发意义的图形面积计算综合题。在对这道综合题的思错、悟错过程中，学生主动修正自己的数学活动经验，取得了较好的教学效果。 一、问题 此题是人教版五年级上多边形的面积单元“整理和复习”后的一道练习题。此题中的小树由 1 个三角形、2 个梯形和 1 个长方形组成，数据繁多，灵活性强。对学生解题思路的严密性和计算的准确性是一大考验。 学生在完成了这道题的尝试作业之后，笔者经过批改、整理，发现该题的解答出现诸多错
2、误，其中最大的问题出现在第（2）小题的解答中。根据样本统计，全班无一人做对。大部分学生都是用“手工纸的面积小树的面积”的方法进行计算。通过教师提示，学生进行了动手操作，结果最终能够剪出 9 棵树的也只有一位同学（而且耗费了很长时间） 。 面对这样的情况，笔者结合学生的计算过程和平时作业进行了思考与分析。 二、思考与分析 1.为什么大部分学生都是用“手工纸的面积小树的面积”的方法？2事实上，从学生学习除法开始，这类“大面积小面积=包含的个数”的思考方法，已成为学生头脑中十分稳固、强势的问题解决经验。从整数除法开始，直至学生前一阶段所学的小数除法，到多边形面积的计算习题（如例 1，摘自五上年级配套
3、的课堂作业本 P.40，该题为三角形面积计算的练习课的课堂练习） ，无不在暗示学生， “大面积小面积=包含的个数”这一方法的普遍适用性。 例 1：某班要做一些如图 1 所示的直角三角形小红旗，一张长 1.2 米、宽 0.8 米的长方形红纸，能做这样的小红旗多少面？ （1.20.8）（0.30.22）=32（面） 答：能做这样的小红旗 32 面 于是在碰到类似问题情境时，学生提取这样的方法进行计算成为自然、唯一的方法（如例 2） 。 例 2：人民医院用一块长 7.2 米、宽 1.8 米的长方 形白布制作包扎用的三角巾（如图 2） ，能做这样的三角巾多少块？ 7.21.8=12.96（米 2） S
4、=ah2=0.90.92=0.812=0.405（米 2） 12.960.405=32（块） 答：最多能做 32 块这样的三角巾 从这两道习题来看，学生经过这样的练习，头脑中已然形成了一定的思维脉络，一旦相似的问题情境出现，头脑中的原有经验便被瞬时激活： 3我们知道，思维定势是思维的一种“惯性” ，指由于先前的活动而形成的一种心理准备状态，它使人以比较固定的方式去进行认知并作出行为反应。思维定势对问题的解决既具有积极作用，也具有消极影响。一方面，思维定势可以加快学生的解题速度，使学生采用最简捷的途径解决问题；但另一方面，当问题情境改变时，思维定势却容易导致学生在问题解决方法的选择上出现不当乃至
5、错误。这其实就是学生缺乏“具体问题具体分析”意识的体现。 所以，从学生用大面积除以小面积的方法使用来看，正是积极思维定势的体现。这种借助原有的思维活动经验去解决问题的意识是有积极意义的。但本文所述习题，求这样的小树可以剪多少棵，也是学生消极思维定势的体现。 2. 为什么要让学生完成这样一道习题，它的练习价值在何处？ 这个问题并不指向于错误产生的原因。对分析错误原因毫不相干。但是，对这个问题的思考，有助于我们在拨开错误迷雾过程中，跳出习题看问题。题中的数据可谓繁杂，也不像先前的求图形面积、求阴影部分面积等习题那样标识得很清晰。但是深入思考不难发现繁杂的计算并不是该题的目的，那么该题的练习目的、练
6、习意图究竟是什么？通过这样的练习，学生从中能获得哪些有益的数学活动经验和数学思考方法？先前的学习经验、问题解决经验，在此处能派上用场吗？与这道习题“一脉相承”的其他习题，能否为这道习题提供教学思路？ 三、解决 “九层之台起于累土” ，如何帮助学生从思维定势中“破茧而出” ，4建立新的思维活动经验呢？思维的“破”与“立” ，并不是一蹴而就的。对于这道题，笔者运用缓坡度、分阶段的教学实施过程，让学生体会思想方法的运用之妙，更重要的是促进学生对新活动经验的获得，帮助学生完善问题解决经验。 第一阶段： 1.出示例 1（见上文，题略）：你是怎么想的？学生得出：大面积小面积=个数 2.出示例 2（见上文，
7、题略）：你能解答吗？ 学生在原有经验的提取、运用下，很快就解决了。不出教师所料，方法依然是：大面积小面积=个数。 需要说明的是，例 1 是学生在课堂作业中完成过的，例 2 则是笔者在进行作业讲评时补充的。这样的设计，意在经过练习，总结形成经验，即经过一定数量的“感性经验”的积累，获得“理性经验”对规律的概括与提升。这是学生从结合三角形面积计算的直观形式，到抽象的数学活动经验的初步生成和积累的过程。这一步，对于学生经验的获得而言，同样十分重要。 第二阶段： 出示例 3：农具厂要切割底和高都是 2 分米的直角三角形铁板，现在有一块长 1.3 米、宽 0.4 米的长方形铁板，最多可以切割这样的三角形
