1、试卷第 1 页，总 6 页 高中数学 (平面向量 )综合练习含解析 1 在 ABC 中， AB c ， AC b 若点 D 满足 2BD DC ，则 AD （ ） A 2133bc B 5233cb C 2133bc D 1233bc 2 已知 1, 3OA OB， 0OA OB， 点 C 在 AOB 内，且 30AOC ， ,O C m O A n O B m n R ，则 mn 等于（ ） A 3 B 13 C 33 D 3 3 若向量 ,abc满足 ab ，且 ac ，则 2c a b （ ） A 4 B 3 C 2 D 0 4 已知向量 ( , 2 ), (1,1 )m a n a ，
2、且 mn ，则实数 a （ ） A 1 B 2 或 1 C 2 D 2 5 已知向 量 (1,2)a ，向量 ( , 2)bx，且 ()a a b，则实数 x 等于 A 4 B 4 C 0 D 9 6 已知 |a | 1， |b | 2 ，且 ()a a b，则向量 a 与向量 b 的夹角为 （ ） A 6 B 4 C 3 D 23 7 已知 平面 向量 a ， b 满足 3a a b ，且 2a ， 1b ， 则向量 a 与 b 夹角的正弦值 为 （ ） A 12 B 32C 12 D 32 8 在平行四边形 ABCD 中， 2AD ， 60BAD， E 为 CD 的中点若 1AD BE，则
3、 AB 的长为 ( ) A 6 B 4 C 5 D 6 9 O 为 平 面 上 的 定 点 ， A ， B ， C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 ， 若( ) ( 2 ) 0O B O C O B O C O A ，则 ABC 是（ ） A以 AB为底面的等腰三角形 B以 BC为底面的等腰三角形 C以 AB为斜边的直角三角形 D以 BC为斜边的直角三角形 20090420 试卷第 2 页，总 6 页 10 在 ABC 中， 14MB AB ， 且对 AB边上任意一点 N，恒有 NB NC MB MC ，则有（ ） A AB BC B AB AC C AB AC D AC BC 11
4、点 P是 ABC 所在平面内的一点，若 ()C B PA PB R ，则点 P 在（ ） A ABC 内部 B AC边所在的直线上 C AB边所在的直线上 D BC边所在的直线上 12 在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， 6cb ， 2c b a ，且 O 为此三角形的内心，则 AOCB（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 13 在 ABC 中 ， 3,3|,2|, bababACaBC 则 C的大小为 （ ） A 30 B 60 C 120 D 150 14 在 ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，且 cos 3 c
5、os cosb C a B B，2BA BC，则 ABC 的面积为（ ） A 2 B 32 C 22 D 42 15 若非 零向量 ,ab满足 | | | | 2 | |a b a b a ，则向量 b 与 ab 的夹角为 . 16 在平面直角坐标系中，设 ,MNT 是圆 C : 22( 1) 4xy上不同三点，若存在正实数 ,ab，使得 CT aCM bCN，则 32 21a ab ab ba 的取值范围为 17 已知向量 (1, 3)a ，向量 ,ac的夹角是 3 ， 2ac ，则 |c 等于 18 已知正方形 ABCD ，过正方形中心 O 的直线 MN 分别交正方形的边 CDAB, 于点
6、NM、 ，则 22BNMN 最小值为 _ 19 若 ,ab均为非零向量，且 2 , 2a b a b a b ，则 ,ab的 夹角为 20 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB/DC， ABC=60， BC=12 AB=2，动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC上，且 BE = BC ， DF = 21 DC ，则 AE BF 的最小值为 试卷第 3 页，总 6 页 21 已知 ABC 是边长为 1 的正三角形，动点 M 在平面 ABC 内，若 0AM AB，| | 1CM ，则 CM AB 的取值范围是 22 向量 (1,1)a ，且 a 与 ab 的方向相反，则 ab 的取值范围是
