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第二章,微积分学的创始人:,德国数学家 Leibniz,微分学,导数,,描述函数变化快慢,微分,,描述函数变化程度,都是描述物质运动的工具,(从微观上研究函数),,导数与微分,导数思想最早由法国,数学家 Ferma 在研究,极值问题中提出.,英国数学家 Newton,,一、引例,二、导数的定义,三、导数的几何意义,四、函数的可导性与连续性的关系,五、单侧导数,,第一节,导数的概念,微信公众号：高数君,一、 引例,1. 变速直线运动的速度,设描述质点运动位置的函数为,则 到 的平均速度为,而在 时刻的瞬时速度为,,自由落体运动,,,,2. 曲线的切线斜率,曲线,,,,在 M 点处的切线,,割线 M N 的极限位置 M T,,(当 时),割线 M N 的斜率,,切线 MT 的斜率,,两个问题的共性:,瞬时速度,切线斜率,所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .,类似问题还有:,加速度,角速度,线密度,电流强度,是速度增量与时间增量之比的极限,是转角增量与时间增量之比的极限,是质量增量与长度增量之比的极限,是电量增量与时间增量之比的极限,变化率问题,,二、导数的定义,定义1 . 设函数,在点,,存在,,并称此极限为,记作:,即,则称函数,若,的某邻域内有定义 ,,运动质点的位置函数,在 时刻的瞬时速度,曲线,在 M 点处的切线斜率,,,不存在,,就说函数在点 不可导.,若,也称,在,若函数在开区间 I 内每点都可导,,此时导数值构成的新函数称为导函数.,记作:,,注意:,就称函数在 I 内可导.,的导数为无穷大 .,若极限,,例1. 求函数,(C 为常数) 的导数.,解:,即,例2. 求函数,解:,说明：,对一般幂函数,( 为常数),例如，,（以后将证明）,,例3. 求函数,的导数.,解:,则,即,类似可证得,,,,例4. 求函数,的导数.,解:,即,,,原式,,是否可按下述方法作:,例5. 证明函数,在 x = 0 不可导.,证:,不存在 ,,,例6. 设,存在, 求极限,解: 原式,,三、 导数的几何意义,若,曲线过,上升;,若,曲线过,下降;,若,切线与 x 轴平行,,称为驻点;,若,切线与 x 轴垂直 .,切线方程:,法线方程:,,,,,,,,例7. 问曲线,哪一点有铅直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有铅直切线,四、 函数的可导性与连续性的关系,定理1.,证:,设,在点 x 处可导,,存在 ,,因此必有,其中,故,,所以函数,在点 x 连续 .,注意: 函数在点 x 连续，但在该点未必可导.,反例:,,,在 x = 0 处连续 , 但不可导.,即,,在点,的某个右 邻域内,五、 单侧导数,若极限,则称此极限值为,在 处的右 导数,,记作,即,(左),(左),,,,,例如,,在 x = 0 处有,定义2 . 设函数,有定义,,存在,,定理2. 函数,在点,且,,存在,,,简写为,定理3. 函数,(左),(左),若函数,与,都存在 ,,则称,显然:,在闭区间 [a , b] 上可导,,在开区间 内可导,,在闭区间 上可导.,可导的充分必要条件,是,且,,内容小结,1. 导数的实质:,3. 导数的几何意义:,4. 可导必连续, 但连续不一定可导;,5. 已学求导公式 :,6. 判断可导性,,不连续, 一定不可导.,直接用导数定义;,看左右导数是否存在且相等.,2.,增量比的极限;,切线的斜率;,,,思考与练习,1. 函数 在某点 处的导数,区别:,是函数 ,,是数值;,联系:,注意:,有什么区别与联系 ?,？,与导函数,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,,5. 设,, 问 a 取何值时,,在,都存在 , 并求出,解: 显然该函数在 x = 0 连续 .,故,时,此时,在,都存在,,,作业,P86
2 , 5 , 6, 7, 11, 16(2) , 18 , 20,第二节,牛顿(1642 – 1727),,伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,,次年又提出反流数(积分)术,,并于1671,年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版).,他,还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 .,莱布尼茨 (1646 – 1716),,,德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,,他在《学艺》杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,,有的早于牛顿,,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,,系统地阐述二进制计,数法 ,,并把它与中国的八卦联系起来 .,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2. 设,故,
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