1、 1 1 21世纪高等院校电子信息类规划教材 安徽省高等学校“十二五”省级规划教材 数字信号处理与 DSP 实现技术 课后 习题 与 参考答案 主编：陈帅 副主编：沈晓波 淮南师范学院 2015.11 第 1 章 绪论 思考题 1 什么是数字信号？ 2 什么是数字信号处理？ 2 3 数字信号处理系统的实现方法有哪些？ 4 数字信号处理有哪些应用？ 5 数字信号处理包含哪些内容？ 6 数字信号处理的特点是什么？ 第 1 章 绪论 参考答案 1 时间和幅度都离散 的信号称为数字信号 ，即信号的 时间取离散的值，幅度也取离散的值 。 2 数字信号处理是指在数字领域进行数字信号的加工（变换、运算等），
2、即输入是数字信号，采用数字信号处理方法进行处理，输出仍然是数字信号。 3 数字信号处理系统的实现方法有 通用软件方法实现系统；专用加速处理机方法；软硬件结合的嵌入式处理方法；硬件方法 。 4 数字信号处理在通信、计算机网络、雷达、自动控制、地球物理、声学、天文、生物医学、消费电子产品等各个领域均有应用，是信息产业的核心技术之一。 比如信源编码、信道编码、多路复用、数据压缩 ，数字语音、汽车多媒体、MP3/MP4/MP5、数字扫面仪、数字电视机顶盒、医院监视系统、生物指纹系统 等。 5 数字信号处理主要包含以下几个方面的内容 离散线性时不变系统理论。包括时域、频域、各种变换域。 频谱分析。 FF
3、T 谱分析方法及统计分析方法，也包括有限字长效应谱分析。 数字滤波器设计及滤波过程的实现（包括有限字长效应）。 时频 -信号分析（短时傅氏变换），小波变换， 时 -频能量分布 。 多维信号处理（压缩与编码及其在多煤体中的应用）。 非线性信号处理。 随机信号处理。 模式识别人工神经网络。 信号处理单片机 (DSP)及各种 专用芯片 (ASIC)，信号处理系统实现。 6 数字信号处理主要具有 4 个方面优点： 数字信号精度高；数字信号处理灵活性强；数字信号处理可实现模拟信号难以实现的特性；数字信号处理可以实现多维信号处理。 数字信号处理主要存在 3 个方面缺点： 需要模拟接口等增加了系统复杂性；由
4、于取样定理的约束其应用的频率受到限制；功耗大。 第 2 章 离散时间信号与系统 思考题 1.序列的表示方法有哪几种？ 答：枚举表示；公式表示；图像表示 2已知序列 0,5 0,1)( 2 nn nnnnx ，求序列的反褶序列 )(nx 、时延序列 )2( nx 。 答： 2 1, 0()5 , 0n n nxn nn ，22( 2) ( 2) 1 , 2 0( 2)( 2) 5 , 2 03 3 , 27, 2n n nxnnnn n nnn 3判断下列序列是否是周期序列，若是周期序列则求出其周期。 （ 1） )532c o s ()( nAnx （ 2） )371c o s ()( nAnx
5、 （ 3） )132()( njenx （ 4） )352()( njenx 3 3 解：（ 1） 假 设 N 为序列周期，则2( ) c o s ( ) 5 322c o s ( 5 ) 33x n N A n NA n N 且要求满足2( ) c o s( 5 )322( ) c o s ( 5 ) 33x n A nx n N A n N 根据余弦函数性质，则必须满足： 2 2 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,3 N k k 才能 使 上式恒等。 于是： 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,N k k 取最小的 正整数 N=3，于是序列为周期序列，且周期为 3。 （
6、2） 解： 假设 N 为序列周期，则 1 1 1( ) c o s ( ) c o s ( ) 7 3 7 3 7x n N A n N A n N 且要求满足 1 1 1( ) c o s ( ) ( ) c o s ( ) 7 3 7 3 7x n A n x n N A n N 根据余弦函数性质，则必须满足 ： 1 2 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,7 N k k 才能使上式恒等。 于是： 1 4 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,N k k 取最小的正整数 N=14，于是序列为周期序列，且周期为 14。 （ 3）假设 N 为序列周期，则 2 2 2 ( ) 1 13
