1、 1 数学分析、高等代数、解析几何、中学数学建模、离散数学、高等几何、概率统计、竞赛数学、运筹学、数学教学实践、初等代数研究、初等几何研究、教法研究、计算机辅助教学、教育学、教育心理学、大学英语等。 2 抽象代数基础 答解题习 于 延 栋 编 盐城师范学院数学科学学院 二零零九年五月 3 第一章 群 论 1 代数运算 1.设 , cbaeA ,A 上的乘法 ”“ 的乘法表如下 : e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e 证明 : ”“ 适合结合律 . 证明 设 zyx , 为 A 中任意三个元素 .为了证明 ”“ 适合结合律 ,只需证明
2、)()( zyxzyx . 下面分两种情形来阐明上式成立 . I. zyx , 中至少有一个等于 e . 当 ex 时 , )()( zyxzyzyx ; 当 ey 时 , )()( zyxzxzyx ; 当 ez 时 , )()( zyxyxzyx . II. zyx , 都不等于 e . (I) zyx .这时 , )()( zyxexxzzezyx . (II) zyx , 两两不等 .这时 , )()( zyxxxezzzyx . (III) zyx , 中有且仅有两个相等 . 当 yx 时 ,x 和 z 是 , cba 中的两个不同元素 ,令 u 表示 , cba 中其余的那个元素
3、.于是 , zzezyx )( , zuxzyx )( ,从而 , )()( zyxzyx .同理可知 ,当 zy 或 xz 时 ,都有 )()( zyxzyx . 2.设 ”“ 是集合 A 上一个适合结合律的代数运算 .对于 A 中元素 ,归纳定义ni ia1 为 : 111 aai i ,1111 rri iri i aaa. 证明 : mnk kmj jnni i aaa 111 . 4 进而证明 :在不改变元素顺序的前提下 ,A 中元素的乘积与所加括号无关 . 证明 当 1m 时 ,根据定义 ,对于任意的正整数 n ,等式成立 . 假设当 rm ( 1r )时 ,对于任意的正整数 n
4、,等式成立 .当 1rm 时 ,由于”“ 适合结合律 ,我们有 mj jnni i aa 11 111 rj jnni i aa 111 rnrj jnni iaaa 111 rnrj jnni iaaa mnk krn k krnrni i aaaa 11111 . 所以 ,对于任意的正整数 n 和 m ,等式成立 . 考 察 A 中任意 n ( 1n ) 个元素 naaa , 21 : 当 3n 时 , 要使记号naaa 21 变成有意义的记号 ,必需在其中添加一些括号规定运算次序 .现在我们来阐明 :在不改变元素顺序的前提下 ,无论怎样在其中添加括号 ,运算结果总是等于 ni ia1.
5、事实上 ,当 1n 或 2n 时 ,无需加括号 ,我们的结论自然成立 .当 3n 时 ,由于 ”“ 适合结合律 ,我们的结论成立 .假设当 rn ( 1r )时我们的结论成立 .考察1rn 的情形 :不妨设最后一次运算是 ba ,其中 a 为 naaa , 21 中前s( ns1 )个元素的运算结果 ,b 为 naaa , 21 中后 sn 个元素的运算结果 .于是 ,根据归纳假设 , sj jaa 1 , snk ksab 1 . 所以最终的运算结果为 ni isnk kssj jaaaba111. 3.设 Q 是有理数集 .对于任意的 Q, ba ,令 2baba ,证明 : ”“ 是 Q
6、 上的一个代数运算 ,它既不适合结合律也不适合交换律 . 证明 众所周知 ,对于任意的 Q, ba , Q2 baba .所以 ”“ 是 Q 上的一个代数运算 .令 0a , 1b , 2c .由于 521212)10()( 2 cba , 255050)21(0)( 2 cba , 从而 , )()( cbacba ,所以 ”“ 不适合结合律 .由于 5 52121 2 cb , 31212 2 bc ,. 从而 , bccb .所以 ”“ 不适合交换律 . 2 群的概念 1.证明 : ZdcbadcbaG , 关于矩阵的加法构成一个群 . 证明 首先 ,众所周知 , G , GBA , G
