1、高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上 参考公 式： 柱体体积公式： V Sh ，其中 S 为底面积 ,h 为高 . 一、填 空题 （本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1已知集合 |
2、 ( 4 ) 0A x x x ， 0,1,5B ，则 ABI 2设复数 (,z a i a R i 为虚数单位），若 (1 )iz 为纯虚数，则 a 的值为 3 为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现 从 该县小学六年级 4000 名学生中随机抽取 100 名学生 进行问卷调查 ， 所得数据均在区间 50,100上，其 频率分布直方图如图所示 ， 则 估计该 县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在 70,80) (单位：分钟 )内的学生人数为 4执行如图所示的伪代码，若 0x ，则输出的 y 的值为 5 口袋中有形状和大小完全相同的 4 个球，球的编号分别为 1， 2， 3， 4
3、，若从袋中一次随机摸出 2 个球，则摸出的 2 个球的编号之和大于 4 的概率为 6若抛物线 2 2y px 的焦点与双曲线 22145xy的右焦点重合，则 实数 p 的值为 时间 (单位 :分钟 ) 频率 组距 50 60 70 80 90 100 0.035 a 0.020 0.010 0.005 第 3 题图 Read x If 0x Then lnyx Else xye End If Print y 第 4 题图 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 7设函数 1xxy e ae 的 值域为 A ，若 0, )A ，则实数 a 的取值范围是 8已知锐角 ,满足 ta n 1 ta n
4、1 2 ，则 的值为 9 若函数 sinyx 在区间 0,2 上单调递增，则实数 的取值范围 是 10设 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 na 的前 2017 项中 的 奇数项和为 2018， 则 2017S 的值为 11 设函数 ()fx是偶函数，当 x 0 时， ()fx= (3 ), 0 3,31, 3x x xxx ， 若 函数 ()y f x m 有四个不同的 零点 ， 则 实数 m 的取值范围 是 12在平面直角坐标系 xOy 中， 若 直线 ( 3 3)y k x 上存在一点 P ，圆 22( 1) 1xy 上存在 一 点 Q ，满足 3OP OQ ，则 实数 k 的
5、 最小值为 13如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长 均为 1，正六边形的顶点称为“晶格点”若 , , ,ABCD 四点均位于图中的“晶格点”处，且 ,AB的位 置所图所示 ，则 CDAB 的最 大 值为 14 若不等式 2s i n s i n s i n 1 9 s i n s i nk B A C B C对任意 ABC 都成立，则实数 k 的最小值为 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 . 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内 ） 15 (本小题满分 14 分 ) 如图 所示，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， CA
6、CB ，点 ,MN分别是 11,ABAB 的中 点 . （ 1）求证： BN 平 面 1AMC ； （ 2）若 11AM AB ，求证： 11AB AC . 16 (本小题满分 14 分 ) 在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 , , ,abc 已知 52cb . （ 1）若 2CB ， 求 cosB 的值； （ 2）若 AB AC CA CB ，求 cos( )4B 的值 A B 第 13 题图 A B C A1 B1 C1 M N 第 15 题图 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 17 (本小题满分 14 分 ) 有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边 AB 长为 6 分米
7、，另一边足够长现从中截 取矩形 ABCD （ 如图甲所示 ） ， 再 剪去图中阴影部分，用剩下的部分 恰好 能折卷成一个底面是弓形的 柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计） ，其中 OEMF 是以 O 为圆心、 120EOF 的扇形，且弧 EF ,GH 分别 与边 BC , AD 相切 于 点 M ,N （ 1）当 BE 长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积； （ 2）当 BE 的长是多少分米时， 折卷成的包装盒的容积最大？ 18. (本小题满分 16 分 ) 如图 ，在 平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab 的下顶点为 B ，点,MN是椭圆上异于点
