2018考研数学冲刺模拟卷数学二.DOC

1、 Born to win 2018 考研数学冲刺模拟卷（数学二） 答案与解析 一、选择题： 1 8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 答题纸 指定位置上 . （ 1）若函数 21 c o s ,0(),0x xfx axbx 在 0x 处连续，则（ ） (A) 14ab (B) 12ab (C) 0ab (D) 2ab 【答案】 A. 【解析】 2220011 c os 14l im l im , ( )4xx xx fxax ax a 在 0x 处连续 11.44b aba 选A. （ 2）设二阶可导函数 ()fx

2、满足 (1 ) ( 1 ) 1, (0 ) 1f f f 且 ( ) 0fx ，则（ ） (A) 11 ( ) 0f x dx （ B ） 11 ( ) 0f x dx （ C ） 0110( ) ( )f x dx f x dx （ D ）0110( ) ( )f x dx f x dx 【答案】 A. 【解析】 ()fx为偶函数时满足题设条件，此时 0110( ) ( )f x dx f x dx ，排除 C,D. 取 2( ) 2 1f x x 满足条件，则 11 2 2( ) 2 1 03f x d x x d x ，选 A. （ 3）设数列 nx 收敛，则（ ） （ A） 当 lim

3、tan 0nn x 时， lim 0nn x （ B） 当 3lim ( ) 0nnn xx 时， lim 0nn x （ C） 当 2lim( ) 0nnn xx 时， lim 0nn x （ D） 当 lim ( si n ) 0nnn xx 时， lim 0nn x 【答案】 D. 【解析】 特值法：（ A）取 nx ，有 lim ta n 0 , limnnnnxx ， A 错； 取 1nx ，排除 B,C.所以选 D. （ 4）微分方程 24 4 (1 s i n 2 )xy y y e x 的特解可设为 *y （ ） （ A） 22 ( c o s 2 s in 2 )xxA e

4、e B x C x （ B） 22 ( c o s 2 s in 2 )xxA x e e B x C x Born to win （ C） 2 2 2 ( c o s 2 s i n 2 )xxA x e e B x C x （ D） 22 ( c o s 2 s in 2 )xxA x e e B x C x 【答案】 C. 【解析】 特征方程为： 2 1 , 24 4 0 2 ， 因为 2( ) (1 sin 2 )xf x e x，故 * 2 2 2 ( c o s 2 s i n 2 )xxy A x e e B x C x ，选 C. （ 5） 设 ( , )f xy 具有一阶偏导

5、数，且对任意的 (, )xy ，都有 ( , ) ( , )0 , 0f x y f x yxy，则 （ A） (0,0) (1,1)ff （ B） (0,0) (1,1)ff （ C） (0,1) (1,0)ff （ D） (0,1) (1,0)ff 【答案】 C. 【解析】 ( , ) ( , )0 , 0 ( , )f x y f x y f x yxy 是关于 x 的单调递减函数，是关于 y 的单调递增函数， 所以有 (0 ,1) (0 , 0 ) (1, 0 )f f f，故答案选 C. （ 6） 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m）处，图中实线表示甲的速度曲线

6、1()v v t （单位： /ms），虚线表示乙的速度曲线 2()v v t ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为 0t （单位： s），则（ ） 0510152030()ts( / )v m s20325（ A） 0 10t （ B） 015 20t （ C） 0 25t （ D ）0 25t 【答案】 D. 【解析】从 0 到 0t 这段时间内甲乙的位移分别为 0012(t) , (t) ,ttv dt v dt则乙要超过甲，则 0 210 (t) v (t) 1 0t v dt ，当 0 25t 时满足，故选 D. Born to win （ 7

7、） 设 A 为 mn 阶矩阵，且 ( )r A m n=，则下列结论正确的是 （ A） A 的任意 m 阶子式都不等于零 （ B） A 的任意 m 个列向量线性无关 （ C）方程组 AX b= 一定有无穷多解 （ D）矩阵 A 经过初等行变换可化为 ( )mEO 【答案】 C. 【解析】对于选项 C， ( ) ( ) ( ) ( )= m in ,m r A r A m n m r A m n = ? 所以选项 C 正确 , 对于选项 A 和 B， r(A)=m，由秩的定义可得，存在一个 m 阶行列式不为零，从而 m 阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项 A 和 B 不正确 对于选项 D，

8、矩阵 A 经过初等行变换和列变换才可化为 ( )mEO，所以选项 D 不正确 （ 8）设 ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 31 , 0 , 2 , , 0 , 2 , 1 , , 1 , 2 , 3 ,T T Tc c ca a a= = =， ( )4 1, 0 , 1, 0 Ta = ,其中 ( )1,2,3ici= 为任意实 数，则 （ A） 1 2 3 4, , ,a a a a 必线性相关 （ B） 1 2 3 4, , ,a a a a 必线性无关 （ C） 1 2 3,a a a 必线性相关 （ D） 234,a a a 必线性无关 【答案】 D. 【解析】 ( )1

