1、高中数学 核心概念 教学 的思考与实践 以“函数的概念”为例 松江二中 卫福山 摘 要： 核心 概念 是一个概念体系中，处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它密切联系的概念。 高中数学核心概念是指在高中数学中主要的中心的概念（其它概念以其为中心）。 如何提高 高中数学 核心概念的教学效率，教师在教学前对概念的研究 很重要。从概念的发展历史、概念的本质、概念的知识网络、概念的情境设计、 概念的内涵 与外延、概念的深度解析、 概念的典型例题 、概念的升华与提升 等方面入手， 让教师在核心概念的教学上准备充分、游刃有余。 高中数学 核心概 念函数的概念的实践说明 教学前 研究 的必要性 。 关键词
2、： 高中数学 核心 概念 教学 思考与实践 高 中 数学课程标准 明 确规定高中 数学的培养目标是使学生通过数学的学习，获得 必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。 概念是思维的基本形式，数学概念是数学思维的核心和逻辑起点，是学生认知的基础 。 学生的逻辑思维能力、空间想象能力、运算能力、创造思维能力和分析解决数学问题的能力等等， 都是以清晰地掌握和运用数学概念为前提的。 此外， 高 中数学课程标准明确 “使学生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界”， 即注重数学学科对学
3、生核心素养的培育功能。比如高中数学核心概念的 得出 就 是典型的数学抽象过程。 一 、高中数学核心概念的界定 核心是指中心，主要部分。 核心概念是一个概念体系中，处于核心位置，其他概念或由它生成，或与它密切联系的概念。 高中数学核心概念是指 在高中数学中主要的中心的概念（其它概念以其为中心）。比如函数的概念便是高中数学中的核心概念。 二 、高中数学核心概念 教学 研究的意义 高中数 学教师常会有这样的体会：学生在学习高中数学有些概念时普遍感到难以理解和掌握，成为他们在概念学习中的难点；教师对有些概念的教学也感到难以把握，成为教师在概念教学中的难点。学生（包括优等生）普通也感觉到在高中数学的学习
4、过程中确实有一些概念在理解上比较困难，在应用上比较棘手。这些概念是学生学习中的主要障碍，直接影响了学生的解题，甚至让学生对数学的情感发生变 化（从喜欢到讨厌）。特别是牵涉到多个概念的综合时，更是难上加难， 这其中有些概念就是核心概念。 如何使教师在高中数学核心 概念的教学上更加仔细充分一点，以便让学生掌 握的更好一些，教师需要在概念的教学设计上狠下功夫。同样，如何使学 生在这些难点概念的学习上更加主动充分，掌握的得心应手，需要对 概念的内涵与外延等方面进行全面的学习与研究。因此，为了让教师的教与学生的学的效率更高一点，理解与掌握更好一点，有必要 对核心 概念 的教学进行研究。 邵光华，章建跃，
5、数学概念的分类，特征及教学探讨 J，课程教材教法， 2009（ 7） :47-51. 三 、高中数学概念教学的现实问题 “一个定义，三项注意”式的抽象讲解，在学生对概念还没有基本理解的时候就要求学生进行概念的综合应用，许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目更实惠。更令人担心的是，有些教师不知如何教概念。 有些教师对概念本身的理解 不到位，对概念的核心部分把握不准，不能正确理解概念的本质及蕴含的数学思想方法，更不会挖掘出概念的育人功能，就会导致学生对概念的理解不准确。 教师在进行概念教学设计时，轻概念的生成，重概念的应用（解题），甚至避开有关概念理解的题目，学生在遇到与概念有关的题目时出错率很高
6、。 四、高中数学核心概念教学 的 思考 概念教学的基本目标是让学生理解概念 , 并能运用概念表达思想和解决问题 。 这里 , 理解是基础 。 概念教学不能只满足于告诉学生“是什么”或“什么是”，还应让学生了解概念的背景和引入它的理由， 知道它在建立、发展 理论或解决问题中的作用。核心概念的教学尤为如此。所以，在 概念教学前需要对概念进行学术解构和教学结构。学术解构是指从数学学科理论角度对概念的内涵及其所反映的思想方法进行解析，包括概念的内涵和外延、概念所反映的思想和方法、概念的历史背景和发展、概念的联系、地位作用和意义等。教学解构是在学术解构的基础上，对概念的教育形态和教学表达进行分析，重点放
