1、智浪教育 -普惠英才文库 初中数学竞赛圆历届考题 1（ 04） D 是 ABC 的边 AB 上的一点，使得 AB=3AD， P 是 ABC 外接圆上一点，使得 ACBADP ，求 PDPB 的值 . 解： 连结 AP，则 A D PA C BA PB ， 所以， APB ADP， （ 5 分） ADAPAPAB ， 所以 22 3 ADADABAP ， ADAP 3 ， （ 10 分） 所以 3 ADAPPDPB . （ 15 分） 2、（ 05）已知点 I 是锐角三角形 ABC 的内心， A1， B1， C1 分别是 点 I 关于边 BC， CA， AB 的对称点。若点 B 在 A1B1C1
2、 的外接 圆上，则 ABC 等于（ ） A、 30 B、 45 C、 60 D、 90 答： C 解：因为 IA1 IB1 IC1 2r（ r 为 ABC 的内切圆半径），所以 点 I 同时是 A1B1C1 的外接圆的圆心，设 IA1 与 BC 的交点为 D，则 IB IA1 2ID， 所以 IBD 30，同理， IBA 30，于是， ABC 60 3（ 06）正方形 ABCD 内接于 O，点 P 在劣弧 AB 上，连结 DP，交 AC 于点 Q若 QP=QO，则QAQC的值为（ ） （ A） 132 （ B） 32 （ C） 23 （ D） 23 答： D 解：如图，设 O 的半径为 r，
3、QO=m，则 QP=m， QC=r m， QA=r m在 O 中，根据相交弦定理，得 QA QC=QP QD 即 (r m)(r m)=m QD ，所以 QD= mmr 22 连结 DO，由勾股定理，得 QD2=DO2A1 B C D A B1 C1 I （第 3 题图） A B C D O Q P 智浪教育 -普惠英才文库 QO2，即 22222 mrm mr ，解得 rm 33 所以， 2313 13 mr mrQAQC4（ 06）如图，点 P 为 O 外一点，过点 P 作 O 的两条切线，切点分别为 A， B过点 A作 PB 的平行 线，交 O 于点 C连结 PC，交 O 于点 E；连结
4、 AE，并延长 AE 交 PB 于点K求证： PE AC=CE KB 证明：因为 AC PB，所以 KPE= ACE又 PA 是 O 的切线， 所以 KAP= ACE，故 KPE= KAP，于是 KPE KAP， 所以 KPKEKAKP ， 即 KAKEKP 2 由切割线定理得 KAKEKB 2 所以 KBKP 10 分 因为 AC PB， KPE ACE，于是 ACKPCEPE 故 ACKBCEPE ， 即 PE AC=CE KB 15 分 5（ 07）已知 ABC 为锐角三角形， O 经过点 B， C，且 与边 AB， AC 分别相交于点 D，E若 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等
5、，则 O 一定经过 ABC 的（ ） （ A） 内心 （ B） 外心 （ C）重心 （ D）垂心 答 ：（ B） 解： 如图，连接 BE， 因为 ABC 为锐角三角形，所以 BAC ， ABE 均为锐角又因为 O 的半径与 ADE 的外接圆的半径相等， 且 DE 为两圆的公共弦，所以 BAC ABE 于是， 2B E C B A C A B E B A C 若 ABC 的外心为 1O ，则 1 2BO C BAC ，所以， O 一定过 ABC的外心故选（ B） 6 已知 AB 为半圆 O 的直径，点 P 为直径 AB 上的任意一点以点 A 为圆心， AP 为半径作 A， A 与半圆 O 相交于
6、点 C；以点B 为圆心， BP 为半径作 B， B 与半圆 O 相 交于点 D，且线段（第 4 题） A B C O P E K （第 3题答案图） 智浪教育 -普惠英才文库 CD 的中点为 M求证： MP 分别与 A 和 B 相切 证明： 如图， 连接 AC， AD， BC， BD，并且分别过点 C， D 作 AB 的垂线，垂足分别为 ,EF，则 CE DF因为 AB 是 O 的直径，所以 90A C B A D B 在 Rt ABC和 Rt ABD 中 ， 由 射 影 定 理 得 22P A A C A E A B ，22P B B D B F A B 5 分 两式相减可得 22P A P
7、 B A B A E B F ， 又 22 ( ) ( )P A P B P A P B P A P B A B P A P B ， 于是有 A E B F P A P B ，即 P A A E P B B F ， 所以 PE PF ，也就是说，点 P 是线段 EF 的中点因此， MP 是直角梯形 CDFE 的中位线，于是有 MP AB ，从而可得 MP 分别与 A 和 B 相切 7如图，点 E， F 分别在四边形 ABCD 的边 AD， BC 的延长线上，且满足 DE ADCF BC 若CD ， FE 的延长线相交于点 G ， DEG 的外接圆与 CFG 的外接圆的另一个交点为点P ，连接