7、BA , .由于矩阵的加法适合结合律 , G 上 的 加 法 适 合结 合 律 .其次 , 令 00 00O, 则 GO , 并且AOAAO , GA .最后 ,对于任意的 Gdc baA ,令 dc baA,则 GA 且 OAAAA )()( .所以 G 关于矩阵的加法构成 一个群 . 2.令 1001,10 01,10 01,10 01G ,证明 :G 关于矩阵的乘法构成一个群 . 证明 将 1001记作 E ,并将 G 中其余三个矩阵分别记作 CBA , .于是 ,G 上的乘法表如下 : E A B C E E A B C A A E C B B B C E A C C B A E 由于
8、矩阵的乘法适合结合律 ,G 上的乘法适合结合律 .从乘法表可知 , XXEEX , EXX , GYX , . 所以 G 关于矩阵的乘法构成一个群 . 3.在整数集 Z 中 ,令 2 baba , Z ba, .证明 :Z 关于这样的乘法构成一个群 . 证明 对于任意的 Zcba , ,我们有 6 42)2()2()( cbacbacbacba , 42)2()2()( cbacbacbacba , 从而 )()( cbacba .这就是说 ,该乘法适合结合律 .其次 , Z2 ,并且对于任意的 Za ,我们有 222222 aaaaa , aaaaaaaa )4(2)4(2)4()4( .
9、所以 Z 关于该乘法构成一个群 . 4.写出 3S 的乘法表 . 解 )231(),321(),32(),31(),21(),1(3 S , 3S 的乘法表如下 : )1( )21( )31( )32( )321( )231( )1( )1( )21( )31( )32( )321( )231( )21( )21( )1( )231( )321( )32( )31( )31( )31( )321( )1( )231( )21( )32( )32( )32( )231( )321( )1( )31( )21( )321( )321( )31( )32( )21( )231( )1( )231(
10、)231( )32( )21( )31( )1( )321( 5.设 ),( G 是一个群 ,证明 : ”“ 适合消去律 . 证明 设 Gcba , .若 caba ,则 ccecaacaabaabaabeb )()()()( 1111 . 同理 ,若 acab ,则 cb .这就表明 , ”“ 适合消去律 . 6.在 5S 中 ,令 45132 54321f , 25431 54321g . 求 gffg, 和 1f . 解 我们有 34512 54321fg , 52143 54321gf , 45213 543211f . 7.设 )( 21 kiiia ,求 1a . 解 我们有 )(
11、 11 iiia kk . 8.设 f 是任意一个置换 ,证明 : )()()()( 21121 kk ifififfiiif . 证明 事实上 ,易见 , )(,),(),( 21 kififif 是 ,2,1 n 中的 k 个不同的数字 .7 由 直接计算可知 , 11),()()()( 1121 kjififfiiif jjk ; )()()()( 1121 ififfiiif kk . 其次 ,对于任意的 )(,),(),(,2,1 21 kifififni ,i 在 121 )( fiif k 之下的像是 i 本身 .所以 )()()()( 21121 kk ifififfiiif
12、. 9.设 S 是一个非空集合 , ”“ 是 S 上的一个代数运算 ,若 ”“ 适合结合律 ,则称 ),( S 是一个半群 (或者称 S 关于 ”“ 构成一个半群 ).证明 :整数集 Z 关于乘法构成一个半群 ,但不构成一个群 . 证明 众所周知 ,Z 是非空集合 ,对于任意的 Z, ba ,总有 Zba ,并且整数乘法适合结合律 ,所以 Z 关于乘法构成一个半群 .其次 ,令 1e .于是 ,对于任意的 Za ,总有 aeaae . 但是 , Z0 ,并且不存在 Zb ,使得 eb0 .所以 Z 关于乘法不构成一个群 . 10.设 A 是一个非空集合 , S 是由 A 的所有子集构成的集合
