1、1用“搜寻法”解“物不知数问题”我国古算书孙子算经中有题云：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”我们把这类已知若干个“模” （除数）的余数，而要求适合条件的最小正整数的题目统称为“物不知数问题” 。 解答“物不知数问题” ，通常要布列并求解一个一次不定方程组或一个一次同余式组，颇为不易。而且这些知识属“数论”范畴，不在小学数学内容之列。但因此类问题有利于考查学生思维的灵活性，故在小学数学试题中反倒屡屡出现。鉴于此，不定方程组的知识曾被上世纪八十年代的中师数学教材收录，笔者长期担任中等师范学校的数学教学，故对此类问题的解法有一定的关注。 数学大师们无一不是解题
2、高手，解答孙子算经中的物不知数问题，华罗庚先生就有其独特的方法。1963 年，华先生在其所著从孙子的“神奇妙算”谈起一书中，即有如下表述：“因为三除余二，七除余二，则二十一除余二，而二十三是三、七除余二的最小数，刚好又是五除余三的数，所以心算快的人都能算出。 ”其实，华先生的这一思路早在上世纪二十年代即已萌生，当年的少年华罗庚就是因为以此法巧解了孙子算经中的这道名题而誉满乡里。但他在书中却称此法是“笨”算法。随后说：“笨字可能用得不妥当，但这个方法是朴素原始的方法，算起来费时间的方法。 ”接着又说：“这方法虽然拙笨些，但这是2一个步步能行的方法，是一个值得推荐的朴素的方法。 ”不难看出，华先生
3、在评价此法时，是心存矛盾的。 但笔者一直坚定地认为，这是个值得推荐的好方法，它只依靠余数、倍数、公倍数等基础知识就打起了“游击战” ，体现了各个击破的军事思想，采用了步步为营的搜寻战术，具有机动灵活、简便易行等诸多优点。华先生之所以认为这个方法“笨” ，很大程度是因为它完全依赖文字表述的缘故。德国数学家希尔伯特说：“严格的方法同时也是简洁而易于理解的方法。 ”这一观点与我国道德经中的“大道至简”不谋而合。相信只要能找到一种适当的方式加以阐明原理、记录过程，则必将为华先生的方法增添简洁美的色彩。笔者为此日夜求索，经过多年潜心钻研，一种有效的搜寻方法已逐渐形成。以之应对古今各种物不知数问题，无不迎
4、刃而解。欣喜之余，不敢自专，谨将此法奉献于读者，希冀对提高广大小学数学教师的解题能力有所帮助。 例 1.文首孙子算经中的物不知数题。 分析与解：3 除、7 除余 2 的最小数是 2，记作。括号内之 7、3 为所适合条件中的模。为使已适合之条件不再丢失，搜寻时所加之数应为7、3 的公倍数。7、3 的最小公倍数7，3=21，2?21=23，23 正好又适合条件“5 除余 3”，故 23 即为所求。整个搜寻过程可表为： 以此代替文字叙述，颇显简洁、明快。 例 2.今有一数，3 除余 1，5 除余 2，7 除余 3，此数最小是几？ 分析与解：为使搜寻速度加快，应首先考虑模较大的那个条件，于是把起点定为
5、 3（7） ，3+7=10，10 又满足“3 除余 1”，表为。再往前搜3寻，所加之数应为 21。10+21=31。31 被 5 除余 1，不符题意，再往前：31+21=52。52 恰好 5 除余 2，故 52 即为所求。整个过程可表为： 例 3.二数余一，五数余二，七数余三，九数余四，问本数。 （选自杨辉 1275 年写成的续古摘奇算法 ） 此题曾被中师代数与初等函数第一册选作复习题。若仿照课本例题解答，须布列并求解一个五元一次不定方程组，这无异于摆开架势去打阵地战，过程繁复，令不少中师学生望而生畏，不敢问津。而采用搜寻法，只须三次搜寻即告完成。 解： 在此例中，十步并作一步走，省去了许多麻
6、烦。以下各例所列方程中之 x，y，z均取最小正整数值，不再赘述。 例 10.七数剩一，八数剩二，九数剩三，问本数。 （选自续古摘奇算法 ） 分析与解：以“九数剩三”的次小数 12 为起点，下一个目标定为“八数剩二” 。 ，12 除以 8 余 4，9 除以 8 余 1。 （12+9x）除以 8 的余数与（4+1?x）除以 8 的余数相同，而此余数应等于 2。故令4+1?x=8y+2。x=8y-2。当 y=1 时，x=6。 ，下个目标是“七数剩一” 。66 除以 7 余 3，72 除以 7 余 2。故令3+2x=7y+1。2x=7y-2。x=3y+。当 y=2 时，x=6。故有 将整个搜寻过程串成
7、一体即为 答：498 即为所求。 4通过简单计算，两度将 6 个逐次搜寻并为一个一次搜寻，大大提高了搜寻效率。不过此题还可解得更巧：若将条件叙述为“7 数少 6，8 数少 6，9 数少 6”，则立得本数为7，8，9-6=789-6=504-6=498。 例 11.（韩信点兵题）有兵一队，若成 5 列纵队，则末行仅 1 人；若成 6 列纵队，则末行仅 5 人；若成 7 列纵队，则末行仅 4 人；若成 11 列纵队，则末行仅 10 人，求兵数。 分析与解：本题条件有四：5 除余 1，6 除余 5，7 除余 4，11 除余10，由二、四两条件可知，应把 611-1=65 定为搜寻起点，下个目标定为“7 除余 4”。 。65 除以 7 余 2，66 除以 7 余 3。故令 2+3x=7y+4。3x=7y+2。 ，当y=1 时，x=3。 ，下一目标“5 除余 1”，263 除以 5 余 3，462 除以 5 余 2，故令3+2x=5y+1，2x=5y -2。 （江西省南昌市高等师范专科学校 330006）
