1、新三维混沌系统的动力学分析及电路实验【摘 要】通过代数方法，构造出来一个具有复杂混沌吸引子的非线性混沌自治三维系统.从理论和数值两方面对吸引子进行了分析和仿真，得到了系统在平衡点处不稳定的参数范围。通过分岔图和 Lyapunov 指数谱进一步揭示了系统丰富的动力学行为.最后，对该混沌系统的一个混沌吸引子进行了实际电路的设计与实验验证。 【关键词】稳定性；分岔；Lyapunov 指数；电路仿真 引言 1963 年，Lorenz 得到第一个混沌系统Lorenz 系统后，许多新的混沌系统也相继提出并得到了广泛的研究，并且这些系统的吸引子也被实验电路所验证1-8. 1999 年，陈关荣利用反控制的方法
2、发现了一个与Lorenz 系统不同的混沌系统称为 chen 系统.2002 年，吕金虎等发现了 l系统，实现了从 Lorenz 系统向 Chen 系统的过渡.2004 年，刘崇新等又提出了一个含有非线性平方项的新的三维自治混沌系统 Liu 系统.文献9和10提出并实现了两个特殊的吸引子，即多涡旋混沌吸引子和Lyapunov 指数恒为常数的吸引子. 本文构造了一个新的混沌系统，通过理论推导和数值仿真对其基本动力学特征进行研究，利用分岔和 Lyapunov 指数揭示了系统丰富的动力学行为。最后设计了能实现这个系统的混沌吸引子的实验电路，并且进行了实际电路验证。 1、数学模型及动力学特性分析 （1）
3、 其中 为系统状态变量， 为实参数且 。系统（1）中仅含有 2 个非线性项 和 .可以通过数学证明系统（1）与 Lorenz 系统族中的任何一个都不具有拓扑等价性，是一个新的混沌系统。 1.1 基本性质 （1）对称性 注意到原系统在 的变换下保持不变，所以系统（1）关于 轴是对称的，即若 是系统的解，则 也是系统的解。显然， 轴本身也是系统的一条解轨线。因此，对于 ，轴上所有的解轨线都趋于原点。 （2）吸引子的存在性 系统（1）的向量场散度和 Jacobian 矩阵分别为 根据 Liouville 定理，变化率反映为 Jacobian 矩阵的迹，则 其中 为矩阵 的特征根， 为系统的 3 个
4、指数。 由于 ，所以系统（1）是耗散的，且以指数形式 收敛。因此，系统（1）的轨线都会被限制在一个体积为零的集合上，并且动力学行为会被固定在一个吸引子上，故吸引子是存在的。 1.2 平衡点稳定性分析 可以计算得到系统（1）的三个平衡点分别为 其中对于后两个实根要求 。 由系统的 Jacobian 矩阵可得特征方程为 其中 为待定的特征根。 将平衡点 代入特征方程得 （2） 当 时，由 Routh-Hurwitz 定理知平衡点 是不稳定的。 由于 和 具有对称性，这里只对 进行讨论。将 代入特征方程中有：可得平衡点 不稳定的参数条件为 （3） 1.3 吸引子数值仿真 当参数 时，根据式（3）可求
5、得系统（1）不稳定的参数条件为 ，不妨取参数 ，这时 ，系统（1）是耗散的，三个平衡点分别为 。由式（2）可得平衡点 的特征值分别为 。因此平衡点 是不稳定的。同理可知， 和 也是不稳定的。 2、动力学行为分析 参数 ，系统的分岔情况及 Lyapunov 指数随着 的增大，系统由不动点进入了一个较长的含有多个周期窗口的混沌区域，在每个周期窗口中都有逆倍周期分差现象，都是周期到混沌的阵发过渡。由 Kaplan-Yorke猜想公式确定的系统吸引子的分数维很低这与 Lorenz 系统比较类似。 3、电路实验 混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的，许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到
6、的验证6.基于电子电路设计原理，设计了混沌系统（1）在 时的电路，电路中的运算放大器型号为TL084CN，乘法器型号为 AD633（增益为 1） ，电源电压值为 12V。 对电路进行实验，分别在输出端口接入示波器，得 Multisim10.0 仿真这与其 Matlab 数值仿真结果一致. 4、结语 本文构造了一个新的三维自治系统，根据 Routh-Hurwitz 定理得到了系统不稳定的参数取值范围，通过数值仿真得到了系统的混沌吸引子，并且由系统分岔情况和 Lyapunov 指数揭示了系统的丰富动力学行为。最后，对该系统的一个混沌吸引子设计了实际电路，进一步验证了吸引子的存在性。 参考文献： 1
7、Liu CX，Liu T，Liu L.A new chaotic attractorJ. Chaos Solitons and Fractals，2004， 5：1031. 2褚衍东，李险峰，张建刚，等.一个新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟J.四川大学学报：自然科学版，2007，44（3）：596 -602. 3周平，危丽佳，程雪峰.只有一个非线性项的超混沌系统J.物理学报，2009，58（8）：5201-5208. 4包伯成，刘中，许建平.一类超混沌系统电路实现及其动力学分析J.四川大学学报：工程科学版，2010， 42（2）：182-187. 5 Li， X.F. ，Chu， Y.D.
8、 ，Zhang， J.G. Nonlinear dynamics and circuit implement tation for a new Lorenz-like attract- orJ. Chaos， Solitons and Fractals ，2009， 41：23602370. 6刘崇新.非线性电路理论及应用M.西安交通大学出版社，2007：159. 7L， J.H.， Murali， K.， Sinha， S.， Leung， H.， Aziz-Alaoui，M.A. Generating multi-scroll chaotic attractors by thresh-ol
9、dingJ. Phys. Lett. A ，2008，372：32343239. 8Liu， Y.J.， Yang， Q.G. Dynamics of a new Lorenz-like chaotic systemJ. Nonlinear Anal.， Real World Appl. 2010，11：25632572 . 9L JH， Murali K， Sinha S，et al.Generating multi-scroll chaotic attractors by thresholdingJ. Phys. Lett.A ，2008，372：3234 3239. 10Li CB，Wang DC.An attractor with invariable Lyapunov exponent spectrum and its Jerk circuitJ. Acta Phys.Sin，2009，58，764 770.
