1、 第四章习题答案 1 现有 1000 元贷款计划在 5 年内按季度偿还。已知季换算名利率 6%，计算第 2 年底的未结贷款余额。 解： 设每个季度还款额是 R ，有 Ra(4) 5p6% = 1000 解得 R ，代入 B2 的表达式 B2 = Ra(4) 3p6% = 635.32 元 2 设有 10000 元贷款，每年底还款 2000 元，已知年利率 12% ，计算借款人的还 款总额等于原贷款额时的未结贷款余额。 解： n = 10000 2000 = 5 B5 = 10000 (1 + i)n 2000snp12% = 4917.72 元 3 某贷款在每季度末偿还 1500 元，季换算名
2、利率 10% ，如果已知第一年底的未 结贷款余额为 12000 元，计算最初的贷款额。 解： 以季度为时间单位， i = 2.5% 。 B0 = B1 v + 1500a4pi = 16514.4 元 4 某贷款将在 15 年内分期偿还。前 5 年每年底还 4000 元，第二个 5 年每年底还 3000 元，最后 5 年每年底还 2000 元。计算第二次 3000 元还款后的未结贷款 余额的表达式。 解： 对现金流重新划分，有 B7 = 2000a 8p + 1000a 3p 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必究 5 某贷款将以半年一次的年金方式在 3 年半内偿还，半年
3、名利率 8% 。如果已知 第 4 次还款后的未结贷款余额为 5000 元，计算原始贷款金额。 解： 设原始贷款额为 L ，每次还款为 R ，以半年为时间单位，有 5000 = Ra3p4% L = Ra7p4% 整理得： L = 5000 a 7p a 3p = 10814.16 元 6 现有 20000 元贷款将在 12 年内每年底分期偿还。 若 (1+i)4 = 2 ，计算第 4 次 还款后的未结贷款余额。 解： 设第 4 次还款后的未结贷款余额为 L ，每次还款为 R ，有 20000 = R a12pi L = R a8pi 把 (1 + i)4 = 2 代入整理得： L = 5000
4、 1 (1 + i)8 1 (1 + i)12 = 17142.86 元 7 20000 元抵押贷款将在 20 年内每年分期偿还，在第 5 次还款后，因资金短缺， 随后的两年内未进行正常还贷。若借款人从第 8 年底重新开始还贷，并在 20 年内还清。计算调整后的每次还款额。 解： 设正常每次还款为 R ，调整后每次还款 X ，以当前时间和第 5 年底为比较 日，有 20000 = Ra2 0p Xa1 3p v2 = Ra1 5p 整理得： X = 20000 a15p a2 0p (1 + i)2 a1 3p 8 某贷款 L 原计划在 25 年内分年度等额还清。但实际上从第 6 次到第 10
5、 次的 还款中每次多付 K 元，结果提前 5 年还清贷款。试证明： K = a2 0p a1 5p a2 5p a 5p L 证： 以第 20 年年底为比较日，设每次还款为 R ，有 L = Ra2 5p Ks 5p (1 + i)10 = Ra 5p 整理即得。 9 设 Bt 表示未结贷款余额，证明： (1) (Bt Bt+1)(Bt+2 Bt+3) = (Bt+1 Bt+2)2; (2) Bt + Bt+3 L 2 Bk1 = Rank+ 1p 1 故 K = n + 1 ln(vn + 1) ln 2 ln v + 1 其中 x 表示取整函数。 21 设有年利率 2.5%的 15000
6、元贷款，每年偿还 1000 元。 计算第几次还款中本 金部分最接近利息部分的 4 倍 解： 设第 k 次还款本金部分最接近利息部分的 4 倍。利用追 溯法 Bk1 = L(1 + i)k1 Rsk 1p Ik = iBk1 = iL(1 + i)k1 R(1 + i)k1 1 Pk = R Ik = R(1 + i)k1 iL(1 + i)k1 再由 Pk = 4Ik 得 k 11。 22 某贷款在每年的 2 月 1 日等额还贷。已知 1989 年 2 月 1 日的还款中利息为 103.00 元， 1990 年 2 月 1 日的还款中利息为 98.00 元，年利率 8% 。计算： (1) 19
7、90 年还款中的本金部份； (2) 最后 一次不足额还款的日期和金额。 解： (1) 设 In, Pn 为别为 n 年的利息部分和本金部分， I1990 = I1989 iP1989 P1989 = 62.5 又 I1989 + P1989 = I1990 + P1990 P1990 = 67.5 (2) 利用递推公式容易求得 2000 年 2 月 1 日还款后未结贷款余额为 101.43 元，已经小于 165.5 元。同时易得 B1989 = 1225 。设最后一次还 款在 2000年 2月 1日后经过时间 t收回。于是 t满足 1225 = 165.5 1 v11+t i t = 0.65
8、3 故最后一次还款时间为 2000 年 9 月 24 日，金额为 165.5 1.08t1 0.08 = 106.67 元。 建议把最后不足部分的偿还方法说清楚，我们用的是：不足部分在下一 年的等价时间偿还的方法。 与原答案有出入 23 某贷款通过 2n 次偿还。在第 n 次偿还后，借款人发现其负债为原始贷款额 的 3/4 ，计算下一次还款中利息部份的比例。 解： 由题意得 3 4 L = Ranpi L = Ra2npi vn = 1 3 而 In+1 = R(1 vn)，故利息部分所占的比例是 2 3 。 24 某银行提供月利率 1% 的抵押贷款，如果借款人提前将贷款余额一次付清， 只需对