7、在概念的发生发展过程的解析上，包括对概念抽象概括过程的“再造”、辨析过程（内涵 章建跃，中学数学课改的十个论题 J，中学数学教学参考， 2010（ 3）： 2-5. 与外延的变式、正例和反例的举证）和概念的运用（变式应用） 等，其中寻找精当的例子来解释概念是一 件具有创造性的教学准备工作。 人民教育出版社章建跃博士在文 中指出，概念教学应该经历如下几个基本环节： （ 1）背景引入； （ 2）通过典型、丰富的具体例证（必要时要让学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动； （ 3）概括共同本质特征得到概念的本质属性； （ 4）下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）； （ 5
8、） 概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考察； （ 6） 用概念作判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念作判 断的具体步骤； （ 7）概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。 以上关于概念教学的七个基本环节，把师生活动都包含进去。关于核心概念的 教学如何充分准备呢？笔者结合自己多年概念教学的实际经验，在方便 教学的基础上，考虑可以从以下几个环节入手： 1.了解概念的发展历史 既然是核心 概念， 它是很多相关概念联系的纽带，对此概念本身产生的历史过程以及涉及到的相关数学家有一定了解，这里需要教
9、师 查阅相关资料，为课堂上旁征博引提供基础。 邵光华，章建跃，数学概念的分类，特征及教学探讨 J，课程教材教法， 2009（ 7） :47-51. 章建跃，中学数学课改的十个论题 J，中 学数学教学参考， 2010（ 3）： 2-5. 2. 把握 概念的本质 概念的本质是指一个特定数学对象，在一 定范围内保持不变的性质。 教师要正确把握概念的本质，这样教学时才不至于偏离方向。 3.做好知识网络 教师在概念的教学之前，应认真研究教材， 了解与概念有关的知识网络， 明确概念的重要性和地位 。 4.设计适合的教学情境 根据对概念的来龙去脉的理解，结合 概念的历史可以设计适合概念的问题情境，这在枯燥的
10、概念教学中 能吸引学生的兴趣，甚至让学生改变对数学的态度。 5.对概念的内涵与外延的深入理解 内涵与外延是逻辑学中的术语。 概念的内涵是指说明一个概念所反映的事物的本质属性，概念的外延是指适合这个概念的一切对象，即符合 这一概念所有对象的集合。换言之，是指这个概念的延用范围。 在高中数学概念的教学中，对概念的 内涵与外延必须要深入理解。 6.设计典型的问题理解概念 对概念的理解与掌握离不开一定量的题目，课堂上时间有限，教师必须要选择少而精的典型例题帮助学生理解概念。 7.概念理解的升华与提升 概念基础知识授课完毕后，可以根据学生的实际情况对概念进一步深化， 比如概念的变式、概念与其它知识的综合
11、等。 这一般可以安排在 涂荣豹，宁连华，数学概念本质的把握 J，数学通报， 2001（ 11）： 91 概念授课第一课时之后以课后思考题形式或者概念授课第二课时进行。 五、高中数学核心概念教学的实践（以“函数 的概念 ”为例 ） （一） 研究 阶段 1.函数的发展历史 日本数学及数学教育家米山国藏指出“函数”概念的正式形成和演变经历了七次扩张： 第一次扩张： 1718年，约翰 -贝努利按如下定义使用了函数一词：“由一个变量 x 与常量构成的任意表达式，称为 x 的函数 ”； 第二次扩张：欧拉考虑了“表示任意地画出的曲线的函数，并称为随意函数”； 第三次扩张：柯西将函数定义为“若对 x 的每个值
12、，都有完全确定的 y 值与之对应，则称 y 是 x 的函数 ”； 第四次扩张：黎曼、狄利克雷的定义是“若对 x 的每个值，有完全确定的 y 值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称 y 是 x 的函数 ”； 第五次扩张：若对某一数集中的每个 x 的值，有完全确定的 y 值与之对应，不管建立起这种对应的方式如何，都称 y 是 x 的函数； 第六次扩张：对 x 的每一个值，有完全确定的 y 值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数； 第七次扩张： 设 u 是由许多集合构成的集合，若对 u 的每个元素 A，另一集合的集合 v 中都有完全确定的元素 B与之对应，则称集合 v 是集合u 的集合
