1、从 三角函数诱导公式四、五的证明 探索角终边的 轴 对称问题 用 代数 法和几何法（数轴）来 证明 轴对称角的数量关系 宁波东方外国语学校 胡尤 案例 1.（高中新课程同步练习（高一上）数学 P67） 若角 与 角 的终边关于 y 轴对称，则下列各式中正确的是 （ C ） A sin cos B.sin cos C sin sin D. sin sin 本题的 作业 状况分析：在我班（高一（ 1）班 ： 59人 ）的作业统计中，这一题目的答题正确率为 81.36%， 应该说不算低。但本题却是我班当天课时作业中学生提问最多的一个题目，且在提问学生中，本班数学尖子生占相当大的比例。本校的其它 4个
2、平行班也有类似情况。 分析这一题目， 答题思路 一般 有这样两 种 ： 一、 直接应用 教科书对 任意角三角函数 的 定义与单位圆的对称 性进行 判断 。 二、 先求出 与 的数量关系 （在本题中即为终边关于 y 轴 对称角的数量关系） ，再应用诱导公式四进行 三角函数的 转换 。 第二条答题思路涉及的轴对称角的数量关系也是我们证明诱导公式四、五的必经之路。 从这里我们不难看出， 通过课堂教学，学生 往往 只记忆了诱导公式，却忘了诱导公式的推导过程。造成这一情况的原因是很多的，但逃不了这两点： 一、 教师在课堂教学中没有把诱 导公式的探索与证明过程提到重要的位置， 二、 教科书的图示也只适合于
3、 为锐角这一特殊情况的讨论。 因此从构建学科文化，培养学生的严谨素质出发，有必要对诱导公式（只要指诱导公式四、五）做进一步的探讨与证明。 1 两个问题 及其证明 新教材数 学 1.3从单位圆 y 轴、直线 yx 的轴对称性出发，推导出 了 三角函数诱导公式 四、五 。在教学引入中，一般须要设立以下 2个 提问 ： （ 1） 终边与角 的终边关于 y 轴对称的角与 有什么关系，它们的三角函数有什么关系？ （ 2） 终边与角 的终边关于直线 yx 对称的角与 有什么关系，它们的三角函数有什么关系？ 对 这两个问题的前半问 ，大多 数学生只能对当 为锐角这一特殊情况进行理性分析，进而获得 到当 为一
4、般情境下的感性认知。 但 若只对 为锐角这一特殊情况进行教学，虽然便于学生对所学知识的记忆， 却 不利于对学生数学思维的培养与严谨的数学证明思想的渗透，同时也与新教材的教学理念 （主要指数学文化的渗透，其中包括数学思想、数学方法的渗透） 不相符合 。所以，要 对 诱导公式四、五 的证明进行扩充 ， 首要任务是解决 下面两个问题。 1.1 问题 1： 角 与 角 的终边关于 y 轴对称，则 与 有怎样的数量关系 ？ 证一（ 代数 法） ： 设角 与 角 与单位圆的交点分别为 A、 B，设 A 的坐标为（ x ，y ），则由对称性可知点 B 的坐标为（ x ， y ） .（如图 1） 令以 OA
5、为始边按逆时针方向转到 y 轴非负半轴的最小正角为 ，则 0,2 ， 以 OB 为始边按 顺 时针方向转到 y 轴非负半轴的最小负角为 . 由正负角的定义， 1k 、 2k Z ， .st 1 22 k 2 22 k + ： + = 12( ) 2kk . 令12k k k， 则 kZ ， 于是 2k 当 角 与 角 的终边关于 y 轴对称，存在 kZ ，使得 2k . 证二（几何法）把单位圆看成是刻度范围在 5,22的实数轴 （如图 2） ，每一点的刻度定义为：终边与单位圆的交点在这一点的角 的 弧度， 则 5,22. 因此，每一个 5,22与 单位圆这一数轴上的每一个点 建立起一一对应 .
