1、市一中高三第五次模拟考试 数学（文）试题 命题人：李柯 一、选择题（每小题 5 分，共 60分） 1 若复数 z 满足 3 4i i 2 iz ，则复数 z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2 已知集合 11,32A ， | 1 0B x ax ，且 BA 则 a 的可取值组成的集合为（ ） A. 3,2 B. 3,0,2 C. 3, 2 D. 3,0, 2 3 已知数列 na 是等差数列， 568aa，则数列 na 的前 10项和为（ ） A. 40 B. 35 C. 20 D. 15 4 设 为锐角， ， ，若 与 共线，则角 ( )
2、A. B. C. D. 5运行 左下 图所示框图的相应程序 ,若输入 ,ab的值分别为 2log3 和3log2 ,则输出 M 的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 1 6 某三棱锥的三视图如图 右上 所示，主视图和俯视图为全等的等腰直角三角形，则该棱锥的 最长的 棱长为 （ ） A. 32 B. 3 C. 52 D. 2 7 已知函数 133 , 1lo g , 1x xfx xx ，则函数 y f(1 x)的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 8 下列命题正确的是（ ） A. 若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行 B. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线
3、与这两个平面的交线平行 C. 若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 D. 若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 9 函数 在 的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10在 ABC 中， M 是 BC 的中点， 1AM ，点 P 在 AM 上且满足2AP PM ，则 PA PB PC等于（ ） A. 49 B. 43 C. 43 D. 49 11 定义在 R 上的奇函数 )(xf 对任意 Rx 都有 )4()( xfxf ， 当 )0,2(x 时， xxf 2)( ，则 )2011()2012( ff 的值为 （ ） A 21 B 21 C 2 D 2 12 一个单位有职工
4、 800 人，其中具有高级职称的 160 人，具有中级职称的 320 人，具有初级职称的 200 人，其余人员 120 人为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中 抽取容量为 40 的样本则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ） A. 12,24,15,9 B. 9,12,12,7 C. 8,15,12,5 D. 8,16,10,6 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13 已知 23m ，则函数 2log 2mf x x x的单调递减区间是 _. 14 已知 2sin cos 3， 则 22sin sin21 tan =_ 15三棱锥 A BCD 的外接球为球 O ，球 O 的
5、直径是 AD ，且 ,ABC BCD都是边长为 1的等边三角形，则三棱锥 A BCD 的体积是 _ 16设动点 ),( yxP 满足02242xyxyx ，则yxz 的最小值是 _ 三、解答题（每小题 12分，共 70分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分 12 分） ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ，c ，已知 c o s 3 s ina b C c B（ 1）求 B ；（ 2）若 22b ，求 ABC 面积的最大值 18. （本小题满分 12 分） 如图，边长为 3 的正方形 ABCD 所在平面与等腰 直角三角形 ABE 所在平
6、面互相垂直， AE AB ，且 2EM MD ， 3AB AN . （）求证： /MN 平面 BEC ； （）求二面角 N ME C的余弦值 . 19.（本小题满分 12 分） 已知数列 中， ， （ 1）求证：数列 是等 差数列； （ 2）求数列 的通项公式； （ 3）设数列 满足： ，求 的前 项和 . 20. （本小题满分 12 分） 一个社会调查机构就某社区居民的月收入调查了 10 000 人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图） . （ 1）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这 10 000 人中再用分层抽样方法抽出 100 人作进一步调查，求月收入在