8、PA， PB， PC， PD求证： （ 1） AD PDBC PC ； （ 2） PAB PDC 证明 ：（ 1）连接 PE， PF， PG， 因为 PDG PEG ， 所以 PDC PEF 又因为 PCG PFG ，所以 PDC PEF ， 于是有 ,P D P E C P D F P EP C P F ，从而 PDE PCF ，所以 PD DEPC CF 又已知 DE ADCF BC ，所以， AD PDBC PC 10 分 （ 2）由于 P D A P G E P C B ，结合（ 1）知， PDA PCB ，从而有,PA PDPB PC DPA CPB ，所以 APB DPC ，因此
9、PAB PDC 15 分 8、 ABC 中， AB 7， BC 8， CA 9，过 ABC 的内切圆圆心 l 作 DE BC，分别与 AB、 AC 相交于点 D， E，则 DE 的长为 163 。 解：如图，设 ABC 的三边长为 ,abc， 内切圆 l 的半径为 r， BC 边上的高为 ah ，则 （第 13A 题答案图） A B C D E I r ha （第 8 题） 智浪教育 -普惠英才文库 11 ()22a A B Ca h S a b c r ，所以arah a b c ， 因为 ADE ABC，所以它们对应线段成比例，因此 ,aahrDEh BC 所以 DE ()( 1 ) (
10、1 )aaahr r a a b ca a ah h a b c a b c 故 DE 8 (7 9) 168 7 9 6 。 9、已知 AB 是半径为 1 的圆 O 的一条弦，且 AB a 1，以 AB 为一边在圆 O内作正 ABC，点 D 为圆 O 上不同于点 A 的一点，且 DB AB a ， DC 的延长线交圆 O 于点 E，则 AE 的长为（ B ）。 A、 52a B、 1 C、 32 D、 a 解：如图，连接 OE， OA， OB，设 D a ，则 ECA 120 a EAC 又因为 ABO 11 (6 0 1 8 0 2 ) 1 2 022A B D a a 所以 ACE AB
11、O，于是 AE OA 1 10已知线段 AB 的中点为 C，以点 A 为圆心， AB 的长为半径作圆，在线段 AB的延长线上取点 D，使得 BD AC；再以点 D 为圆心， DA 的长为半径 作圆，与 A 分别相交于 F， G 两点，连接 FG 交 AB 于点 H，则 AHAB 的值为 解： 如图， 延长 AD 与 D 交于点 E，连接 AF， EF 由题设知 13AC AD ， 13AB AE ，在 FHA 和 EFA中， 90E F A F H A ， FAH EAF 所以 Rt FHA Rt EFA ， AH AFAF AE .而 AF AB ，所以 AHAB 13 . A B C O
12、D E （第 9 题） （第 10 题） 智浪教育 -普惠英才文库 11（ 10）如图， ABC为等腰三角形， AP是底边 BC上的高，点 D是线段 PC 上的一点，BE和 CF分别是 ABD和 ACD的外接圆直径，连接 EF. 求证： tan EFPAD BC 证明： 如图， 连接 ED， FD. 因为 BE 和 CF 都是直 径，所以 ED BC， FD BC， 因此 D， E， F 三点共线 . （ 5 分） 连接 AE， AF，则 A E F A B C A C B A F D ， 所以， ABC AEF. （ 10 分） 作 AH EF，垂足为 H，则 AH=PD. 由 ABC AE
13、F 可得 EF AHBC AP ， 从而 EF PDBC AP ， 所以 t a n P D E FPAD A P B C . （ 20 分） 12（ 11） 、如图，点 H 为 ABC 的垂心，以 AB 为直径的 1O 和 BCH 的外接圆 2O 相交于点 D，延长 AD 交 CH 于点 P，求证：点 P 为 CH 的中点。 证明： 如图， 延长 AP 交 2O 于点 Q 连结 AH， BD， QC， QH AB 为直径 ADB BDQ 900 BQ 为 2O 的直径 于是 CQ BC， BH HQ 点 H 为 ABC 的垂心 AH BC， BH AC AH CQ， AC HQ，四边形 ACHQ 为平行四边形 则 点 P 为 CH 的中点。 （第 12B 题） （第 12A 题） （第 题）（第 11 题） A B C 1O H 2O P D Q