7、23 如图，在三棱锥中 D ABC 中， 已知 2AB ， 3AC BD ， 设 AD a ， BC b ，CD c ，则 21cab 的最小值为 24 已知 A点坐标为 ( 1,0) ， B点坐标为 (1,0) ，且动点 M 到 A 点的距离是 4 ，线段 MB的垂直平分线 l交线段 MA于点 P （ 1）求动点 P的轨迹 C方程 （ 2）若 P是曲线 C上的点，求k PA PB的最大值和最小值 试卷第 4 页，总 6 页 25 ABC中，内角为 A， B， C，所对的三边分别是 a， b， c，已知 2 b ac ， 3cos 4B （ 1）求11tan tanAC； （ 2） 设 BA3
8、2BC,求 ac 26 已知函数 1 1fx x ，点 O 为坐标原点 , 点 ,(nA n f n nN*) ,向量 0,1i ，n 是向量 nOA 与 i 的夹角，则 2016121 2 2 0 1 6c o sc o s c o ss in s in s in 的值为 试卷第 5 页，总 6 页 27 已知向量 3( s in , ) , ( c o s , 1 ) .2a x b x （ 1）当 /ab时，求 22 cos sin 2xx 的值； （ 2）求 bbaxf )()( 在 ,02上的值域 28 如图，在平面直角坐标 系中，方程为 022 FEyDXyx 的圆 M 的内接四边
9、形 ABCD 的对角线 BDAC和 互相垂直，且 BDAC和 分别在 x 轴和 y 轴上 （ 1）若四边形 ABCD 的面积为 40，对角线 AC 的长为 8， 0ADAB ，且 ADC 为锐角，求圆的方程，并求出 DB, 的坐标； （ 2）设四边形 ABCD 的一条边 CD 的中点为 G ， ABOH ，且垂足为 H ，试用平面解析几何的研究方法判断点 HGO 、 是 否共线，并说明理由 试卷第 6 页，总 6 页 29 在直角坐标系 xOy 中，已知点 (1,1), (2 , 3), (3, 2 )A B C，点 ( , )Pxy 在 ABC 中三边围成的区域（含边界）上，且 ( , )O
10、 P A B A C R （ 1）若 23 ，求 OP ； （ 2）用 ,xy表示 并求 的最大值 30 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab ,过左焦点 1( 1,0)F 的直线与椭圆 C 交于 M 、N 两点，且 2FMN 的周长为 8 ；过点 (4,0)P 且不与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点 （ 1） 求椭圆 C 的方程； （ 2） 求 OAOB 的取值范围； （ 3） 若 B 点关于 x 轴的对称点是 E ，证明：直线 AE 与 x 轴相交于定点 答案第 1 页，总 13 页 参考答案 1 C 【解析】 试题分析：如图所示，在 ABC 中 ，
11、 AD AB BD 又 2BD DC ， 2 2 2 2 13 3 3 3 3B D B C B C A C A B b c A D A B B C c b c b c 故选 C 考点：向量加法 2 A 【解析】 试题分析： 如图所示，建立直角坐标系则 1, 0 , 0 , 3 ,O A O B 33, 3 , ta n 3 0 33nmO C m O A n O B m n mn 故选 B 考点：共线向量 【名师点睛】 本题主要考查了 共线向量及向量的模等知识 ，属基础题解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条
12、件构造三角形，解三角形即可得到分解结果 3 D 【解析】 试 题 分 析 ： 设 ba ， 则 由 已 知 可 得 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 b ) 2 1 0c a b c a c b c a c c a 考点：向量的运算 4 B 【解析】 试题分析：由已知 mn ，则 2( 1 ) 2 1 2 0 1 , 2a a a a a a 考点：共线向量 5 D 答案第 2 页，总 13 页 【解析】 试题分析： 1 , 4a b x 由 ( ) 1 , 2 1 , 4 1 8 0 9a a b x x x 考点；向量垂直的充要条件 6 B 【解析】 试题分析：由题意得 2 2( ) 0 1
13、 c o s ,2| | | |aba a b a b a a b ab ，所以 向量 ar 与向量 br 的夹角为 4 ，选 考点：向量夹角 7 D 【解析】 试 题 分 析 ： 2 123 3 1 c o s , , .23a a b a a b a b a b a b 选 D 考点：向量夹角 8 D 【解析】 试 题 分 析 ：11+ ) + ) )22A D B E A D B A A D D E A D A B A D A B A D A D A B （ （ - （ 114 2 c o s 4 12 3 2A B A B ，因此 6.AB 选 D 考点：向量数量积 9 B 【解 析】