13、函数。 由此可见，函数概念常有的关系说、变量说、对应说、映射说，其实来源就是函数概念的几次扩张。而 初中函数的概念就是变量说，高中函数的概念就是对应 说。 2.函数 概念 的本质 高中数学的“函数”概念，是刻画客观事物在量方面的确定性相依关系，其概念本身蕴含了一种对应思想以及运动变化的哲学思想，即函数是用运动变化的观点去反映客观事物数量间的相互联系和内在规律。 3.函数的 知识网络 这需要从函数的定义出发，对整个函数部分的知识体系进行梳理整理。绘制如下的函数知识结构图： 通过以上知识网络，教师就明白了与核心概念函数有关的知识有哪些，明确函数概念的重要性。 4.设计教学情境 在函数概念中可以考虑
14、如下的情境： 情境 1：某一股票一个月的行情图 注：此例可以在函数学习 中多次用到，如可以提问股票指数与时间是否可以构成函数？定义域、值域如何？对应法则的表现形式如何？股票指数关于时间的函数关系中单调性、最值的研究等。 情境 2：男子 110 米栏世界纪录创立的时间和成绩： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 年份 1900 1908 1920 1936 1959 1973 1993 2006 2008 成绩 154 15 148 142 132 131 1291 1288 1287 5.函数概念的内涵与外延 高中数学函数的定义是： 在某变化过程中有两个变量 x、 y， 如果对于 x 在
15、某个实数集合 D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则 f，y 都有唯一 确定 的 实数值与 它对应， 那么 y 就是 x 的函数， 记作 )(xfy ， xD, 其中 x 叫自变量， x 的取值范围 D 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 的值叫做函数值，函数值的集合 ( ) |f x x D 叫做函数 y=f(x)的值域 。 在函数的定义中，概念的 内涵有： 对 “每一个 ”、“唯一的”、“确定的”、“对应法则”等语言的理解； 函数的三要素，即定义域、值域、对应法则，同一函数的概念； 记号 ()fx的意义：对应法则 f 对自变量 x 的作用。符号 )(xfy 表示 y 关于 x 的
16、函数， ()fx与 ()fa既有区别又有联系，一般地， ()fx是一个变量，而 ()fa是一个特殊值 ； 函数图像的特征，即垂直于 x 轴的直线与函数 图像最多只有一个交点； 对应法则的表现形式有列表法、图 像法、解析法等 。 函数概念的外延有： 常见的函数，如初中学过的一次函数、二次函数、正反比例函数等，高中将要学习的分段函数、双钩函数、双刀函数、幂函数、指数函数、反函数、对数函数、三角函数等； 函数性质的研究，如定义域、值域、对应法则的求法、函数的其它性质如单调性、奇偶性、单调性、最值、零点、函数图像性质等。 6.设计典型的问题理解概念 在高中数学函数中，可以设计如下典型的例题： 例 1.
17、下列函数中，哪个与函数 xy 是同一个函数？ （ 1） 2xy ； 3 3xy ； 2xy 例 2.下列图象不能表示函数的是 _. 例 3.已知 1)( 2 xxf ，求 )1()1()1( afff 、 的值。 例 4.求下列函数的定义域： 2() 41 xy x ； 123 1)2(2 xxy； （ 3） 0( 1)yx 7.对概念的升华与提升 在函数概念课中我们可以设计如下的一些概念提升的思考 题： 1已知 ()fx的定义域为 4,5) ，求 (2 3)fx 的定义域。 2. 设函数 3 ( 1 0 0 )( ) , ( 8 9 ) .( 5 ) ( 1 0 0 )xxf x ff x
18、x 求3知 23( 1) 1xfx x ，求 ()fx。 通过以上思考 题，可以提升学生对 ()fx符号的使用、 函数定义域的本质等深层理解。教师可以作为课后思考题或者概念的第 2课时 上讲授。 （二）教学 阶段 根据以上研究 阶段的工作，我们可以根据学生的实际情况，进行函数概念的设计，以下 是结合本人任教实际学生情况设计的高中数学函数概念课的教学过程 。 阶段 教学过程 设计 说明 引 入 概 念 问题 1： 我们在初中学习过函数的概念，它是如何定义的呢？在初中已经学过哪些函数？（在学生回答的基础上出示投影） 问题 2： 根据 初 中函数的定义判断 1y 是否表示一个函数？ 回顾初中函数的定义，联系学生 的“最近发展区” 。