7、 3 3( ) .j n N j n j Nx n N e e e 且要求满足 2 2 2( 1 ) 13 3 3( ) ( ) .j n j n j Nx n e x n N e e 则必须满足 23 1jNe 才能使上式恒等。根据欧拉公式得到： 23 22c o s ( ) s i n ( ) 133jNe N j N ，因此必须 2 2 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,3 N k k 于是： 3 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,N k k 取最小的正整数 N=3，于是序列为周期序列，且周期为 3。 （ 4）假设 N 为序列周期，则 2 2 2 2 2 ( ) 3 (
8、3 ) ( 3 )5 5 5 5 5( ) .j n N j n N j n j Nx n N e e e e 且要求满足 2 2 2( 3 ) ( 3 )5 5 5( ) ( ) .j n j n j Nx n e x n N e e 则必须满足 25 1jNe 才能使上式恒等。根据欧拉公式得到： 25 22c o s ( ) s i n ( ) 155jNe N j N ，因此必须 2 2 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,5 N k k 4 于是 ： 5 , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 ,N k k 由于 N 和 k 都为整数，因此上式不可能成立。因此，序列不是周期序列。
9、 4求下式的卷积： (1) )(*)( nn (2) )(*)( nunu (3) )(*)( nnu (4) )(*)( nRnR NN (5) )(*)( nnRN (6) )(*)( nunRN 5已知： 3 , 0()0, 0n nxnn ， 5 , 0()0, 0n nznn ， 求 ( )* ( )x n z n 的卷积表达式。 解： 3 , 0()0, 0m mxmm ， 5 , 0()0 , 0m mzmm， 5,()0,nm nmz n mnm 01011( ) * ( ) ( ) ( ) 3 ( 5 ) 3 1 ( 3 / 5 )5 ( ) , 0 5 , 05 1 3 /
10、 50 , 00 , 035,0220 , 0nm n mmmm nnn nmnnx z n x m z n mn nnnnn 6. 判断系统的线性性、移不变性 （ 1） )0()( nnxnxT （ 2） )3()( nxnxT （ 3） )()2()( nxnxnxT （ 4） () ( ) xnT x n na 解 ：（ 1）设 1 1 1( ) ( ) ( 0 )y n T x n x n n ， 2 2 2( ) ( ) ( 0 )y n T x n x n n 则 1 2 1 0 2 01212 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T a x n b x
11、n a x n n b x n na T x n b T x na y n b y n ，所以系统为线性系统 设 ( ) ( )y n T x n ，则 ( ) ( 0)y n x n n， ( ) ( 0 )y n k x n k n ， 另一方面， ( ) ( 0 )T x n k x n k n ，即 ( ) ( )y n k T x n k ，所以系统为移不变系统。 （ 2）设 1 1 1( ) ( ) (3 )y n T x n x n， 2 2 2( ) ( ) ( 3 )y n T x n x n 则 1 2 1 21212 ( ) ( ) ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( )
12、 ( ) ( )T a x n b x n a x n b x na T x n b T x na y n b y n ，所以系统为线性系统 设 ( ) ( )y n T x n ，则 ( ) (3 )y n x n ， ( ) ( 3 ( ) ) ( 3 3 )y n k x n k x n k ， 5 5 另一方面， ( ) (3 )T x n k x n k ，即 ( ) ( )y n k T x n k ，所以系统为移变系统。 （ 3） 设 1 1 1 1( ) ( ) ( 2 ) ( )y n T x n x n x n ， 2 2 2 2( ) ( ) ( 2 ) ( )y n T
