1、1 2018 届 翠园中学 高三第二 次周测 数学（文）试卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ， 每小题 5 分 ， 共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 1,2,3A， 2 60B x x x ，则AB（ ） A1B2C3D 2,32复数 31ii的实部和虚部分别为（ ） A 3， 3 B -3， 3 C 3， i D -3， i 3 cos 1yx图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是（ ） A2 4 B C 2 D2 1 4椭圆 E的焦点在 x轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是 2 的正方形的顶点，则椭圆 的标准方程为
2、（ ） A2212 2xyB22x yC 22142xyD1yx5已知函数 12f x x，则（ ） A 0xR，使得 0fxB 0 , , 0x f x C 12, 0,xx ，使得 1212 0f x f xxx D 0 , , 0 , 使得 f x f x6下图是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为直径为 2 的半圆，俯视图是直径为 2 的圆，则该几何体的表面积为（ ） A 3 B 4 C 5 D 12 7九章算术是我国古代第一部数学专著，全书收集了 246 个问题及解法，其中一个问题为“现在一根据九节的竹子， 自上而下各节的容积成等差 数列，上面四节容积之和为 3 升，下面三节的容积
3、之和为 4 升，求中间两节的容积各为多少？”则该问题中第 2 节，第 3 节，第 8 节竹子的容积之和为（ ） 2 A176升 B72升 C 11366升 D10933升 8某同学为实现“给定正整数 N，求最小的正整数 i，使得7i N” ，设计程序框图如下，则判断框中可填入（ ） A xN B C xN D 9若 21 l og 1 2 , 3 1x y x ，则2xy的最大值与最小值之和是（ ） A 0 B -2 C 2 D 6 10函数2lny x x的图象大致为（ ） A B C D 11 ABC中，23C ， 3AB，则 ABC的周长为（ ） A6 sin 33A B6 sin 36
4、A C2 si n 33A D2 3 si n 36A 3 12 A、 F分别是双曲线 22 1 0 , 0xy abab 的左顶点和右焦点， A、 F在双曲线的一条渐近线上的射影分别为 B、Q， O为坐标原点， ABO与FQO的面积之比为12，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B12C 22D 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13等比数列na的公比为2，则 222017 2016ln lnaa 14空气质量指数（Air Quali ty Inde x，简称AQI）是定量描述 空气质量状况的指数 ，空气质量按照AQI大小分为六级， 0
5、 50 为优； 51 100 为良； 101 150 为轻度污染； 151 200 为中度污染； 201 300 为重度污染；大于 300 为严重污染 某环保人士从当地某年的I记录数据中，随机抽取 10 天的I数据，用茎叶图记录如下 根据该统计数据，估计此地该年AQI大于 100 的天数约为 （该年为 365天） 15化简： 22 si n si n 22 c os 2 16矩形 ABCD中， 3AB， 2AD， P矩形内部一点，且 1AP，若AP xAB y AD，则32xy的取值范围是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17 （本小
6、题满分 12 分） 已知数列na为等差数列，其中 2 3 5 28, 3a a a a （）求数列n的通项公式； （）记 12nnb aa，设 nb的前 项和为 nS 求最小的正整数 n，使得20162017nS 4 18 （本小题满分 12 分） 某研究 型学习小组调查研究 ”中学生使用智能手机对学习的影响 ” 部分统计数据如下表 : 参考数据 : 参考公式 : 22 n ad bcK a b c d a c b d ， 其中 n a b c d ( )试根据以上数据 ， 运用独立性检验思想 ， 指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响 ? ( )研究小组将该样本中使用智能手机且成绩
7、优秀的 4 位同学记为 A组 ， 不使用智能手机且成绩优秀的 8位同学记为 B组，计划从 A组推选的 2 人和 B组推选的 3 人中，随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验 求挑选的两人恰好分别来自 A、 B两组的概率 19 （本小题满分 12 分） 如图，以 A、 B、 C、 D、 E为顶点的六面体中， ABC和 ABD均为等边三角形，且平面 ABC平面 ABD， EC平面 ABC，3, 2EC AB ( )求 证 : /DE平面 ABC； ( )求此六面体的体积 20 （本小题满分 12 分） 已知 0,2A的动圆恒与 x轴相切 ， 设切点为,BAC是该圆的直径 （ ）
8、求 C点轨迹 E的 方程； 5 （ ）当 AC不在轴上时，设直线 AC与曲线 E交于另一点 P，该曲线在 P处的切线与直 线 BC交于Q点 求证 : PQC恒为直角三角形 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 ,x af x e g x x， a为实常数 ( )设 F x f x g， 当 0时 ， 求函数Fx的单调区间； ( )当 ae时 ， 直线 xm、 0, 0x n m n 与函数fx、gx的图象一共有四个不同的交点 ，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形 求证 ： 1 1 0mn 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 （本小题满分 1
