1、基于综合模型的 GPS 高程拟合方案研究摘 要：本文介绍了两种最常用高程拟合方法：多项式拟合法和多面函数拟合法。每一种高程拟合方法都有其优点和不足，在应用上都有其局限性。为此，本文提出综合模型，研究综合各种拟合方案的结果，兼容各种模型的优点。 关键词 ：GPS 技术；高程拟合；综合模型 中图分类号: U469.6+92 文献标识码：A 0 引言 在传统测量工作中，高程与平面测量是分开进行的。由于 GPS 技术的发展，在比较广阔的变形区域，尤其是稳定点与监测点距离较远时，或地形起伏较大区域，GPS 技术能多快好省地完成任务。但当两种数据放在一起处理时，高程基准不统一，GPS 获得的是 WGS84
2、 大地高，以 WGS84椭球面为基准，而水准测量获得的是高差，以水准面为基准，我国采用的是正常高系统，其基准是似大地水准面。如图 1 所示。 图 1H 大 、H 常 与 的关系图 Fig1 Relationship graph between H 大 、H 常 and 一般可用下式来表示大地高、正常高和高程异常三者的关系： =H 大H 常（1） 1 高程拟合的方法介绍 1.1 多项式拟合法1 （1）平面拟合 当测区范围较小且地势平坦时，可视大地水准面为平面，则拟合表达式为： （2） 式中 a、b、c 为未知参数，此时要求公共点至少为三个。 （2）四参数多项式拟合 四参数多项式拟合（又称相关平面
3、拟合）的曲面拟合表达式为： （3） 式中 a、b、c、为未知参数，此时要求公共点至少为四个。 （3）六参数多项式拟合 六参数多项式拟合的曲面拟合表达式为： （4） 式中 a、b、c、均为未知参数，此时要求公共点至少为六个。 以上三式中，是 GPS 监测点的坐标。 该坐标既可以是高斯平面直角坐标，也可以是大地坐标，实际上是高程异常。 1.2 多面函数拟合法2 GPS 似大地水准面的拟合，或高程异常的拟合，还可以采用多面函数拟合法。该方法的基本思想是：任何数学表面和任何不规则的圆滑表面，总可以用一系列有规则的数学表面的总和，以任意精度逼近。多面函数方程的一般形式为： （5） 式中，aj 是待定系数
4、，Q（x，y，xj，yj）是 x 和 y 的二次核函数，其中心在（xj，yj）处，Z 坐标可由二次式的和确定，故称多面函数。 在某一 GPS 网中，设有 m 个水准联测点，则可获得这些点的高程异常值 。这些高程异常可采用如下的多面函数来拟合： （6） 式中 n 为结点数（j=1,2,，n, nm） ， 为圆滑因子，可选取为1，-1/2，1/2。 在利用式（6）来确定 GPS 点的正常高时，其基本过程是：首先利用n 个结点（nm）上的高程异常值 及其坐标，按式（6）解算出待定参数 aj；然后将某一点的坐标代入式（2-5） ，即可求出该点的高程异常值；最后根据 GPS 测得的大地高 H 及计算得的
5、高程异常值 ，即可求得该点的正常高。 1.3 综合模型 综合模型是基于综合预报理论（combing forecast theory）提出的，最早应用于地壳变形中3，其实质是采取权重，选择或综合上述模型的拟合结果，前提是认为各种拟合方法得到的拟合值是独立的、不相关的。综合模型是运筹学中的约束非线性规划理论的具体应用。综合模型可以如下表述： ， （7） 式中是综合模型计算得到的拟合值；是中方法的权向量，是拟合点的总数, 是单一模型得到的高程异常值,其必须满足下列限制： （8） 式中 ,方程（8）可以简洁写成： （9） 式中 ,。如果考虑各个模型是互相独立，应用最小二乘法： （10） （10）式可以
6、更简洁地表述为： Min（11） 综上所述，综合模型用数学语言表述为： （12） 条件为： 式中，残差阵，单一方法模型的变形量阵， 权阵，理论真值阵。 。 解得，即为所求。同时应用高斯误差传播定律，可得综合变形结果的标准差： （13） 是标准方差阵，由来自单一方法中的标准差组成。 2 实例分析 本文中所使用的数据是某矿区第一期的观测成果，共 28 个点，已知它们的高斯坐标，其中还知道 9 个点的正常高，17 个点未知。根据这 9个点的高程，利用上述的方法，进行高程拟合，建立监测区的似大地水准面，进而获得 17 个待测点的正常高。 2.1 多项式拟合法 本文中使用了公式（2）和（3）两种方法（称