8、铁板多少块？ 绝大部分学生的解法仍然如法炮制（图 3） ，没有意识到虽然问题情境是相似的，但方法已然不再适用了。 5这时笔者进行了适当的引导，学生很快意识到原有经验的局限性。通过课堂交流、实践操作，学生在肯定了原先方法的同时，找到了问题所在，并给出了正确的思考方法（图 4） 。 学生自行总结：原来“大面积小面积”方法有些时候可以用，有些时候却不能用。像上面图中，旁边的小长方形就不能再切割出符合要求的三角形了。 学生在完成了这道习题后，对解题方法进行了反思得出： 生 1：我们可以把两个这样一模一样的三角形拼起来。 生 2：先算出一行能剪多少个，再算出一共能剪多少行。也就是每行个数行数=总个数 生
9、 3：还可以用画图法。先画一画图画。每行画几个，一共可以画几行。这样图画里的个数就可以看得很清楚。 第三阶段： 1.出示课本习题：用一张长 45cm、宽 21cm 的手工纸，能剪几棵这样的小树？ 很多学生受前面两个经验的影响，两种方法都出现了（图 5、图 6） 。讨论：这两种做法对吗？在讨论过程中，学生认识到，第一种做法是大面积除以小面积，因为小树是组合图形，也可以说是“不规则图形” ，所以不能这样做。第二种做法比较浪费，因为旁边还留有很多纸。教师辅以课件演示（图 7）： 2.教师引导：既然这样“横”着剪比较费纸，能不能竖着剪？课件6演示（图 8）： 观察：小树长多少？宽多少？能不能在这张纸中
10、，放下这样的两行小树？ 经过教师的引导，学生把注意力放在了两棵小树中间的空隙上。 生 1：两棵树之间有 1 个空隙，把小树倒过来刚好是 1 个空隙的大小。这样，5 棵树之间共有 4 个空隙，那么就可以放下 4 棵小树。 生 2：这就是我们学过的植树问题嘛！ 生 3：间隔数=棵数-1。 生 4：我知道了，就像是两个手的手指交叉在一起的样子。双手交叉就行了。 教师出示课件（图 9） 方法的运用、总结过程，实际上体现了学生对自身原有的数学活动经验的修正过程。从最初的“大面积小面积” ，到后来的“画图相乘法”，再到最后的“双手交叉法” ，课堂上学生分析、总结方法，有助于个体经验的主动改造、丰富和提炼，
11、有助于自身数学活动经验的充实、完善。或者有人会问：这个方法后续学习中有没有用呢？其实这样的学习，不仅仅只是开阔了经验积累、经验修正。更重要的是，在学生思维方法的库存得以丰实的同时，策略意识得以培养，解决问题的能力得以提升。在后续学习中，学生需要提取“双手交叉法”的经验，只是，那时的“双手交叉法” ，已经成为学生的已有经验了（见例 4， “双手交叉法”间隔中嵌入的现实原型见图 10、学生作业见图 11） 。 7例 4：在长 12.4cm、宽 7.2cm 的长方形纸中，剪半径是 1cm 的圆。能剪多少个？（人教版六年级下册总复习 P.100） 四、说明 本次干预过程，实际上并不是一次就能完成的。新
12、方法的学习，是需要建立在学生已有方法、知识运用与思维水平之上的。分阶段结合当时学生的作业情况，对原有经验进行肯定、否定、再认可新经验的分次教学。缓坡度让学生对头脑中的已有数学活动经验进行分析、比较，直至形成自己较为完善的问题解决结构。每一阶段的教学，不应排斥原有方法和经验，但必须给予学生认识到已有方法的局限性的机会。不断寻求新方法，从而形成新经验。继而，在后续学习中，能综合运用所获得的知识、方法、思想、经验，根据新情境完成新任务。 还需指出的是，剪小树这道题确实比较难。部分学生在教师的讲解后，也仍然存在理解上的困难。即使是在有学生给出“手指交叉”的手势后，仍然对此题心存疑惑与恐惧之感。笔者认为
13、，后续教学中，教师仍需要通过具体的问题情境，帮助学生在运用中加深对方法的体验。 经历过不代表就一定能获得经验。经验的建立和运用是一个动态的、不断积累、丰富反思的过程。在新的问题、新的情境、新的猜想产生中，学生思考、验证、尝试的数学活动，都是学生基于原有经验进一步主动修正、建构的过程。这个过程，为学生经验的螺旋式上升与发展提供了机会。经验，可以促进成长，却也可能阻碍成长。不同方法在不同问题情境中的反复运用，有助于学生走出思维定势，减少消极的思维定势带来的不利影响。通过不断地体验与感悟，沟通方法之间的内在结构联系，8有助于学生认识各种不同方法的局限性或者普遍适用性，从而产生自我修正方法的积极态度。从这个意义上来说，作为教师，要积极给予学生“破” “立”交替，主动获取数学活动经验的机会。 （浙江省绍兴市越城区马山镇车恂如小学 312000）