7、1500,2000) （元）段应抽 出的人数； （ 2）为了估计该社区 3 个居民中恰有 2 个月收入在 2000,3000) （元）的概率，采用随机模拟的方法：先由计算器产生 0 到 9之间取整数值的随机数，我们用 0， 1， 2， 3， 4 表示收入在 2000,3000) （元）的居民，剩余的数字表示月收入不在 2000,3000) （元）的居民；再以每三个随机数为一组，代表统计的结果，经随机模拟产生了 20 组随机数如下： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此
8、估计，计算 该社区 3个居民中恰好有 2个月收入在 2000,3000)（元）的概率 . 21. （本小题满分 12 分） 已知 2xf x e ax， gx是 fx的导函数 （ ）求 gx的极值； （ ）若 1 xf x x x e 在 0x 时恒成立，求实数 a 的取值范围 请考生从 22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 22. （本小题满分 10 分） 选修 4-5：不等式选讲 设函数 23f x x x . （ 1）求不等式 7f x x的解集； （ 2）若关于 x 的不等式 32f x m有解，求实数 m 的取值范围 . 23. （本小题满分 10 分） 选修
9、 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 1212x costy sint ，（ t 为参数），在以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 2c os42 ， A， B 两点的极坐标分别为 1, , 1,2AB . ( )求圆 C 的普 通方程和直线 l 的直角坐标方程； ( )点 P 是圆 C 上任一点，求 PAB 面积的最大值 . 市一中高三第五次模拟考试 数学（文）试题 试卷答案 1【答案】 B【解析】 2i 3 4 i 1 2 i 3 4 i 2 2 iiz ，对应点 2,2 在第二象限 . 2 D【解
10、析】 因为 BA ，则可得： 11,32B 当 13B 时， 1 1 0 33 aa ,当 12B 时 1 1 0 22 aa 当 B 时， 0a ,综合可得： 3,0, 2 ;选 D 点晴：本题考查的是根据集合及集合间的关系求参数 a 的取值问题 . 因为 BA ，则可得： 11,32B ,分 13B ， 12B 和 B 三种情况讨论，分别得 a 的取值，再取并集即可，此类题比较基础，但容易丢掉 B 这一种情况，计算的时候要小心，不能马虎大意 . 3 A【解析】 na 是等差数列， 5 6 1 108a a a a ， 1 1 010 10 402aaS ，故选 A 4 B【解析】 因为 与
11、 共线，所以 ，又因为 为锐角，所以角。 本题选择 B 选项 . 5 C【解析】试题分析：因为 2log3 1 ， 3log2 1 ，所以 23log 3 log 2 ，由算法框图可知，运行后输出 M 的值为 23lo g 3 lo g 2 1 1 1 2M 6 A【解析】 由已知中的三视 图 可得该几何体是一个以 俯 视图为底面的三棱锥，底面是底边为 1，高为 1 的三角形，高 1h ，最长的棱所在的面是直角边长分别为 1， 2112的直角三角形，斜边长为 32 ， 故选 A.点睛：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，考查了学生的空间想象能力解决本题的关键是得到该几何体的形状，难度一般
12、；由已知中的三视力可得该几何体是一个以左视图为底面的三棱锥，可得 7 D【解析】 11333 , 1 1 3 , 01 l o g 1 , 1 1 l o g 1 , 0xxxxfx x x x x ， 因此当 0x 时 0,3fx ； 当 0x 时 ,0fx ；所以选 D. 8 B【解析】 对于答案 A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案 C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案 D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确； 9.【答案】 C【解析】 当 时， ，令 ，即在区间 只有一个零点，故应排除答案 A、 B、 D，应选答案 C 。 10 A 11 4 A【