13、.则集合的并”“ 是 S 上的一个代数运算 .证明 : ),( S 是一个半群 . 证明 众所周知 ,对于任意的 SZYX , ,总有 )()( ZYXZYX . 这就是说 ,S 上的代数运算 ”“ 适合结合律 ,所以 ),( S 是一个半群 . 注 请同学们考虑如下问题 :设 A 是一个非空集合 ,S 是由 A 的所有子集构成的集合 .定义 S 上的代数运算 ”“ (称为对称差 )如下 : )()( XYYXYX , SX , . 求证 : ),( S 是一个交换群 . 11.令 Z, dcbadc baS .证明 S 关于矩阵的乘法构成一个半群 . 证明 众所周知 ,对于任意的 SCBA
14、, ,总有 SAB , )()( BCACAB . 这就是说 ,矩阵的乘法是 S 上的一个代数运算 ,并且 适合结合律 ,所以 S 关于矩阵的乘法构成一个半群 . 12.设 ),( S 是一个半群 , Se 称为 S 的一个 左 (右 )单位元 ,如果对于任意的Sa 都有 aae ( aea ).对于 Sa ,如果存在 Sb 使 eab ( eba ),则称 a 左 (右 )可逆的 ,b 是 a 的一个 左 (右 )逆元 .假设 S 有左 (右 )单位元 e 且 S 中每个元素都有关于 e 的左 (右 )逆元 .证明 : ),( S 是一个群 . 证明 设 a 是 S 中任意一个元素 .任取
15、Sb ,使得 eba .再任取 Sc ,使得 ecb .于是 ,我们有 8 cecbacbaeaa )()( 且 ecbcebcebab )()( . 因此 abeba . 所以 eaabaabaae )()( . 由以上两式可知 ,e 是单位元 ,S 中每个元素 a 都有逆元 b .所以 ),( S 是一个群 . 对于 S 有左单位元 e 且 S 中每个元素都有关于 e 的左逆元的情形 ,请同学们自己证明 . 13设 G 是一个群 ,证明 : 111)( abab , Gba , . 证明 对于任意的 Gba , ,我们有 eaaa e aabbaabab 111111 )()( , ebb
16、ebbbaababab 111111 )()( . 所以 111)( abab , Gba , . 16.设 G 是一个群 ,证明 :G 是交换群的充要条件是 222)( baab , Gba , . 证明 必要性是显然的 .现在假设 G 满足该条件 .于是 ,对于任意的 Gba , ,我们有 222)( baab ,即 aabbabab .运用消去律 (第 5 题 )立即可得 baab .所以G 是交换群 . 17设 G 是一个群 .假设对于任意的 Ga 都有 ea2 ,证明 :G 是交换群 . 证明 我们有 222)( baeeeab , Gba , . 由上题知 ,G 是交换群 . 18
17、.设 G 是非空集合 , ”“ 是 G 上的一个代数运算且适合结合律 . (1)证明 : ),( G 是一个群当且仅当对于任意的 Gba , ,方程 bxa 和bay 在 G 中都有解 . (2)假设 G 是有限集 ,证明 : ),( G 是一个群当且仅当 ”“ 适合消去律 . 证明 (1)当 ),( G 是一个群时 ,显然 ,对于 任意的 Gba , , bax 1 是方程bxa 的解 , 1 aby 是方程 bay 的解 . 现在假设对于任意的 Gba , ,方程 bxa , bay 在 G 中都有解 .任取 Ga ,考察方程 axa .根据假设 ,方程 axa 有解 Gex .设 b 是
18、 G 中任意一个元素 ,9 考察方程 bay .根据假设 ,方程 bay 有解 Gcy .于是 ,我们有 baceaceaceb )()( . 由于 Gb 的任意性 ,上式表明 e 是半群 ),( G 的一个右单位元 .再考察方程exa .根据假设 ,方程 exa 有解 Gd .由于 Ga 的任意性 ,这表明 G 中每个元素关于右单位元 e 都有右逆元 .所以 ),( G 是一个群 . (2)当 ),( G 是一个群时 ,根据第 5 题 , ”“ 适合消去律 .现在假设, 21 naaaG ,并且 ”“ 适合消去律 .任取 ,2,1, nki ,考察方程ki axa .由于 ”“ 适合左消去律