8、 B 的动点，直线 ,BMBN 分别与 x 轴交于点 ,PQ， 且 点 Q 是线段 OP 的中点 当 点 N 运动到点 3( 3, )2 处 时，点 Q 的坐标为 23( ,0)3 （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2） 设 直线 MN 交 y 轴于点 D ， 当 点 ,MN均在 y 轴右侧，且 2DN NM 时，求直线BM 的方程 x y O B N M P Q D 第 18 题图 A D C B E G F O M N H 第 17 题 -图 甲 N E F G H 第 17 题 -图 乙 M N 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 19 (本小题满分 16 分 ) 设数列 na 满
9、足 221 1 2 1()n n na a a a a ，其中 2n ，且 nN ， 为常数 . （ 1）若 na 是 等差数列， 且公差 0d ，求 的值 ； （ 2）若 1 2 31, 2, 4a a a ， 且存在 3,7r ，使得 nm a n r卪 对任意的 *nN 都成立，求 m 的最小值 ； （ 3） 若 0 ，且 数列 na 不是常数列， 如果存在正整数 T ，使得 n T naa 对任意的*nN 均成立 . 求所有满足条件的数列 na 中 T 的最小值 . 20 (本小题满分 16 分 ) 设函数 ( ) lnf x x ， () bg x ax cx （ ,abc R ）
10、. （ 1）当 0c 时，若函数 ()fx与 ()gx 的图象在 1x 处有相同的切线，求 ,ab的值； （ 2）当 3ba 时，若对任意 0 (1, )x 和任意 (0,3)a ，总 存在不相等的正实数12,xx，使得 1 2 0( ) ( ) ( )g x g x f x，求 c 的最小值； （ 3）当 1a 时，设函数 ()y f x 与 ()y g x 的图象交于 11( , ),Ax y 2 2 1 2( , )( )B x y x x两点求证： 1 2 2 1 2 1x x x b x x x . 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学附加题部分 （ 本部分满分
11、40 分，考试时间 30 分钟） 21 选做题 （在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题 ， 每小题 10 分 ， 计 20 分 请 把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修 4-1：几何证明选讲） 高三数学试题第 5 页（共 4 页） 如图， 已知 AB 为 O 的直径，直线 DE 与 O 相切于 点 E ， AD 垂直 DE 于 点 D . 若4DE ，求切点 E 到直径 AB 的距离 EF B.（选修 4-2：矩阵与变换） 已知矩阵 2 00 1M，求圆 221xy在矩阵 M 的变换下所得的曲线方程 . C（选修 4-4：坐标系与参数方程） 在极坐标系中，直线 cos( )
12、 13与曲线 r ( 0r )相切，求 r 的值 . D (选修 4-5：不等式选讲） 已知实数 ,xy满足 2231xy，求当 xy 取最大值时 x 的值 . 必做题 （第 22、 23 题 ， 每小题 10 分 ， 计 20 分 请 把答案写在答题纸的指定区域内） 22（本小题满分 10 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， AC 与 BD 交于点 O ， OP 底面 ABCD ，点 M 为 PC 中点， 4 , 2 , 4A C B D O P . （ 1）求直线 AP 与 BM 所成 角的余弦值； （ 2）求平面 ABM 与平面 PAC 所成锐二面角的余弦值 A
13、 B E D F O 第 21(A)图 M C D P 高三数学试题第 6 页（共 4 页） 23 （本小题满分 10 分） 已知 nN ， 0 1 1 2 1 12 r r n nn n n n n n n nn f n C C C C r C C n C C （ 1）求 1,f 2,f 3f 的 值 ； （ 2） 试猜想 fn的表达式（用 一个组合数表示），并 证明你的猜想 南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案 一、填空题 ： 本大题共 14 小题，每小题 5分，计 70 分 . 1 1 2 1 3 1200 4 1 5 23 6 6 7 ( ,2 8 34 9
14、 1(0, 4 10 4034 11 91, )4 12 3 13 24 14 100 二、解答题： 本大题共 6 小题，计 90 分 .解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在 答题纸的指定区域内 . 15证明：（ 1） 因为 1 1 1ABC A B C 是直 三棱柱 ，所以 11/AB AB ，且 11AB AB ， 又 点 ,MN分别是 11,ABAB 的中 点 ，所以 1MB AN ， 且 1/MB AN 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 所以四边形 1ANBM是 平 行 四 边 形 ， 从 而1 /AM BN 4 分 又 BN 平面 1AMC ， 1AM 平面