9、0 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中 ，曲线 1C的参数方程为2 cos4 sinxy ，以坐标原点 O为极点， x轴正半轴为极轴的坐标系中，曲线 2的方程为 c os si n 1 0m （ m为常数） ( )求曲线 12,CC的直角坐标方程； ( )设 P点是 1C上到 x轴距离最小的点 ， 当 2C过 P点时 ， 求 m 23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知 3f x x a x （ )当 1a时 ， 求fx的最小值； （）若不等式 3的解集非空，求 a的取值范围 6 2018 届 翠园中学 高三第二 次周测 数学（文）试卷 参考答案及
10、平 分 标准 一、选择题 1-5: CBACB 6-10: AACCA 11、 12： CD 二、填空题 13 ln2 14 146 15 2sin 16 1, 2三、解答题 17 解： （ 1)设等差数列na的公差为 d， 依题意有12 3 84 3 3ada d a d ， 3 分 解得 11, 2ad， 从而na的通项公式为2 1,na n n N ； 6 分 (2) 因为 12 1 12 1 2 1nnnb a a n n ， 所以 1 1 1 1 1 11 3 3 5 2 1 2 1nS nn 11 21n 9 分 令 1 20161 2 1 2017n， 解得 1008n，故取 1
11、009n 12 分 18 解： (1)根据卡方公式求得2 10K ， 因为27.897 10.82 8K所以该研究小组有 99 5%的把握认为中学生使用智能手机对学习有影响 4 分 (2)记 A组推选的两名同学为 12,aa， B组推选的三名同学为 1 2 3,bb b， 则从中随机选出两名同学包含如下 10 个基本事件： 1 2 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3 1 2 1 3 2 3, , , , , , , , , , , , , , , , ,a a a b a b a b a b a b b b b b b b 7 分 记挑选的两人恰好分别来自 AB、两组为事件 Z， 7 则事
12、件 Z包含如下 6 个基本事件： 1 1 1 2 1 3 2 2 2 3, , , , , , , , ,a b a b a b a b a b 9 分 故 6310 5PZ 即挑选 的两人恰好分别来自 AB、两组的概率是35 12 分 19 解： (1)作 DF AB，交 于 ， 连结 CF 因为平面 ABC平面 ABD， 所以 DF平面 ， 又因为 EC平面 ， 从而 /DF EC 3 分 因为 ABD是边长为 2 的等边三角形， 所以3DF， 因此 DF EC， 于是四边形 ECF为平行四边形， 所以 /E CF， 因此 /DE平面 ABC 6 分 (2) 因为 ABD是等边三角形， 所
13、以 F是 AB中点， 而 ABC是等边三角形， 因此 CF AB， 由 DF平面 ，知 DF CF， 从而 CF平面 ABD， 又因为 /DF EC， 所以 DE平面 ， 因此四面体 ABDE的体积为1 13 ABDS DE ， 9 分 四面体 C的体积为1ABC CE， 而六面体 ABCED的体积 =四面体 ABDE的体积 +四面体 ABCE的体积 故所求六面体的体积为 2 12 分 8 20 解： (1) 设 C点坐标为 ,xy，则 B点坐标为,02x 因为 AC是直径，所以 BA BC，或 C、 均在坐标原点 因此0BA BC，而, 2 , ,22xxBA BC y 故有2 204x y
14、， 即2 8， 3 分 另一方面，设200, 8xCx是曲线2 8上一点， 则有2222 000 16288xxAC x ， AC中点纵坐标为20202 1682 16x x ， 故以 为直径的圆与 x 轴相切 综上可知 C点轨迹 E的方程为2 8xy 5 分 (2)设直线 AC的方程为2y kx， 由28y kx 得：2 8 16 0x kx 设 1 1 2 2, , ,C x y P x y，则有 1216xx 8 分 由28xy对 x求导知4xy， 从而曲线 E在 P处 的切线斜率22 4xk ， 直线 BC的斜率211111842xxkxx， 10 分 9 于是 1212 16 116
15、 16xxkk 因此QC PQ 所以PQC恒为直角三角形 12 分 21 解： (1) x aF x e x，其定义域为 , 0 0, 而 2x ax e x ， 2 分 当 0a时， 0Fx ， 故 F(x)的单调递增区间为 , , 0, ，无单调递减区间 4 分 (2)因为直线 xm与 xn平行， 故该四边形为平行四边形等价于 f m g m f n g n 且0, 0mn 6 分 当 ae时， 0x eF x f x g x e xx ， 则 2x ex e x 令 2x eg x F x e x 则 32 0x eg x e x ， 故 2x eF x e x在 0.上单调递增； 9
16、分 而 2101eFe ， 故 0,1x时 0,F x F x 单调递减； 1,x 时 0,F x F x 单调递增； 而 F m F n， 故 01mn nm或 0 n 1 m， 所以 11 12 分 22 解： (1)由2 cos4 sinxy 知 ( 222 4 1xy ， 故曲线 1C的直角坐标方程为：22 4 8 19 0x y x y 将c os , si nxy 代入 c os si n 1m 知 曲线 2C的直角坐标方程为10x my 5 分 (2)曲线 1是圆心为 2,4，半径为 1的圆， 10 故 P点坐标为 2,3，代入10x my 求得 1m 10 分 23 解： (1)当 1a时， 1 3 1 3 2f x x x x x ， 故fx的最小值为 2，当且仅当 13x时取到最小 值 5 分 (2) 3 3 3f x x a x x a x a ， 若不等式 3的解集非空， 则33a，即 3 3 3a ， 因此 06a， 所有 a的取值范围是 0,6 10 分