6、 由任意角的意义： 1k 、 2k Z ， .st y1 xo ( , )Axy ( , )B xy1图1 52,22k ，2 52,22k 1 2k 与 2 2k 的终边与 y 轴对称 ，又由数轴的规定知： 数轴上点 1 2k 与 2 2k 关于点 32 对称，则 （ 1 2k ） +（ 2 2k ） =3 22 ， 整理得： 1212kk 令 121k k k ， 则 kZ ， 于是 2k 当 角 与 角 的终边关于 y 轴对称，存在kZ ，使得 2k . 这样，由 三角函数的第一定义： sin siny co s co sx 可得 ： ta n ta nyyxx sin( 2 )k =s
7、in cos( 2 )k = cos 又根据诱导公式一，得： ta n ( 2 ) ta nk sin( ) =sin cos( ) = cos tan( ) = tan 诱导公式四证毕 . y1 xo ( , )Axy ( , )B xy2 32 2 522图yxoyx00( , )Ax y00( , )By x1.2 问题 2： 角 与 角 的终边关于直线 yx 对称，则 与 有怎样的数量关系？ 证一（ 代数 法） ： 设角 与 角 与单位圆的交点分别为 A、 B，设 A 的坐标为00( , )xy ，则由对称性可知点 B 的坐标为 00( , )yx . 令以 OA 为始边按逆时针方向转
8、到射线 ( 0)y x x的最小正角为 ，则 0,2 ， 以 OB 为始边按 顺 时针方向转到射线 ( 0)y x x的最小负角为 . 由正负角的定义， 1k 、 2k Z ， .st 1 24 k 2 24 k + ： + =12( ) 22 kk .令 12k k k，则 kZ ， 于是 22 k 当 角 与 角 的终边关于 yx 对称，存在 kZ ，使得 22 k . 证二（几何法） ： 把单位圆看成是刻度范围在 9,44的实数轴 （如图 4） ，每一点的刻度定义为：终边与单位圆的交点在这一点的角 的弧度，则 9,44.因此，每一个 9,44与单位圆这一数轴上的每一个点建立起一一对应 .
9、 由任意角的意义： 1k 、 2k Z ， .st 3图1 92,44k ，2 92,44k 1 2k 与 2 2k 的终边与 yx 对称，又由数轴的规定知： 数轴 上点 1 2k 与 2 2k 关于点 54 对称， 则 （ 1 2k ） +（ 2 2k ） =5 24 ， 整理得： 12122 kk 令 121k k k ， 则 kZ ， 于是 22 k 当 角 与 角 的终边关于 y 轴对称，存在kZ ，使得 22 k . 这样，由三角函数的第一定义： 0sin cosx 0cos siny 得： sin( 2 )2 k =cos cos( 2 )2 k =sin 又根据诱导公式一，得：
10、sin( )2 =cos cos( )2 =sin . 诱导公式五证毕 . 2 角终边 轴 对称定理与推论 仿照 以上的证明方法，我们不难得出以下定理，我们暂且称它为角终边 轴 对称定理。 角终边 轴 对称定理 ： 当 角 与 角 的终边关于直线 120k x k y（ 1k 、 2k R ，且1k 、 2k 不全为 0 ） 对称，则存在 kR ， 使得 + =2 2k ， 其中 为以 直 线120k x k y为终边的最小正角 . yxoyx00( , )By x00( , )By x4 54 74 94344图推论 1： 与角 的终边关于直线 120k x k y（ 1k 、 2k R ，
11、 且 1k 、 2k 不全为 0 ）对称的角的集合表示为： | 2 2 ,k k Z ， 其中 为以 直 线120k x k y为终边的最小正角 . 推论 1.1： 若角 与 角 的终边关于直线 l 对称，则以直线 l 为终边的角的集合 表示 为 ： | , 2 k k Z . 定义： 若角 与 角 的终边关于直线 l 对称，称 直线 l 为角 与 角 的对称轴 . 推论 2： 角 与 角 的 对称轴方程为： s i n c o s 022xy . 推论 2 的证明： 设角 与 角 的终边关于过原点 o 的直线 l 对称， 则由推论 1.1可知， k Z ， .st 2 k 是以直线 l 为终