15、 1AMC ，所以 BN 面1AMC 6 分 （ 2）因为 1 1 1ABC A B C 是直 三棱柱 ，所以 1AA 底面 ABC ，而 1AA 侧面 11ABBA ， 所以侧面 11ABBA 底面 ABC 又 CA CB ，且 M 是 AB 的中 点 ，所以 CM AB 则由 侧面 11ABBA 底面 ABC ，侧面 11ABBA 底面 ABC AB ， CM AB ，且 CM 底面 ABC ，得 CM 侧面11ABBA 8 分 又 1AB 侧面 11ABBA ，所以1AB CM 10 分 又 11AB AM ， 1 ,AM MC 平面 1AMC ，且 1A M MC M ， 所以 AB
16、平面1AMC 12 分 又 1AC 平面 1AMC，所以11AB AC 14 分 16 解 ： （ 1 ）因为 52cb ， 则 由 正 弦 定 理 ， 得5sin sin2CB 2 分 又 2CB ， 所以 5si n 2 si n2BB ，即4 s in c o s 5 s inB B B 4 分 又 B 是 ABC 的内角，所以 sin 0B ，故5cos4B 6 分 （ 2）因为 AB AC CA CB ， 所以 cos coscb A ba C ，则由余弦定理， 得 2 2 2 2 2 2b c a b a c ，得ac 10 分 从而2 22 22() 35c o s 2 2 5c
17、 c ca c bB a c c ， 12分 高三数学试题第 8 页（共 4 页） 又 0 B ，所以 2 4s in 1 c o s 5BB 从而3 2 4 2 2c o s( ) c o s c o s si n si n4 4 5 2 5 2 1 0B B 14分 17解：（ 1）在图甲中，连接 MO 交 EF 于点 T 设 O E O F O M R ， 在 Rt OET 中，因为 1 602E O T E O F ，所以 2ROT ，则2RM T O M O T 从而 2RBE MT ，即22R BE. 2 分 故所得柱体的底面积 O EFO EFS S S扇 形 221 1 4s
18、i n 1 2 0 33 2 3RR . 4 分 又所得柱体的高 4EG ， 所以 V S EG 16 433 . 答：当 BE 长为 1 分米时， 折卷成的包装盒的容积 为 16 433 立方分 米 . 6 分 （ 2）设 BE x ，则 2Rx ，所以所得柱体的 底面积 O EFO EFS S S扇 形 2 2 21 1 4s i n 1 2 0 ( 3 )3 2 3R R x . 又 所得柱体的高 62EG x ， 所以 V S EG 328( 2 3 )( 3 )3 xx ，其中03x . 10 分 令 32( ) 3 , ( 0 , 3 )f x x x x ，则由 2( ) 3 6
19、 3 ( 2 ) 0f x x x x x ， 解得2. 12 分 列表如下： x (0,2) 2 (2,3) ()fx 0 A D C B E G F O M N H T 高三数学试题第 9 页（共 4 页） ()fx 增 极大值 减 所以当 2x 时， ()fx取得最大值 . 答： 当 BE 的长为 2 分米时， 折卷成的包装盒的容积最大 . 14 分 18 解 ： （ 1 ）由 32( 3 , ), ( 3 , 0)23NQ，得直线 NQ 的方程为3 32yx 2 分 令 0x ，得点 B 的坐标为 (0, 3) 所 以 椭 圆 的 方 程 为222 13xya 4 分 将点 N 的坐标
20、 3( 3, )2 代入，得 2223()( 3 )2 13a ，解得 2 4a 所以椭圆 C 的标准方程 为22143xy 8 分 （ 2）方法一：设直线 BM 的斜率为 ( 0)kk ，则直线 BM 的方程为 3y kx 在 3y kx 中，令 0y ，得 3Px k，而 点 Q 是线段 OP 的中点 ， 所以 32Qx k 所以 直线 BN 的斜率0 ( 3 )2302B N B Qk k kk 10 分 联立 223143y kxxy ，消去 y ，得 22(3 4 ) 8 3 0k x k x ，解得28334M kx k 用 2k 代 k ，得216 33 16Nkx 12 分 又
21、 2DN NM ， 所 以 2( )N M Nx x x ，得23MNxx 14 分 故228 3 1 6 3233 4 3 1 6kk ，又 0k ，解得 62k 所以直线 BM 的方程为高三数学试题第 10 页（共 4 页） 6 32yx 16 分 方法二：设点 ,MN的坐标 分别 为 1 1 2 2( , ),( , )x y x y 由 (0, 3)B ，得直线 BN 的方程为 113 3yyxx，令 0y ，得 113 3P xx y 同理，得 223 3Q xx y 而 点 Q 是线段 OP 的中点 ， 所 以 2PQxx ，故12123 2 333xxyy 10 分 又 2DN
22、NM ，所以 2 1 22( )x x x，得212 03xx，从而1241333yy， 解得214333yy 12分 将2121234333xxyy 代入到椭圆 C 的方程中，得 2211(4 3 ) 19 2 7xy 又 22 11 4(1 )3yx ，所以21214 (1 ) ( 4 3 )3 19 2 7y y ，即 2113 2 3 0yy ， 解得 1 3y （舍）或1 33y又 10x ，所以点 M 的坐标为4 2 3( , )33M 14 分 故直线 BM 的方程为632yx 16 分 19 解：（ 1）由题意，可得 22( ) ( )n n na a d a d d ， 化简得 2( 1) 0d ，又 0d ，所以1. 4 分 （ 2）将 1 2 31, 2, 4a a a 代入条件，可得 4 1 4 ，解得 0 ，