13、 x n x n x n 则1 2 1 2 1 21 1 2 21212 ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T a x n b x n a x n b x n a x n b x na x n x n b x n x na T x n b T x na y n b y n ，所以系统为线性系统 设 ( ) ( )y n T x n ，则 ( ) ( 2 ) ( )y n x n x n ， ( ) ( 2 ) ( )y n k x n k x n k 另一方面， ( ) ( 2 ) ( )T x n k
14、 x n k x n k ，即 ( ) ( )y n k T x n k ，所以系统为移不变系统。 （ 4） 设 1 ()11( ) ( ) xny n T x n n a， 2 ()11( ) ( ) xny n T x n n a 则 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )1212 ( ) ( ) . ( ) . ( ) bx n c x n bx n c x nbcT bx n c x n na na an T x n T x n ，所以系统为非线性系统 设 ( ) ( )y n T x n ，则 ()() xny n na ， ()( ) ( ) x n ky n k n k a
15、 而 () ( ) ( )x n kT x n k n a y n k ，所以系统为 时 变系统。 7已知系统的单位抽样响应如下，判断系统的因果性、稳定性。 （ 1） )( nu （ 2） )(2 nun （ 3） )( n （ 4） )(1 nun 解： (1)因为 0 ( ) ( ) 0n h n u n 时 ， ，故系统为非因果系统 又 0| ( ) | ( )nnh n u n ，故系统不稳定 （ 2）因为 0 ( ) 2 ( ) 0nn h n u n 时 ， ，故系统为非因果系统 又 0011| ( ) | 2 ( ) 22 1 0 .5nnn n nhn ，故系统稳定 （ 3）
16、因 为 0 ( ) 0n h n时 ， ，故系统为因果系统 又 | ( )| 1n hn ，故系统稳定 （ 4）因为 0 ( ) 0n h n时 ， ，故系统为因果系统 又01 1 1| ( ) | 1 . . . .2nnhn nn ，故系统稳定 8.一个因果系统由以下差分方程表示为： 6 ( ) 2 ( 1 ) ( ) 3 ( 1 )y n y n x n x n （ 1）求系统的单位抽样响应；（ 2）已知输入为 jnenx )( ，求输出响应。 9.模拟信号的频谱 与该模拟信号的抽样信号的频谱有何关系？ 10 ADC 包含哪些步骤？各实现什么功能？ 11. 抽样信号是通过什么实现恢复的？
17、 12. DAC 包含哪些步骤？各实现什么功能？ 第 3 章 序列的傅里叶变换与 Z 变换 参考答案 1 (1) x(n a) 解：设 ( ) (e ) ( ) (e )jwjwFT x n XFT y n Y ( ) ( ) e jw nnF T x n a x n a 令 ,n n a n n a 则 ( ) ( ) ( ) ee ( e )j w n anj w a j wF T x n a x nX (2) x*( a n) 解 ：设 ( ) (e ) ( ) (e )jwjwFT x n XFT y n Y 令 ,/n a n n n a ( ) ( ) e( ) e ( ) e j
18、w nnnjwannjwanFT x an x anxnxn (3) x( n+b) 解：设 ( ) (e ) ( ) (e )jwjwFT x n XFT y n Y 令 ,n n b n n b 7 7 ( ) ( ) ( ) ee ( ) ee ( )jw n bnjwb jwnnjwb jwF T x n b x nxnXe (4) x(n-a)*y(n-b) 解：设 () ( ) ( e ) ( ) ( e ) ( ) e ( e ) y ( ) e ( e ) ( ) ( ) = e ( e ) e ( e )e ( e ) ( e )jwjwjwa jwjwb jwjwa jw