7、之为方案和方案） ，利用六个已知点来求参数，三个检查点，如表 1、表 2。 2.2 多面函数拟合法 实践表明，在直接利用公式（5） ，一般来说效果不是很好。针对本问题文中采取了两步拟合方案，首先采用了平面拟合，得到残差，再利用公式（5） ，其中选取 =0，=1/2，来拟合残差（称之为方案） 。为了便于与多项式方法比较，也利用了同样的求参数点和检查点，如表 2。 表 1 拟合中所用到的已知点的高程异常值 （单位：m） chart 1 The abnormal elevation values of known points which are adopted in fitting (unit:
8、m) 表 2 各方案拟合结果（单位：m） chart 2Fitting results of each scheme(unit: m) 2.3 综合模型方法 （1）综合方案、 对于检查点来说知道它们的真值（已知值）和拟合值，利用公式（12） ，首先综合方案、所得到高程异常值，建立优化方程： 、 解这个约束优化方程得：。 （2）综合方案、 综合方案和方案所得到高程异常值，建立优化方程，解得： （3）结果分析 综合方案、 时，出现了，这说明方案明显的优于方案和方案，从三个方案计算的结果中也可以分析出来。方案中检查点（已知点编号为 7）最大拟合值与真值之差达到 8cm，说明这种方法在这里拟合的效果不
9、好，而且其他两个点相差也比较大，这也能说明此问题；同样，方案较方案的拟合结果偏差也还是比较大，单从数据表面上分析也是方案明显的优于其他两个方案，结果与我们的预感是一致的，方案是三个方案中最好的。按常规分析，方案是应该得到较大的权，但不应该是 1，其结果应该出现三个介于 0-1 之间的小数。仔细分析阵，发现第一列和第二列比真值的每一个数据都偏小，但方案与真值差值小，自然方案要被方案淘汰而取为 0。最后的结果是从三种模型中，以最优化的理论为我们选择了方案。 综合方案和方案，我们得到，这一结果与我们所期望的结果是一致的，与常规的定权量值比较接近，从数据的分析结果看，这一权重也是合适的。最后的结果是以
10、最优化的理论将方案和方案得到的结果进行了综合，提高了拟合精度，使最后的结果兼容了两种方案的优点。 2.4 拟合结果 根据综合模型方法的分析、计算，既然综合方案和方案，兼容了两种方案的优点那么就选取此综合模型方案。为了提高精度，使用这九个已知点，利用最小二乘法得到结果为最终结果，如表 3： 表 3 某矿区内的高程拟合结果 （单位：m） chart 3 Fitting results of a mine area(unit: m) 3 结束语 利用综合模型算得到的拟合点的精度在 1cm1.5cm，这与目前文献上所谈到的诸如本次监测区域范围内，其拟合精度能达到 2cm 左右相一致，能满足本次矿区沉降
11、监测的需要。由此可见，综合模型对于局部地区解决 GPS 高程转化为正常高是有使用价值的。但综合模型方法仅是一种基于数学处理的方法，其物理解释合理性不够明确。对精密变形来说精度还有所欠缺，在具体使用中可以考虑分区，各区采用相对独立的精密水准，以便满足精密变形监测的需要。 Researches about GPS Elevation Fitting Schemes Based on the Combined Model SUN Chuan-shan 1，Li Ren-hai 1，DAI Xu-ping2 （ 1. Institute of Surveying Elevation fitting;
12、the combined model 参考文献 References 1 高井祥等， 卫星测地技术用于矿山变形监测理论与应用研究 ，研究报告，中国矿业大学，2002. 2 M.Yanalak and O.Baykal，Transformation of Ellipsoid Heights to Local Leveling Heights，Journal of Surverying Enginerring，August 2001,90104. 3 Q.W.Liu、Y.Q.Chen，Combining the Geodetic Models of Vertical Crustal Deformation ，Journal of Geodesy， （1998）72:673-683. 4 施 昆，GPS 网中网点正常高的一种求解方法，昆明工学院学报，Vol.19(1)，1994，812. 通讯作者： 孙传山（出生年月-1970.7.13） ，男，盐城市榆河路 142 号，助理工程师，盐城市勘察测绘院