9、2 3 43 1 21 0 1 10 1 1 00 0 00 0 0 1c c ca a a a骣琪琪琪琪 -琪琪-桫经 初 等 行 变 换所以 ( )1 2 3 4 4r a a a a ，从而选项 A 和 B 均不正确 ( )1 2 3 3r a a a ，从而选项 C 不正确 利用排除法可得正确答案为 D 对于选项 D， ( )2 3 41 1 00 1 10 0 1000a a a骣琪琪琪琪琪琪桫经 初 等 行 变 换， 从而可得 ( )2 3 4 3r a a a = 向 量 的 个 数，所以 234,a a a 必线性无关 二、填空题： 914 小题，每小题 4 分，共 24 分，

10、请将答案写在 答题纸 指定位置上 . Born to win (9) 曲线 21 ln(1 )xy x ex 的斜渐近线方程为 _ 【答案】 2yx 【解析】 222l n ( 1 ) l n ( 1 )l im l im ( 1 ) 2 , l im 2 l im 0 ,2xxx x x xy e ey x xx x xyx (10) 设函数 ()y yx 由参数方程 0 sintt ux t ey u e du 确定，则 22 0tdydx _ 【答案】 38 【解析】 2203s ins in , 11s in1 ( c o s ) ( 1 ) ( s in ) 381tttttt t

11、t t tttd y d x d y t et e ed t d t d x eteed y t e e t e e d ydxd x d xedt (11) 21 lnxdxx _ 【答案】 -1 【解析】 1221 1 1l n 1 1 1l n l n 1x d x x d x d xx x x x (12) 设函数 ( , )f xy 具有一阶连续偏导数，且 , (1 )yyffye x y exy ， (0,0) 0f ， 则 ( , ) _f x y . 【答案】 yxye . 【解析】 , ( 1 ) , ( , ) ( ) ,y y y yxyf y e f x y e f x

12、 y y e dx x y e c y 故 ()y y y yyf x e x y e c y x e x y e ， 因此 ( ) 0cy ，即 ()cy C ，再由 (0,0) 0f ，可得 ( , ) .yf x y xye（ 13） 已知 1 tan()x tf x dtt，则 10 ( ) _f x dx . 【答案】 lncos1 . Born to win 【解 析】 交换积分次序： 10 ()f xdx 1 1 1 10 0 0 0ta n ta n ta n l n c o s 1txttd t d x d t d x td t . （ 14） 设 ,ab为四维非零的正交向量

13、，且 TA ab= ，则 A 的所有特征值为 . 【答案】 0,0,0,0 【解析】 设矩阵 A 的特征值为 l ，则 2A 的特征值为 2l 由 ,ab为四维非零的正交向量 0Tba? 从而 ( ) ( ) ( )2 0T T T TA a b a b a b a b= = = 所以 2A 的特征值 2 0l = A 的特征值为 0l= 所以 4 阶矩阵 A 的 4 个特征值均为 0. 三、解答题： 15 23 小题，共 94 分 .请将解答写在 答题纸 指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . （ 15）（本题满分 10 分）求极限 00300limxu txxu te d

14、t dut dt【答案】 23 . 【解析】 00300limxu txxu te d t d ut d t 0 30limx txx te dtx ，令 x t u ，则有 000xxt x u x uxx t e d t u e d u u e d u 003300220310022= l im l im2l im l im332xxx u x uxxx uxxxu e d u e u e d uxxu e d u xexx 原 式（ 16）（本题满分 10 分） 设函数 fu在 0, 内具有二阶导数，且 22z f x y满Born to win 足等式 222 2 2 2 2211 2

15、z z z zx y zx y x y x yxy ， 若 0 0, 0 1,ff求函数 fu的表达式 . 【解析】 (I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了 2 2 2 22 2 2 2;z x z yf x y f x yxy x y x y 22222222 2 2 22 2 2 2 2xxyxyzxf x y f x yx x y x y 222 2 2 2 3222 22xyf x y f x yxy xy 同理 2 2 22 2 2 2322 22 22z y xf x y f x yy xyxy 代入 222 2 2 2 2211 2z z z zx

16、 y zx y x y x yxy ，得 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( )f x y f x y f x y ， 即 ( ) ( ) 2 ( )f u f u f u . 则对应的特征方程为 2 20rr ， 121, 2rr ，故 212() xxf u C e C e. 由 0 0, 0 1,ff得1211,33CC ，即 211() 33xxf u e e （ 17） （本题满分 10 分） 求 21ln lnlim nn kk n k nn 【答案】 14 . 【解析】 原式=21 1 12 2 102 0 0 01 1 1 1 1 1l i m l n ( 1 ) l n (

