1、非正态分布下的最优投资组合【摘要】针对收益率服从非正态分布的投资组合，建立基于均值方差模型的投资组合模型。本文主要是对非正态分布下的均值VaR 模型以及均值LPM 模型进行研究比较。实证结果表明，基于非正态分布下的均值LPM 模型投资绩效优于非正态分布下的均值VaR 模型。 【关键词】非正态分布，投资组合，最优化 1、前言 投资组合优化管理的目标包括两个部分，一是提高投资组合的收益率，二是控制投资组合的风险。对于证券市场上的一般投资者即风险规避型的投资者而言或是基金经理而言，投资组合优化可以分为两个步骤，一是在给定期望收益水平的条件下进行风险管理，二是在风险得到有效管理的条件下进一步提高收益。
2、笔者侧重于前一方面，即研究在给定期望收益水平的条件下对投资组合进行风险管理。 Osborne（1964）假设股票收益服从正态分布，并结合其它六条假设，提出股价运动遵循随机漫步过程。当时的种种研究都认为金融资产收益率大致服从正态分布或是有条件的正态分布，现代金融在此基础上逐渐形成了有效市场假说。Fama（1965）研究结果表明股票收益具有偏度，在负收益侧的观测点要多于正收益侧，而且，在均值处收益分布的峰明显高于正态分布。自 Mandelbrot 和 Fama 提出股票收益率非正态分布的问题之后，有关资产收益率分布的研究在整个金融领域得到了广泛的重视。 Markowtz 提出的“均值-方差”理论为
3、风险和报酬的权衡提供了一个可以量化的研究方法。在这一模型中，方差被用以测度风险，这一理论的核心就在于求解在一定收益水平下，方差最小的投资组合。但是“均值-方差”理论也尤其缺陷，方差表示的是实际的收益偏离平均收益的波动情况，这就包括了向上波动和向下波动。而一般投资者只会厌恶向下的波动。所以很多学者就在 Markowtz“均值-方差”理论的基础上提出了改进。1975 年，Bawa 和 Lindenberg （1975）将半方差的思想进一步推广，把研究的重点转移到了左偏差（Lower Partial Moment） ，从而得到了一个新的投资组合模型，均值LPM 模型。1994 年 J.P.Morga
4、n 首先推出了基于 VaR 的风险度量系统。基于此，Alexander G 和 Baptista A（2002）分析了将 VaR 作为风险管理目标的单期模型，提出的以 VaR 作为风险函数的“均值-VaR”模型。 2、收益率非正态分布 本文用上证综指和深证综指代表上海和深圳证券市场的整体。分析的数据来源于 Wind 资讯金融终端，选取 2004.1.12013.12.31 这一区间的日收盘价作为样本数据。 上证综指和深证综指简单收益率和对数收益率的偏度和峰度的统计计算结果由下表列出。 由表 1 的数据可以看出，上证综指和深证综指简单收益率和对数收益率的偏度值略小于 0，因而呈现略微的左偏，笔者
5、认为可以忽略不计，并不会对建立在收益率正态分布假设下的投资组合模型的投资效果有显著影响。然而各收益率序列的峰度值均呈现了与正态分布的峰度值（正态分布的峰度值为 3）较大程度的偏离，大致为 6 和 5，因而尖峰现象十分显著。所以通过峰度检验也可以确认整体股市收益率的非正态性。 3、模型比较 3.1 非正态分布下的均值VaR 模型 中国股市上的收益率并不满足正态分布。所以笔者利用 Bertsimas和 Popescu 给 VaR 设定的上界： 在考虑了投资组合收益率满足“尖峰厚尾”的非正态分布的情况下，将上述公式中 VaR 的表达式替换 Markowitz 均值方差模型中的方差，则得到了非正态分布
6、下的均值VaR 投资组合模型： 公式（3.2）中的 p 表示投资者所能够接受的最小投资组合的期望收益率，t 表示置信度，wi0，i=1，2，表示不能卖空股票。 3.2 均值LPM 模型 Markowtz 在吸取了 Roy 的思想后，将投资组合模型中对收益率不确定性的度量改成了针对下方风险的度量。下方风险，即投资组合收益率低于预期收益率的风险。Bawa 和 Lindenberg （1975） ，Fishburn 和Peter（1977）提出了风险度量左偏差（Lower Partial Moment） ，并给出了 LPM 的定义： LPM 作为测度风险的工具，克服了在正态分布下方差测量存在的问题。
7、首先，LPM 不再关注收益率高于目标收益率的部分，而只关注收益率低于目标收益率的部分。其次，LPM 公式中的目标收益率是可变的，使用者可以更具自己的风险偏好自行制定目标收益率。此外，LPM 的阶数 n 可变，通过变化 n 来放大或缩小风险的测量值。 4、实证研究 4.1 样本选取 本文选取了 2013 年股票型基金收益率排名靠前的中邮战略新兴产业股票型基金作为研究对象，主要以其 3 季度报告中所列的前十大重仓股进行研究。前十大重仓股明细如下： 以这 10 支股票 2013 年 1 月 1 日至 2013 年 9 月 30 日共 177 个交易日的收盘价为基础数据，计算出每支股票的收益率和各支股
8、票直接的协方差。 4.2 模型计算 这 10 支股票日收益率均值最大值为 0.76%，最小值为 0.15%，将两者之间的差额均分为 30 等份，取此 30 个值为投资者所能接受的最小投资组合期望收益率。 针对均值VaR 模型，选取置信度为 95%，而对于均值LPM 模型，投资组合的收益率取每支股票前 3 季度日收益率均值，风险规避系数取2。通过 matlab2010a 软件求得相应的投资组合中各股的权重wi（i=1，210） ，以及投资组合的期望收益率、VaR 以及 LPM。以上得出的是一系列的可行解。本文以投资组合的 VaR / 均值和 LPM/ 均值（即风险收益比）最小为指标判断最优投资组
9、合的依据。 实际投资结果的计算：按照计算结果的权重配置，于 2013 年 10 月1 日购入相应的股票，建立投资组合，再以 2013 年第 4 季度以上 10 支股票的实际收益率为依据，计算以上两种模型建立的投资组合的实际收益率，比较两者的优劣。 5、结论 结论 1：无论是简单收益率还是对数收益率，上证指数和深证成指的收益率都不满足正态分布，而是表现为以“尖峰厚尾”为特征的非正态分布。 结论 2：经过实证研究，我们发现运用基于非正态分布下的均值LPM 模型建立的投资组合的投资绩效优于非正态分布下的均值VaR 模型。由于 2013 年 4 季度，股市整体表现较差，无论是使用均值LPM 模型还是均
10、值VaR 模型，投资组合的收益率都为负值。但是使用均值LPM 模型的损失更小，所以绩效表现更好。具体收益情况见表 4. 参考文献： 1Bawa， Vijay S. Optimal Rules For Ordering Uncertain Prospects， ，Journal of Financial Economics， 1975，2（1） ， 95-121 2 Alexander G.J.，Baptista A.M.Economic implications of using a mean-VaR model for portfolio selection：A comparison with mean-variance AnalysisJ.Journal of Economic Dynamics and Control，2002，26：ll59- 1193. 3姚京，李仲飞.基于 VaR 的金融资产配置模型J.中国管理科学，2004，12（1）：8-14.
