1、各种估计总体标准差方法的误差分析和比较研究（中）摘 要 全面地介绍了估计总体标准差的 7 种主要统计方法：贝塞尔公式法（最为常用） 、彼得斯公式法、极差法、最大误差法、最大残差法、较差法和最大方差法。系统地研究了各种估计总体标准差统计方法的由来和原理，严谨地推导出了其标准差系数的计算公式。根据标准差系数大小所反映出的测量精密度高低可分析比较出各种估计总体标准差统计方法的优劣及其适用范围。 关键词 总体标准差；参数估计；无偏估计；系统误差；随机误差；综合误差；测量不确定度；自由度；标准差系数 中图分类号 O 212 文献标识码 A 彼得斯公式法 彼得斯公式法（Peters formula met
2、hod）1又称残差绝对值估计法，其计算公式为： 彼得斯公式 1856 年由德国天文学家彼得斯（Christian August Friedrich Peters，1806.09.071880.05.08）首先提出。在贝塞尔的指导下彼得斯获柯尼斯堡（K?nigsberg，原为普鲁士王国东普鲁士省的首府，1945 年德国战败后根据波茨坦会议的决定割让给前苏联，现为俄罗斯飞地加里宁格勒）大学博士学位，18391849 年他在俄国圣彼得堡的普尔科沃天文台（Pulkovo Observatory）工作，1849 年他晋升为柯尼斯堡天文台（1810 年由贝塞尔创建并出任首任台长，隶属于柯尼斯堡大学）的天文
3、学教授，不久后他出任该天文台台长职务，其主要成就是确定了天文学常数章动常数和恒星视差的光行差（光行差现象17251728 年首先由英国天文学家布拉德雷发现）等。 彼得斯公式法的数学期望和方差分别为： 关于贝塞尔公式法和彼得斯公式法的特点和结论：贝塞尔公式法适用于方差是正态或非正态任意分布时的情形2，彼得斯公式法则只适用于方差是正态分布时的情形，它们均要求样本数 n2。彼得斯公式法经得起数据中夹杂着具有异常倾向的数据的干扰3。贝塞尔公式法运算复杂，彼得斯公式法的运算则相对简便。修正后贝塞尔公式法全面优于修正前贝塞尔公式法。当 n25 时，彼得斯公式法优于修正前贝塞尔公式法。Cn（P）-Bn 的最
4、小值出现在 n=3 时，其最大值出现在n=102 时，该值最终趋近于零。当 n=2 时彼得斯公式法等价于修正后贝塞尔公式法；当 n3 时，后者优于前者。Cn（P）-Cn（B）的最小值出现在 n=2 时，其最大值出现在 n=8 时，该值最终趋近于零。当 n10时，修正后贝塞尔公式法和彼得斯公式法的估计相对效率不低于91.01%，随着 n 的增大，其相对效率十分缓慢地下降（n=100 和 1000 时的相对效率仍分别高达 87.93%和 87.63%）且最终趋近于 50%。 文献4中所介绍的所谓“第一种新估计（此处应该是 为未知） ”方法（其自由度为 n-1） ，其实质就是彼得斯公式法，它是 的无
5、偏估计和相合估计；“第二种新估计（此处应该是 为已知） ”方法（其自由度为 n）则只具有渐近无偏性和相合性。 极差法 在讨论极差法（range method=extreme difference method）5-6之前首先有必要介绍顺序统计量。设 X1，X2，Xn（n2）为独立地抽自总体 XN（，2）的随机样本，把其测量值 x1，x2，xn 按从小到大的顺序排列为 x（1） ，x（2） ，x（n） 。为简便起见，记yi=x（i） ，则 y1y2yiyn，且 Y1，Y2，Yn 就是一个顺序统计量7-10。 对于任意 2 个顺序统计量 Yi 和 Yj（1ijn） ，其联合分布密度和联合概率函数分
6、别为： 参考文献： 1 朱安远. 用彼得斯公式估计总体标准差的误差分析J. 中国市场（物流版） ， 2012，19（19）：28-31. 2 肖明耀. 误差理论与应用M. 北京：计量出版社， 1985. 3 方开泰，马毅林，吴传义，刘璋温. 数理统计与标准化M. 北京：技术标准出版社， 1981. 4 周杰升. 正态总体标准差的两种新估计J. 新乡学院学报（自然科学版） ， 2008，25（3）：25-26. 5 刘智敏. 评定精度的一种简单方法 极差法J. 计量工作， 1974 （Z1）：47-51. 6 方开泰，刘璋温. 极差在方差分析中的应用J. 数学的实践与认识， 1976，6（1）：
7、37-51. 7 山内二郎 . 統計数値表（ Statistical Tables and Formulas with Computer Applications， JSA1972）M. 東京：日本規格協会JSA（Japanese Standards Association） ， 1972. 8 张方仁. 顺序统计量极差的概率分布与闭合差的限值J. 武汉测绘学院学报， 1984，9（2）：63-76. 9 何国伟. 误差分析方法M. 北京：国防工业出版社， 1978. 10 何朝兵，田彦伟. 顺序统计量的分布J. 成都大学学报（自然科学版） ， 2008，27（2）：116-119. 11 周
8、概容. 概率论与数理统计M. 北京：高等教育出版社， 1984. 12 陈希孺. 现代数学基础丛书：数理统计引论M. 北京：科学出版社， 1997. 13 林洪桦. 测量误差与不确定度评估M. 北京：机械工业出版社， 2010. 14 A. T. McKay， E. S. Pearson. A note on the distribution of range in samples of nJ. Biometrika， 1933，25（3/4）：415-420. 15 中国科学院数学研究所概率统计室. 常用数理统计表M. 北京：科学出版社， 1974. 16 丁振良. 误差理论与数据处理M.
9、哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社， 2002（第 2 版）. 17 李海峰. 检出限几种常见计算方法的分析和比较J. 光谱实验室， 2010，27（6）：2465-2469. 18 刘智敏. 不确定度及其实践M. 北京：中国标准出版社， 2000. 19 JJG1027（19）91（国家计量技术规范，归口单位：北京市技术监督局） ，测量误差及数据处理S. 20 QJ28（19）81（中华人民共和国第七机械工业部部标准） ，压力传感器静态基本性能指标和精度计算方法S. 21 刘智敏. 不确定度原理M. 北京：中国计量出版社， 1993. 22 王汉荣. 方差的几种常用估计量及其效果J. 沙洲职业工学
10、院学报， 1999，2（1）：29-31. 23 朱安远. 用较差法估计总体标准差的误差分析J. 中国市场（物流版） ， 2012，19（49）：35-41，69. 作者简介 朱安远（1964） ，男，湖南邵东人，工学学士（工业电气自动化专业） ，高级工程师，高级销售经理，现任北京金自天正智能控制股份有限公司市场营销部副部长兼华东区区域经理，主要从事工业自动化（尤其是冶金自动化三电系统）领域的市场营销和应用工作。近期三大研究主题：低压变流器电流过载能力指标（关注此事始于 1999 年）、诺贝尔奖获奖者（喜好此事源自 1981 年）和总体标准差的统计估计方法（研究兴趣来自笔者 1987 年对此事的系统性归纳和总结） 。业余爱好：数学，自称诺迷（类似于球迷、邮迷、歌迷或影迷，酷爱研究诺贝尔奖获奖者且乐此不疲） ，倡议在国际上创建诺学（类似于中国的红学） 。