19、 ,因此 ka 必出现于乘法表的第 i 行中 .这就意味着存在 ,2,1 nj ,使得 kji aaa ,从而方程 ki axa 在 G 中有解 .同理 ,由于”“ 适合右消去律 ,方程 ki aay 在 G 中有解 .这样一来 ,根据 (1), ),( G 是一个群 . 19.证明命题 2.8 中的表示法在不计循环置换的顺序的意义下是唯一的 .注 注 宜将这道题表述成 “证明 :在不计循环置换的顺序的意义下 ,在 用 命题2.8 中的证明中所说的方法将一个置换 nSf 表示成两两不相交的循环置换的乘积时 ,表达式是唯一的” . 证明 显然 ,当 f 是单位置换时 ,表达式就是 ff .不妨设
20、 f 不是单位置换 , uffff 21 和 vgggf 21 都是在 用 命题 2.8中的证明中所说的方法将置换 nSf 表示成两两不相交的循环置换的乘积的表达式 .于是 , ufff , 21 两两不相交 , vggg , 21 两两不相交 ,而且它们的阶都大于或等于 2 .考察任意的lf ( ul1 ): 设 )( 21 sl iiif .由 uffff 21 和 vgggf 21 可知 ,存在 l ( vl1 ),使得 )( 21 tl jjjg , , 211 tjjji . 不妨设 11 ji .由 uffff 21 和 vgggf 21 可知 , ts 并且 kk ji , ,2
21、,1 sk , 从而 , ll gf .由于 ufff , 21 两两不相交 , vggg , 21 两两不相交 ,并且不计循环置换的顺序 ,不妨设 ll gf , ,2,1 ul . 假设 vu ,则 ugggf 21 , 由此可见 ,当 vlu 时 , lg 必与 uggg , 21 中某一个相交 .这与我们的假设矛盾 .所以 vu .这就表明 , vgggf 21 和 vgggf 21 是同一个表达式 . 10 3 子 群 1.设 )(PnGLG 是数域 P 上的 n 级一般线性群 ,H 是 G 的由全体 n 阶可逆的对角矩阵组成的子集 ,证明 :H 是 G 的子群 . 证明 众所周知
22、,H 非空 ,并且有 HAAB 1, , HBA , , 其中 AB 表示矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 , 1A 表示矩阵 A 的逆矩阵 .所以 H 是 G 的子群 . 2.设 G 是一个群 ,H 是 G 的非空子集 ,证明 :H 是 G 的子群的充分必要条件是 Hab1 , Hba , . 证明 由定理 3.3 可知 ,当 H 是 G 的子群时 ,H 满足条件 . 假设 H 满足条件 .对于任意的 Hba , ,我们有 Haae 1 . 因为 H 满足条件 ,由 Hbae , 可知 , Heaa 11 , Hebb 11 .因为 H满足条件 ,由 Hba 1, 可知 11)( baab .总
23、而言之 对于任意的 Hba , ,我们有Haab 1, .根据定理 3.3,H 是 G 的子群 . 3.设 H 是群 G 的子群 , Ga ,证明 : | 11 Hhahaa H a 也是 G 的子群 (称为 H 的一个 共轭子群 ). 证明 显然 , 1aHa 是 G 的非空子集 .设 121, aHabb .于是 ,存在 Hhh 21, ,使得 111 aahb , 121 aahb .因此 11211121 )( aahaahbb 1112111211 )( a H aahhaaahaah . 所以 1aHa 是 G 的子群 . 4.设 G 是交换群 , 0n 为整数 ,令 | eaGa
24、H n ,证明 :H 是 G 的子群 . 证明 显然 He .若 Hba , ,则 eeebaab nnn 11 )()( ,从而 , Hab 1 .由此可见 ,H 是 G 的子群 . 5.设 G 是交换群 ,证明 :G 的所有阶为有限的元素构成的集合是 G 的子群 . 证明 令 H 表示 G 的所有阶为有限的元素构成的集合 .显然 He .设Hba , ,其中 ma| , nb| .于是 , eeebaab mnnmmn )()()( 1 , 从而 , Hab 1 .由此可见 ,H 是 G 的子群 . 6.设 G 是群 , Gba , ,证明 :a 与 1bab 具有相同的阶 . 证明 显然 ,对于任意的正整数 n , 11 )( bbabab nn ,从而 , ebabebbaea nnn )( 11.