13、解析】此题考查函数的奇偶性、周期性性质的应用，因为此函数是 定义在 R 上的奇函数 ，所以 (0) 0f ，由 ( ) ( 4)f x f x知函数周期为 4， 所以 1( 20 12 ) ( 20 11 ) ( 0) ( 3 ) 0 ( 3 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) 2f f f f f f f f ，选 A 12 1D 【解析】试题分析：由题意，得抽样比为 40 1800 20 ，所以高级职称抽取的人数为1160 820，中级职称抽取的人数为 1320 1620，初级职称抽取的人数为1200 1020，其余人员抽取的人数为 1120 620，所以各层中依次抽取的人数分别是8
14、人， 16 人， 10 人， 6 人，故选 D 考点：分层抽样 【 方 法 点 睛 】 分 层 抽 样 满 足 “ 每 层 中 抽 取 的 个 体 数 量 样 本 容 量本 层 的 总 个 体 数 量 总 体 数 量” ，即“ 12nn nN N N 或 1 2 1 2: : : : : :n n N N N ”，据此在已知每层间的个体数量或数量比，样本容量，总体数量中的两个时，就可以求出第三个 13 0,1 【解析】试题分析：23m，故 2223l o g 2 l o g 2mf x x x x x ，令 222g x x x x x ，令 0gx（ ） ，解得： x0 2 ，而 gx在对称
15、轴 1x ，故gx在 0,1 递增，故 gx在 1,2 递减，故答案为 : 0,1 . 14 59 【解析】 试题分析：本题考查了三姊妹关系 sin cos ， sin cos ， sin cos，三者密切相关，可知一求二 .试题解析： ， 由 2sin cos 3,于是得 2 52 s i n c o s s i n c o s 1 9 2 2 s in s in c o s2 s in s in 2 52 s in c o sc o s s in1 ta n 9c o s . 15 122 【解析】试题分析：取 BC中点 M ，则有 ,A M B C D M B C B C A M D 面
16、,所以三棱锥 A BCD 的体积是 1 1 1 1 2123 3 2 2 1 2A M DB C S ， 16 -4【解析】试题分析：根据线性约束条件，画出 可行域（如图）及直线 0xy，平移直线 0xy可知，当直线经过点 A（ 0,4）时， yxz 取得最小值 4， 考点：简单线性规划的应用 17（ 1） 6B ；（ 2） 4 2 3 【 解 析 】 试 题 分 析 ： （ 1 ） 由 已 正 弦 定 理 得 ：s i n s i n c o s 3 s i n s i nA B C B C s in c o s 3 s in s inC B B C 3tan 3B 6B ；（ 2 ） 由
17、余 弦 定 理 得228 2 c o s 6a c ac 22 83a c ac 22ac 2ac 整理得 8 1 6 8 323ac ，再由 11s in24ABCS ac B ac ABC 面积的最大值为 1 (1 6 8 3 ) 4 2 34 试题解析：（ 1）由已知及正弦定理得： s i n s i n c o s 3 s i n s i nA B C B C， s i n s i n ( ) s i n c o s 3 s i n s i nA B C B C B C ， s in c o s 3 s in s inC B B C ，即 3tan 3B ， B 为三角形的内角， 6B
18、 （ 2） 11s in24ABCS ac B ac , 由已知及余弦定理得 228 2 c o s 6a c ac ，即 22 83a c ac ，代入 222a c ac ， 整理得 8 1 6 8 323ac ，当且仅当 ac 时，等号成立， 则 ABC 面积的最大值为 1 (1 6 8 3 ) 4 2 34 18 （）略； （） 1122 【解析】 试题分析：（）过 M 作 /MF DC 交 CE 于 F ，连接 ,MFBF ，先证明四边形NBFM 为平行四边形，可得 /MN BF ，从而根据线面平行的判定定理可得结论；（）以 A 为坐标原点， ,.AE ABAD 所在方向为 ,xyz
19、 轴正方向，建立平面直角坐标系，则平面 MEC 的法向量为 1,0,1m ，再算出平面 MNE 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果 . 试题解析：（）过 M 作 /MF DC 交 CE 于 F ，连接 ,.MFBF 因为 /MF DC ， 2EM MD ，所以 2/ / .3MF DC 又 3AB AN ，所以 2/ / .3NB DC 故 /MF NB ， 所以四边形 NBFM 为平行四边形，故 /MN BF ， 而 BF 平面 BEC ， MN 平面 BEC ， 所以 /MN 平面 BEC ； （）以 A 为坐标原点， ,.AE ABAD 所在方向为 ,xyz 轴正方向，建立平面 直角坐标系，则 3,0,0E ， 0,1,0N ， 1,0,2M ， 0,3,3C