14、 试 题 分 析 ： 设 BC 的 中 点 为 D ， ( ) ( )20O B O C O B O C O A ， ()2 2 0CB OD OA ， 20CB AD， CB AD ，故 ABC 的 BC 边上的中线也是高线故 ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形，故选 B 考点： 三角形的形状判断 10 D 【解析】 试题分析：以 A 为原点， AB 为 x 轴，建立直角坐标系，设 (4,0), ( , )B C a b ， ( ,0)Nx ，则(3,0)M ， (1 , 0 ) ( 3 , ) 3M B M C a b a ，答案第 3 页，总 13 页 ( 4 , 0 ) ( , )
15、 ( 4 ) ( )N B N C x a x b x a x ， 2( 4 ) ( ) ( 4 ) 4x a x x a x a 224 ( 4 )( ) 424aaxa ， 由题意 2( 4)434aaa （或 4 32a ），解得 2a ，所以 AC BC 故选 D 考点：向量的数量积，数量积的坐标运算 【名师点睛】 1平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 OA a ，点 A 的位置被 a 所唯一确定，此时 a 的坐标与点 A 的坐标都是（ x， y）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量（ x， y） 向量 OA 点 A（ x， y）要把点的坐标与向量的坐标区分开，
16、相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A（ 1， 2）， B（ 3， 4），则 AB （ 2， 2） 3用坐标法解向量问题，可以把几何问题代数化，用函数思想研究几何问题，可以减少思维量，降低难度本题 建立坐标系后， ( 4 , 0 ) ( , ) ( 4 ) ( )N B N C x a x b x a x ，问题转化为函数 ( ) (4 )( )f x x a x 的最小值是 3a 或在 3x 时取得最小值，由二次函数的性质结论易得 11 B 【解析】 试题分析：由 CB PA PB得 CB PB PA ，即 CP PA ，所以 CP 与
17、PA 共线，故选 B 考点：向量的线性运算，向量的共线 12 C 【解析】 试题分析：如下图所示，过 O 作 OD AB 于 D ， OE AC 于 E ， ( ) | | | | | | | |A O C B A O A B A C A O A B A O A C A D A B A E A C ， 又 O 为 ABC 内心， | | | | | | | | | | | |A D A B A E A C A D c A D b ， ( | | | | | | )| 22a b c B D B C C E c b aAD ， ( ) ( )( ) 62c b c b aA O C B A O
18、A B A C A O A B A O A C ，故选 C 答案第 4 页，总 13 页 考点： 1 三角形内心性质； 2 平面向量数量积 【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，常利用数形结合思想将问题等价转化为利用几何图形中的不等关系将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势 13 B 【解析】 试题分析： c o s 3a b a b C ，解得 21cos C ，所以 060C ，故选 B 考点：平面向量数量积的
19、应用 14 C 【解析】 试题分析：由 c o s 3 c o s c o sb C a B c B，根据正弦定理可得s i n c o s 3 s i n c o s s i n c o sB C A B C B ， 1s i n 3 s i n c o s s i n , c o s 3B C A B A B ； 再 根 据 2BA BC，得cos 2c a B ， 6ac，所以 ABC 的面积为 1 sin 2 22 ac B，故 C为正确答案 考点： 1、正弦定理； 2、向量的数量积 【思路点晴】本题主要考查的是正弦定理、三角函数的和差公式、向量的数量积的综合运用，属于 中档题；由 c o s 3 c o s c o sb C a B c B，根据正弦定理求出 cosB 的值，进而求出 sinB的值；再根据 2BA BC，利用两个向量的数量积的定义求得 ac 的值，最后根据面积公式1 sin2ac B 求出 ABC 的面积即可 15 6 【解析】 试题分析：如图所示，设 AB ,a AD b，两个非零向量满足 | | | | 2 | |a b a b a ，则四边形 ABCD 是矩形，且 1 2 3 6AB c o s B A C B A C O A B O A DAC ， ，