12、边的最小正角 . i 2 k 2 ( )2 k k Z 当 k 为偶数时， tan( )2 k = tan( )2 当 k 为 奇 数时， tan( )2 k = tan( )2 = tan( )2 直线 l 的方程为： t a n ( ) t a n ( )22y k x x ， 也即为 s i n c o s 022xy . ii 2 k= 2 ( )2 k k Z 易知， 此时 直线 l 的表达式为 0x ， 而 cos 2 = c o s ( 2 ) c o s ( ) 022k k k s i n s i n ( 2 )22 kk = sin( )2 k ， 易知 当 k 为偶数时
13、， sin 2 =1， 当 k 为奇数时， sin 2 = 1 直线方程 0x 也可表示为 ： s i n c o s 022xy 综上， 角 与 角 对称轴方程为： s i n c o s 022xy . 3 角终边的 轴 对称理论与现实教学的“三个结合” 3 1 与诱导公式证明教学相结合 回到前文讲到的诱导公式四、五，当 为任意角时， 我们可以分别用 代数 法与几何法来证明之，但要把这一理论思想直接用于普通高中的教学未必妥当。其中最重要的原因是高一学生的逻辑思维水平与字 母运算能力尚在最初步的培养中 ，因此，笔者建议，对诱导公式四、五证明中涉及 到 的两角终边 的轴 对称 问题，不妨回归到
14、 0,2) ， 而后对 的终边分别属于两条对称轴与四个象限进行分类讨论，给学生一个切实的感性认识，然后再推广到 当 为任意角这一一般情况 。 示范 ： 若角 3( , )2， 角 的终边与角 的终边关于 y 轴对称，则 3( ,2 )2 ， 探索 与 的数量关系。 分析：设角 与角 的与 y 轴非负半轴分别交于点 A B C、 、 （如图 5） ， 又令 AOC = ，则 BOCAOC = ， 且 2（ 0， ） =32 32 + ： 3 ，即 3 ，由终边相同角的 数量表示，角 的终边是 OA， 以 OA 为终边的角 可以表示为 = 2k （ kZ ） ，移项得：2k （ kZ ） . 用相
15、同的方法可以得到： 当 角 与 角 的终边关于 yx 对称，存在 kZ ，使得 22 k . 有了这一基础后，教师应该趁胜追问，建议先后设立下面两问： 问 1：式子“ 2k ” 与“ 22 k ”区别在于“ ”与“2” ，这一个值又有什么决定？ 教师归纳：“ ”与“2”分别是以 y 轴为为终边的最小正角 2 与以直线 yx 为终边的最小正角 的两倍。 y1 xo A BC 5图问 2：如果角 与 角 的终边关于直线 l 对称，如何得出 与 的数量关系？ 教师归纳： 与 之和为以直线 l 为终边的最小正角的两倍加上周角的整数倍。 （板书） ： + =2 2k . 接下来就是对角终边直线对称 定
16、理的记忆， 而几何法（数轴法） 的给出 恰恰能够起到 由已知记忆新知的作用，因此我们就有必要把任意角从单位圆过渡到数轴。但如果直接应用前文的证明，并非能起到最好的教学效果 ，笔 者建议也如同前面，先后设立两问。 问 3：数轴上 有 三点 12x x x、 、 ，且点 1x 与点 2x 关于点 x 对称 ，则 1x 、 2x 与 x 有怎么的关系？ 学生： 1x 2x 2x . 教师归纳： 把单位圆看成是一个弯曲的实数轴，每一点的刻度定义为：终边与单位圆的交点在这一点的角 的 弧度，那么 两角终边 关于某直线对称时，这两个角与以这一直线为终边的角也有类似的数量关系。 用数轴的观点来解释角终边的直
17、线对称问题， 让角与数轴这一直观的数学工具统一起来，体现了数学作为理科哲学辨证统一的一面。而对学生来说，数轴相对单位 圆来说更具直观意义，而且数轴是学生较熟悉的知识，从一个熟悉的理论来解释新的知识，那么这一熟悉的理论无疑是接受新知识的强大思维依托。 3 2 与例题解答相结合 案例 2.（高中新课程同步练习（高一上）数学 P62） 若角 的终边与角 3 的终边关于直线 yx 对称，写出与角 2 终边相同的角的集合 . 分析：以直线 yx 为终边的最小正角为 34 ，由推论 1 可知， 与 角 终边相同角 的集合表示为： 3 | 2 2 43 k k Z ，7 | 2 6 k k Z ， 因此，与
