1、2017年镇海中学 数学竞赛 模拟试卷（ 3） 姓名 _ 一、 填空题， 每题 8 分 1.设 1sin cos 2xx， 则 33sin cosxx 2.设 i 为 虚数单位，化简 2016 2016( 1) ( 1) ii 3.已知 等差数列 1 2 1000,a a a 的 前 100 项之和 为 100， 最后 100 项 之和为 1000，则 1a 4. 集合 2 3 1 , 2 , ,10 0 x x x x R共 有 个 元素 ，其中 x 表示 不超过 x 的最大整数。 5.若关于 x 的方程 2 xx ae 有 三个不同的 实 根，则实数 a 的 取值范围是 6. 在如图所示
2、的单位正方体 1 1 1 1ABCD A B C D中 ，设 O 为 正方体的中心，点 ,MN分别 在棱 1 1 1,ADCC 上 ，1 12,23A M CN,则 四面体 1OMNB 的 体积 等于 OA BCDA1D1M C1B1N7. 已知 抛物线 P 以 椭圆 E 的 中心为焦点， P 经过 E 的两个 焦点，并且 P 与 E 恰 有三个 交点 ，则 E 得 离心率等于 二、 简答题 8.已知 数列 na 满足 2 1101 22 3 91 , 5 , 2 nnn naaa a a a， 2n 。 用数学归纳法证明：223nna 9.证明： 对任意的实数 ,abc都有 2 2 2 2
3、2 23 ( ) a ab b a ac c a a b c并求 等号成立的充分必要条件。 10.求 满足 1 nmm n mn的 所 有正 整 数 对 ( , )mn 2017年 高中数学竞赛 模拟试卷（ 3）答案 一、 填空题， 每题 8 分 1.设 1sin cos 2xx， 则 33sin cosxx 解答： 由 1sin cos 2xx， 可得 11 2 sin cos4xx， 故 3sin cos 8xx ， 从而33sin cosxx 22 1 3 1 1( s i n c o s ) ( s i n c o s s i n c o s ) (1 )2 8 1 6 x x x x
4、 x x 2.设 i 为 虚数单位，化简 2016 2016( 1) ( 1) ii 解答 ：由 2( 1) 2ii， 可得 2016 1008( 1) 2i ， 同理可得 2016 1008( 1) 2i 故2 0 1 6 2 0 1 6 1 0 0 9( 1) ( 1) 2 ii 3.已知 等差数列 1 2 1000,a a a 的 前 100 项之和 为 100， 最后 100 项 之 和为 1000，则 1a 解答：设 等差数列的公差为 d，则有 1100 4950 100ad， 11 0 9 4 9 5 0 1 0 0 0ad解得1 0.505a 4. 集合 2 3 1 , 2 ,
5、,10 0 x x x x R共 有 个 元素 ，其中 x 表示 不超过 x 的最大整数。 解答 ：设 ( ) 2 3 f x x x x则 有 ( 1) ( ) 6 f x f x， 当 01x 时 ， ()fx的所 有可能值为 0,1,2,3. 由此 ()fx 得 值域 6 , 6 1 , 6 2 , 6 3 S k k k k k Z, 2 3 1 , 2 , , 1 0 0 4 1 7 1 6 7 x x x x R个 元素。 5.若关于 x 的方程 2 xx ae 有 三个不同的 实 根，则实数 a 的 取值范围是 解答： 设 2() xf x x e ， 则 2( ) (2 ) x
6、f x x x e当 0x 时 ， 2() xf x x e 单调 递减， 当02x 时 ， 2() xf x x e 单调 递 增，当 2x 时 ， 2() xf x x e 单调 递减 ， (0) 0f ，2(2) 4 fe，当 x 时 ( ) 0fx 因此， 2() xf x x e a有 三个不同的 实 根 当且 仅当 204ae 6.在如图所示 的单位正方体 1 1 1 1ABCD A B C D中 ，设 O 为 正方体的中心，点 ,MN分别 在棱 1 1 1,ADCC 上 ，1 12,23A M CN,则 四面体 1OMNB 的 体积 等于 解答 ：以 A 为 原点， 1,AB A
