1、分数阶人口阻滞增长模型研究摘 要建立了分数阶人口阻滞增长模型，并通过一个算例说明了在一定情况下，分数阶人口阻滞增长模型优于相应的整数阶人口阻滞增长模型。 关键词分数阶微分方程；人口阻滞增长模型；数值解 DOI10.13939/ki.zgsc.2016.03.016 1 前 言 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一。世界人口的迅猛增长引起了许多问题，特别是一些经济不发达国家的人口过度增长，影响了整个国家的经济发展、社会安定和人民生活水平的提高，给人类生活带来许多问题。为了解决人口增长过快的问题，人类必须控制自己，做到有计划地生育，使人口的增长与社会、经济的发展相适应，与环境、资源相协调。认识
2、人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提。 指数增长模型和阻滞增长模型是两个最基本的人口模型。指数增长模型由英国人口学家马尔萨斯于 1978 年提出来的，其基本假设为人口的增长率是常数，获得的结果表明人口将以指数规律无限增长。而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越明显。阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。这个模型比指数增长模型更加合理。 在近几十年里，许多学者指出分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和
3、遗传性质的材料和过程，在经典模型中这些性质常常是被忽略的1。本文针对人口数量的变化具有典型的记忆和遗传性质，把人口增长模型中的整数阶微分方程修改为分数阶微分方程，能更加准确地预报人口增长的数量。 2 分数阶人口阻滞增长模型 分数微分与积分是指微分的阶数与积分的次数是任意实数乃至复数，而不是一个分数或者分式函数的微分和积分。分数阶人口阻滞增长模型是： CDx（t）=r（1-x（t）xm）x（t） ，01 x（0）=x0（1） 这里 CD 表示分数阶 Caputo 导数，当 =1 时就是我们常说的整数阶人口阻滞增长模型。年人口增长率为 r 人口 x（t）的函数 r（x）由于受到自然资源、环境条件等
4、因素的阻滞作用，是个减函数，这里 r（x）=r（1-xxm） ，式中 r 叫作固有增长率，xm 是自然资源和环境条件下年容纳的最大人口容量。根据已有的分数阶微分方程理论，1方程（1）对应的积分解为： x（t）=x0+1（）t0（t-s）-1r（1-x（s）xm）x（s）ds（2） 这个积分解是个奇异积分，不能正常求解解析解。利用文2的方法和程序，我们可以获得它的数值解。 下面基于 17901990 年这两百年的美国人口统计数据（见表 1） ，对模型进行检验。 要用模型（1）来预报人口，必须先对表 1 中的数据进行标准化处理，对模型（1）中的参数 r 和 xm 进行估计。时间 t 的处理，令17
5、90，1800，1990 年分别对应 t=0，1，20 时刻，即 x（0）=3.9，x（1）=5.3，x（20）=251.4。参数 r（年固有增长率）取逐年增长率的几何平均值，由公式： r=nni=1x（i）-x（i-1）x（i-1） （3） 获得，计算出 r=0.2127。参数 xm（最大人口容量）基于 =1 时的整数阶人口阻滞增长模型： x（t）=0.2127（1-x（t）xm）x（t）x（0）=3.9（4） 所获得的解析解： x（t）=xm1+xm3.9-1e-0.2127t（5） 利用表 1 中 17901980 年的数据拟合获得，3有 xm=464。这样，我们建立了表 1 数据的分数
6、阶人口阻滞增长模型： CDx（t）=0.2127（1-x（t）464）x（t） ，01， x（0）=3.9（6） 分别取 =0.8，0.85，0.9，0.95，1 代入模型（6） ，预测出18001990 年的人口数，预测的人口数量和相对误差结果见表 2，并用下图表示相对误差的结果。 从表 2 和图 1 的数据我们可以看出， 取 0.8 和 0.85 时数据较好，相对误差较小，都优于 取 1 时的结果，尤其是 取 0.85 时数据相对误差最小，预报最准确。而 =1 时是整数阶人口阻滞增长模型，从而我们知道，在这个算例中， 取适当的值时，分数阶人口阻滞增长模型优于整数阶人口阻滞增长模型。 参考文献： 1I.Podlubny.Fractional Differential EquationsM.San Diego： Academic Press，1999. 2陈福来，李势丰，王华.分数阶微分（差分）方程的 Matlab 求解程序J.湘南学院学报，2011，32（5）： 1-4. 3赵静，但琦.数学建模与数学实验M.2 版.北京：高等教育出版社，2004.