18、角 2 终边相同角的表示为： 5 | 2 3 k k Z ，. 案例 3.已知角 32 与 113 关于直线 y kx 对称，在 0,2) 内找出以直线 y kx 为终边的两个不同的角，并求出直线方程 . 分析： 由推论 1.1知：以直线 y kx 为终边的角（设为 ）可表示为：3 11232 k 316 k （ kZ ），令 54k 、 ， 分别取 766、 ， 由有推论 2 可以得到， 3ta n 63y x x. 案例 4.（ 2007 学年上学期奉化中学三角函数单元测试卷 11 题） 若 角 与 角 的终边关于直线 0xy对称，且 030 ，则 分析： 以直线 0xy为终边的最小正角为
19、 34 ，又 030 6 ，由推论 得： 32 ( ) 246 k 5 23 k （ kZ ） . 总结：此类题目， 原先的做法一般是借助 角的 几何 运算， 需要借助坐标 系并 画图来解答，而 若用 角终边的轴对称思想可以 直接通过角的数量运算 给 这类题目 及其变形题一个更一般化的解答方法 。同时有利于学生对解决此类问题的一般方法的掌握。 3 3 与 渗透数学文化 相结合 数学文化的内涵，包括用数学的观点观察现实，构造数学模型，学习数学的语言、图表、符号表示 ，进行数学交流。通过理性思维，培养严谨素质，追求创新精神，欣赏数学之美。笔者认为新一轮高中课程改革的一个重要特点就是对数学文化的强调
20、。 3.3.1 培养学生的数学思维 在诱导公式的教学中，涉及到了任意角的定义与终边相同角的数量关系这两个教学上的难点，同时也涉及了相加消元这一重要的数学方法。教师若在主观上抓住培养学生数学思维这一目的，且在教学中，施行层层递进 教师引导、学生探究、教师归纳的教学方法（如 3.1 中的教学示范）， 让学生了解到知识大都是经过问题、猜想、论证、检验、完善，一步一步成熟起来的，促进学生正 确的数学思维方式的形成，这 不仅能够把所学的知识真正映入学生的思维中，让他们构建自己的知识， 而当学生能够构建自身知识， 学生学习与教师教学的根本目的也已 达到 ，同时也在无形之中突破了教学的难点并 使学生 掌握了
21、 一种 重要的数学方法。简而言之，以学生为主体， 以培养学生的数学思维为教学检验标准， 是我们教学的根本。 3.3.2 感受数学的辨证统一 人总是无时无刻地在追求一种心理平衡，总在不停地寻找一类事物中的平衡点（或统一之处）和不同事物之间的某种共性，进而更高要求地去阐释世界的大同，这实际上是矛盾的辨证统一。 在角终边的 轴 对称问题中， 我们感受到了“ 对称 ” 这一数学中的“美” 。 而用 另一个概念 数轴的对称性来解释角终边的对称性时， 使我们深深感受到了数学知识之间的辨证统一 角与实数的统一、圆与直线的统一 ，也充分展示了数学在形态上和思想上的“内外兼美”。 数学与其它领域或学科的辨证统一
22、则是无处不在， 举例来说， 这里讲到的 “对称”，文学中有“对仗”。对称是一种变化，变过去了却有些性质保持不变。轴对称，即是依对称轴对折，图形的形状和大小都保持不变。那么对仗是什么？就是上联变成下联，但是字句的某些特性不变。王维诗云：“明月松间照，清泉石上流”。这里，明月对清泉，都是自然景物，这个性质没有变。形容词“明”对“清”，名词“月”对“泉”，词性不变。其余各名词均如此。变化中的不变性质，在文学中、数学中都广泛存在着。 在实际教学中，要让学生真正感受到数学的魅力， 学生也只有了解数学的价值 ， 才能自觉学习数学。 对于我们教师，要把 具体的数学技能和无形的数学文化结合起来，把数学文化 有
23、计划、有目的和自然地引入到数学的课堂中 ， 让它能够帮助学生学习数学、理解数学 ， 深刻地认识数学和真正地应用数学 ， 让数学真正发挥它应有的作用。 结束语 “路漫漫其修远兮，吾将上下 而求索。”，中学数学留给我们的探索空间如同一个无穷的宇宙， 函数诱导公式的 每到一处都有新天地的发现。一个小小的数学问题，也许就能折射出更为深刻的内涵。本文对笔者在三角 教学中遇到的角终边的轴对称问题进行了探讨与求证。 因本人能力有限，在文中的叙述与论证中 存在的不当之处，望各位同仁批评指正。 参考文献： 1人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心 .普通高中课程标准实验书 数学 1（ A 版） M.人民教育出版社， 2007： 23-24 2人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开 发中心 .新课标教案 数学必修 4（ A 版） M.人民教育出版社， 2007： 25-26 3高中新课程同步练习丛书编委会 . 高中新课程同步练习（高一上） 数学 M.浙江摄影出版社， 2007： 62-67