7、D AA 为 ,xyz 轴 建立空间直角坐标系，则 有11 1 1 2( , , 0 ) , (0 , ,1 ) , (1 ,1 , ) , (1 , 0 ,1 )2 2 2 3O M N B由此 四面体 1OMNB 的 体积11 1 16 7 2 V O B O N O M7.已知 抛物线 P 以 椭圆 E 的 中心为焦点， P 经过 E 的两个焦点，并且 P 与 E 恰 有三个 交点 ，则 E 得 离心率等于 解答 ： 不妨设 椭圆 E 的方程 为 22 1( 0) xy abab ， P经过 E 的两个 焦点 ， 222x cy c 2 2 2a b c ， P 与 E 恰 有三个 交点
8、， 所以 2cb， 则 E 得 离心率等于 255ce a 二、 简答题 8.已知 数列 na 满足 2 1101 22 3 91 , 5 , 2 nnn naaa a a a， 2n 。 用数学归纳法证明：223nna 证明 ： 23011 2 3 , 5 2 3 , aa从而 223nna 对 0,1n 成立 。 当 2n 时 假设 11 23 nna ， 2 23 nna 由递推 公式 可得2 1 2 1 2 21122 3 9 2 ( 2 3 ) 3 ( 2 3 ) 9 4 2 1 5 2 9 232 2 ( 2 3 ) 2 3 n n n n nnnn nnnaaa a 由此 ， 2
9、23nna 对 一切 0n 成立 。 9.证明： 对任意的实数 ,abc都有 2 2 2 2 2 23 ( ) a ab b a ac c a a b c并求 等号成立的充分必要条件。 证明 方法一： 2 2 2 2 2 23 ( ) a ab b a ac c a a b c两边 平方 OA BCDA1D1M C1B1N2 2 2 2 2 2 2 2 22 ( ) 2 ( ) ( ) 4 2 ( ) ( ) a a b c b c a ab b a ac c a a b c b c移项 合并 2 2 2 2 2 1( ) ( ) ( )2 a a b b a a c c a a b c b
10、c两边 平方 展开 可得 4 3 2 2 2 2 24 3 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )1( ) ( ( ) 2 ) ( )2 a a b c a b b c c a b c b c b ca a b c a b c b c c a b c b c b c移项 合并 2 2 2 2 2 233( ) ( ) 042 a b c a b c a b c 不等式成立 的必要 是 ( ) 0a b c 当 0a 不等式 等号成立等价于 0bc ，当 bc时 不等式等号成立。 综上 所述， 不等式 等号成立的充分必要条件 是 0a 且 0bc 或者 bc 证明 方法二： 设 向量 33(
11、, ) , ( , )2 2 2 2 bca b a c则2 2 2 2 a a b b a a c c 2 2 2 23( 2 ) ( ) 3 ( )24 bca b c a a b c 根据 三角不等式 即 可得所要证明的不等式，不等号成立的充分必要条件是 、 平行 且方向相同。 当 时 ， ( - ( ) = 0 ( ) 022 ）bcc a b a a b c， 以下同 证明方法 一。 10.求 满足 1 nmm n mn的 所 有正 整 数 对 ( , )mn 解 答： 引 理 1: ln() xfx x 在 (0,e 上 单调递增，在 ,e 上 单调 递减 。 引理 2： 当 0x
12、 时 ， ln(1 )xx 由 引理 1 可得 ln ln nm mnmn 有 以下情形， 情形 一 ： 1, 2nm， ( , )mn 均 满足题设 情形二 ： 2, 5mn设 2( ) 2 2 , 5 xg x x x x则 ( ) 2 ln 2 2 2 0 xg x x 由 (5) 3, (6 ) 16 gg， 可得满足题设条件的 ( , )mn 只有 (2,5) 情形 三： 3, 2mn易 知满足要求。 情形 四： 3, 1 m n m ，设 () xmg x m x mx当 1xm 时 1 1( ) l n 0 x m m m mg x m m m x m x m x m x m所以 () xmg x m x mx单调 递增， 因 此 ，11 1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) m m m mg n g m m m m m m m m mm 当 3m 时， ( ) 5gm 当 4m 时 ， ( ) ( 1) 0 mg m m m m无 ( , )mn 满足 题设 条件。 综上 ，所有满足题设条件的正整数为 ( ,1), (2 , 5 )(3, 2) 2mm