19、jwb jwjw a b jw jwF T x n XF T y n YF T x n a XF T n b YF T x n a y n b X YXY 因 为所 以(5) x(a n)y(b n) 解略 (6) nx(a n) 解：设 ( ) (e ) ( ) (e )jwjwFT x n XFT y n Y 令 ,/n a n n n a 1( ) ( )1F T ( ) ( ) 1 ( ) nx an n x nanx an FT n x naFT n x na因为 (e ) ( ) ejw jwnnX x n 两边求导数 ( e ) ( ) e ( ) jw j w nndX j n
20、 x ndwjF T n x n 所以 8 ( e ) ( ) 1 ( e ) 1 ( e ) ( ) jwjw jwdXF T n x n jdwdX dXF T nx an j ja dw a dw (7) x(2a n) 解略 (8) x2(a n) 解略 2 已知 0j00 , | |(e ), | | , aX a 为 常 数 。求 X(ej)的傅里叶反变换 x(n)。 解：011( ) ( )22j j n j nx n X e e d a e d 001. ( )22 jnj n j naae e ej n n j 3设 10() 0 nxn 其 它 将 x(n)以 3 为周期进
21、行周期延拓， 形成周期序列 ()xn ， 画出 x(n)和 ()Xk 的波形， 求出 ()xn 的离散傅里叶级数和傅里叶变换。 解： ()xn 的离散傅里叶级数为： 22 30( ) ( ) ( ) 1j k nnX k D F S x n x n e ()xn 的傅里叶变换为： 22( ) ( ) ( ) ( )3322()33jwkkX e F T x n X k w kwk 4. 设序列 x(n)的 FT 用 X(ej)表示， 不直接求出 X(ej)， 完成下列运算或工作： ( ) 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 1 , 0 , 10xnn（ 1） j0(e )X 解： 9 9
22、00( ) ( ) ( ) 6j j nnnX e x n e x n （ 2） j 2 (e )dX 解： jj 022 ( e ) d 2 ( e ) d 22 2 ( 0 )8jX X ex （ 3） -j(e )X 解略 （ 4） j2| (e ) | dX 解： 由帕塞瓦尔公式可得： 2 j 22 (e ) d 2 ( ) 2 4nX x n （ 5） j 2d (e )| | ddX 解： ( e ) ( ) ( ) e( e ) ( ) ( ) jwjw nnjwdX j n x ndwdXFT j n x ndw 由帕塞瓦尔公式可得： 2j 222( e ) d 2 ( ) (
23、 )2 ( )296wnndX jn x ndwn x n 5求如下序列的傅里叶变换： (1) x1(n)=(n 7) (2) x2(n)=bnu(2n) 0b1 (3) x3(n)=u(n+2) u(n 4) 解 ： (1) 7( ) ( )j jn jnX e x n e e (2)0( ) ( )j jn n jnnnX e x n e b e 10 01() 1jn jn be be (3) 27422( 1 )( ) ( ) ( 2 ) ( 4 ) ( ) 1jjj j n j n j n jn n neeX e x n e u n u n e e e 6 若 序列 h(n)是实因果
24、序列， h(0)=1， 其傅里叶变换的虚部为 HI(ej)= cos2 求序列 h(n)及其傅里叶变换 H(ej)。 解： 2222001( ) c os 2 21 ( ) ( ) 2()jw j w j wIjw j w j wIjw nnH e w e eFT h n j H e j e eh n e 01 22( ) 0 01 22jnh n njn 000( ) ( ) 02 ( ) 010( ) 20nh n h n nh n nnh n j n 22( ) ( ) 1 ( ) 1jw jwn j w j wnH e h n e je je 7 设系统的单位脉冲响应 h(n)=bnu(n), 0b1， 输入序列为 x(n)=(n-1)+2(n b) 完成下面各题： (1) 求出系统输出序列 y(n)； (2) 分别求出 x(n)、 h(n)和 y(n)的傅里叶变换。 解：（ 1） 1( ) ( ) ( )( ) * ( 1 ) 2 ( ) ( 1 ) 2 ( )nn n by n h n x nb u n n n bb u n b u n b （ 2） 其它 n
