1、1小波分析在傅立叶变换轮廓术中的应用【摘要】利用小波变化的时频特性，对测量光栅图像进行处理，提取有用的频率分量，获得了光栅图像的相位信息，抑制了频率混叠。通过在无噪声和加噪声的情况下小波分析与 butterworth 比较，试验结果表明该方法测量精度显著提高。 【关键词】傅立叶变换轮廓术 小波分析 一、引言 光学三维传感在机器视觉、自动加工、工业在线检测、实物仿形、生物医学等领域具有重要意义和广阔应用前景。其中由 Takeda 提出的傅立叶变换轮廓术是一种常用的三维面形测量方法，由于其只需获取一幅图像就可恢复出物体形面信息，易于动态处理，具有非接触、速度快、精度较高等特点。但由于被测物体形状复
2、杂，频谱谐波发生混叠，在滤波时区分有用频带和无用频带十分困难。若频带取得过窄，造成棱角细节被圆滑；若频带取得过宽，直流成分或高频成分不能很好地被滤掉，从而不能较好地解调相位。为了改善这个问题，利用小波多分辨的特点，本文选用 coif5 小波对变形光栅进行前期预处理，在误差分析及测量范围方面均好于普通滤波器处理的结果。 二、小波分析的应用 定义小波基函数为： 它是一个双窗函数，其中是表征频率的参数，称为尺度，是表征时2间或空间位置的参数。信号与小波函数作内积得到： 假定 分别表示 的时间窗和频率窗中心， 分别表示 的时间窗和频率窗的半径，则小波变换 将信号 f 限制在时间窗 和频率窗 之内。时间
3、窗中心在 ，窗宽为 ；频率窗中心在 ，窗宽为 ，可以看出，频窗宽度正比于其中心频率，即小波变换的频域划分有一相对恒定的宽度。当尺度增加时，时间窗变宽，而频率窗变窄，适合提取信号中的低频成分；当尺度减小时，时间窗变窄，而频率窗变宽，适合提取信号中的高频成分，因此小波变换具即有时间局部化能力，也具有频率局部化能力，称其具有多分辨率特性。 小波变换有一种“集中”的能力，信号经小波变换后，可以认为由有用信号产生的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，但数目较少，而噪声对应的小波系数幅值较小，通过在不同尺度上选一合适的阈值，并将小于该阈值的小波系数置零，而保留大于该阈值的小波系数，从而使信号中的噪声
4、得到有效抑制，最后进行小波逆变换，得到滤波后的重构信号。这样，就可以将傅立叶变换轮廓术测量光栅图像中的噪声消除。一般的滤波只要求能够去除噪声就可以了，但在傅立叶变换测量轮廓术中，还要能够去除零频分量，这时可以利用小波的多分辨率分解来去除零频分量。对变形光栅图像进行多层小波分解，将信号的低频以及高频分量依次分离开，在不同的分解层次观察信号的特性，就可以提取出其中代表物面信息的基频分量。 三、计算机仿真结果 为了方便起见，采用计算机模拟试验过程。首先选择合适的系统参3数，模拟出参考光栅和待测物体，本文模拟物体选用的是一球冠。根据物体的曲面方程以及高度和相位的关系，模拟出变形光栅图像。物面方程为：
5、其中 R 是待测球冠的半径，N 是投影光栅在测量平面上的采样点数。模拟系统的参数是：参考平面光栅周期：p=8 象素/条纹，测量范围长度量化为 N=512 pixel，R=300pixel，H=256pixel，图 1（a）是参考光栅条纹图， 图 1（b）是模拟变形条纹图，图 1（c）是加入均值为 0、均方差为 0.02 的高斯噪声后的变形条纹图，图 1（d）是待测物体三维图形。 （a）参考光栅条纹图 （b）变形光栅条纹图 （c）加噪声的条纹图 （d）待测球冠三维图 图 1 计算机模拟光栅条纹和待测球冠 分别采用小波分析和 butterworth 滤波器对变形光栅图的其中一行（256 行）进行滤
6、波处理后的傅立叶变换频谱图。图 2（a）和（b）分别是对无噪信号经小波和 butterworth 滤波后的傅立叶变换频谱图，可以看到小波处理后的频谱基本没有变形，而且所有基频信息都保留了下来，经 butterworth 滤波器处理后的频谱有较大的变形，而且由于窗口选择过窄，信号频谱在低频和高频拓展的部分被滤掉了，有可能丢失有用信息。图 2（c）和（d）分别是加入噪声后经小波和 butterworth 滤波的傅立叶变换频谱图，可以看出小波消除噪声的效果比 butterworth 的效果要好。 四、总结 本文利用小波多分辨率的特性，选择合适的小波基将傅立叶变换测4量轮廓术中基频分量的从变换后的频谱中分离出来。通过在无噪声和加噪声的情况下小波分析与 butterworth 比较，试验结果表明该方法测量精度得到了显著提高。 参考文献： 1M.Takeda，K.Mutoh. Fourier transform profilometry for the automatic measurement of 3D object shapes J.Appl.Opt，1983. 2杨建国.小波分析及其工程应用M.北京：机械工业出版社，2005. 3潘泉，张磊，孟晋丽，张洪才.小波滤波方法及应用M.北京：清华大学出版社，2005.