9、当时余额多付出 K% 。如果某人在第 5 年底找到另一家银行提供月利 率 0.75% 的 10 年贷款，对这个借款人来说 K 的最大可接受值为多少？ 解： K 最大可接受，即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。 a120p0.75% = (1 + K%)a120p1% K = 13.258% 25 现有 10000 元贷款利率 10% 。已知借款人以 8% 累积偿债基金 ，第 10 年底 的偿债基金余额为 5000 元，第 11 年的还款金额为 1500 元。计算： (1) 1500 元中的利息量； (2) 1500 元中的偿债基金存款； (3) 1500 元中偿还当年利息的部分； (4)
10、1500 元中的本金量； (5) 第 11 年底的偿债基金余额。 解： (1) I11 = 10000 10% = 1000 元； (2) 偿债基金存款额为 1500 1000 = 500 元； (3) 也即是计算净利息 : 1000 5000 8% = 600 元； (4) 本金量 1500 600 = 900 元； (5) 11 年底的偿债基金余额 5000 (1 + 8%) + 500 = 5900 元。 26 证明： anpi&j = snpj 1 + isnpj 。 证： 利用 L = Ranpi&j L = (R iL)snpj 消去 R可得 ( L anpi&j iL)snpj
11、= L 再适当变形便可得结论。 27 现有利率为 9%的 10000 元贷款，每年底还利息，同时允许借款人每年初以 利率 7%向偿债基金存款 K 。如果在第 10 年底偿债基金的余额恰足以偿还 贷款。计算 K。 解： 由题意得 K s10p7% = 104 K = 676.43 28 现有 10 年期贷款年利率 5%，每年底还贷 1000 元。贷款的一半按摊还方式 进行，另一半按额外提供 4%年利率的偿债基金方式还款。计算贷款额。 解： 设贷款额为 X ，有 X/2 = R1a10p5% X/2 = R2anp5%&4% 1000 = R1 + R2 整理得到 X 2 ( 1 a10p5% +
12、 1 anp5%&4% ) = 1000 X = 7610.48 元 29 为期 10 年的 12000 元贷款，每半年还款 1000 元。已知前 5 年以 i(2) = 12% 计息，后 5 年以 i(2) = 10% 计息。每次还款除利息外存入利率 i(2) = 8% 的偿 债基金。计算第 10 年底偿债基金与贷款之间的差额。 解： 前 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 6% = 280 后 5 年每半年放入偿债基金 1000 12000 5% = 400 故第 10 年底偿债基金余额为 280s10p4% (1 + 4%)10 + 400s10p4% = 9778.6 于是
13、差额为 2221.4 元。 30 为期 10 年的 3000 元贷款，以 i(2) = 8% 计息。如果借款人将贷款的 1/3 通过 存入利率 i(2) = 5% 的偿债基金偿还，剩余的 2/3 通过存入利率 i(2) = 7% 的 偿债基金偿还。计算每年的还款总额。 解： 设对于 1/3 部分贷款每年还款为 R1 ，剩余部分贷款每年还款为 R2 。有 (R1 1000 4%)s20p2.5% = 1000 (R1 2000 4%)s20p3.5% = 2000 分别解得 R1 = 79.15,R2 = 150.72。故每年的总还款额为 R1 + R2 = 229.87 元 31 为期 31
14、年的 400000 元贷款 ,每年底还款 36000 元，若以年利率 3%建立偿债 基金。计算原贷款利率。 解： 设原贷款利率就是 i 。有 (36000 400000i)s31p3% = 400000 解得 i 7% 。 32 某 20 年期末年金，以前 10 年利率 8%后 10 年利率 7%计算的现值为 10000 元。某投资者以年利率 9% 买得该年金，并允许以累积偿债基金的方 式收回 这笔资金，偿债基金前 10 年利率为 6%，后 10 年利率为 5%。计算偿债基金 的存款额。 解： 设期末年金每年的金额是 R ，偿债基金存款额为 X ，未结贷款余额为 P ， 有 10000 = R
15、a10p8% + Ra10p7% (1 + 8%)10 R = X + P 9% P = Xs1 0p 6%(1 + 5%)10 + Xs5% p 解得： X = 246.95 元 有待讨论！我们认为年利率 9% 就是利率 i 33 某 n 年期利率为 i 的贷款，以利率 j 建立偿债基金。试 给出以下各问的表达 式 (1 6 t 6 n )： (1) 贷方每年得到的利息； (2) 偿债基金每年的存款额； (3) 第 t 年偿债基金所得利息； (4) 偿债基金在第 t 年底的余额； (5) 第 t 年底的未结贷款余额； (6) 第 t 年支付的净利息； (7) 第 t 年支付的本金。 解： 设
16、贷款额为 L。 (1) 贷方每年得到的利息为 iL ； (2) 由偿债基金的定义知，偿债基金每年的存款额为 L snpj (3) 偿债基金在 t 1 年末的余额是 L snpj st 1p ，故在第 t年所得利息为 jL (1 + j)t1 1 (1 + j)n 1 (4) 偿债基金在第 t 年底的余额是 L snpj stpj = L (1 + j)t 1 (1 + j)n 1 (5) 第 t 年底的未结贷款余额为 L L (1 + j)t 1 (1 + j)n 1 = L (1 + j)n (1 + j)t (1 + j)n 1 (6) 第 t 年支付的净利息为 iL jL (1 + j)t1 1