17、 1 ) l n ( 1 ) ( l n ( 1 ) )2 2 1 4nn kk k xx x d x x d x x x d xn n x . （ 18）（本题满分 10 分） 设函数 fx连续，且 20 13 a rc c o t2x tf x t dt x .已知 21f ，求 32 f x dx的值 . Born to win 【解析】令 3u x t，则 3t x u，所以 dt du 代入 20 13 a r c c o t2x tf x t d t x 得 230 3 23 ( 3 ) ( 3 )x x xxxtf x t d t x u f u d u x u f u d u

18、33 222 13 a r c c o t2xxx f u d u u f u d u x 将等式 33 222 13 a r c c o t2xxx f u d u u f u d u x 两边对 x 求导得 3423 3 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 3 ( 3 ) 3 2 ( 2 ) 2 1xx xf u d u x f x f x x f x x f x x 化简得 3423 2 ( 2 )1xx xf u d u x f x x 令 1x 得， 32 13 2 ( 2 ) 11f u d u f ，化简得 32 12f u du （ 19）（本题满分 10 分） 设 ()y f x

19、 是区间 0,1 上的任一非负连续函数 ， ()fx在区间 (0,1)内可导 ,且 2 ( )( ) ,fxfx x 试证明在 (0,1) 内， 1( ) ( ) 0xxf x f t dt存在唯一实根 . 【解析】 (1)要证 0 (0,1)x ,使0100( ) ( )xx f x f x dx ；令 1( ) ( ) ( )xx xf x f t dt ,要证0 (0,1)x ,使 0( ) 0x .可以对 ()x 的原函数 0( ) ( )xx t dt 使用罗尔定理： (0) 0, 1 1 1 10 0 011 1 100 0( 1 ) ( ) ( ) ( ( ) )( ) ( )

20、( ) 0 ,xxx xx d x x f x d x f t d t d xx f x d x x f t d t x f x d x 分 部又由 ()fx在 0,1 连续 ()x 在 0,1 连续 , ()x 在 0,1 连续 ,在 (0,1) 可导 .根据罗尔定理 , 0 (0,1)x ,使 00( ) ( ) 0xx . (2) 由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0x x f x f x f x x f x f x ,知 ()x 在 (0,1) 内单调增 ,故 (1)中的 0x 是唯一的 . （ 20）（ 本题满分 11 分） 已知平面区域 22, | 2 ,D

21、x y x y x 计算二重积分 21D y dxdy 。 Born to win 【答案】 54 . 【解析】 2 2 c o s2 2 3 2200 51 1 2 1 2 sin 4D D D Dy d x d y y d x d y y d x d y d x d y d r d r （ 21）（ 本题满分 11 分） 设 ()yx 是区间 30,2内的可导函数，且 (1) 1y ，点 P 是曲线 L: ()y yx 上任意一点， L 在点 P 处的切线与 x 轴相交于点 ,0pX ，法线与 y 轴相交于点 0,pY ，若 ppXY ，求 L 上点的坐标 ,xy 满足的方程。 【答案】

22、【解析】 设 , ( )p x y x 的切线为 ( ) ( )Y y x y x X x ，令 0Y 得()p yXxyx，法线 1()()Y y x X xyx , 令 0X 得()p xYyyx。由 ppXY 得( ) ( )yxxyy x y x ，即 1 ( ) 1yyyxxx 。令 y ux ，则 y ux ，按照齐次微分方程的解法不难解出 21 l n ( 1 ) a r c t a n l n2 u u x C ,故 2211l n a r c t a n l n 22 4 2yxy x . （ 22）（本题满分 11 分） 设 1 2 3 4, , , ,a a a a b

23、均为四维列向量， ( )1 2 3 4, , ,A a a a a= ，非齐次线性方程组 AX b= 的通解为 ( ) ( )1 , 2 , 0 , 3 2 , 3 , 1 , 5TTk - + - ( )求方程组 ( )234, Xa a a b=的通解； ( )求方程组 ( )1 2 3 4 4, , , , Xa a a a a b b+=的通解 . 【解析】 ( )由 AX b= 的通解为 ( ) ( )1 , 2 , 0 , 3 2 , 3 , 1 , 5TTk - + - 可得 ( ) ( )12233 , 0 ,0135r A r A A Abb骣骣-琪琪-琪琪= = = =琪琪

24、桫桫，即 Born to win ( )( )1 2 3 4 1 2 41 2 3 4 1 2 3 412, , , 2 3 0 0323, , , 2 3 5 15a a a a a a aa a a a a a a a b骣 -琪琪琪 = - + + =琪琪琪桫骣琪琪 -琪 = - + + =琪琪琪桫所以 1a 可由 2 3 4,a a a 线性表出， b 可由 1 2 3 4, , ,a a a a 线性表出即 b 可由线性表出2 3 4,a a a 从而 ( ) ( )2 3 4 2 3 4, , , , , 3rra a a a a a b= 所以方程组 ( )234, Xa a a

25、 b=只有唯一解 +2 得 2 3 411b a a a= + + 所以程组 ( )234, Xa a a b=的唯一解为 ( )1, 1, 1 1 TX = ; () 由 ( )可得 1a 可由 2 3 4,a a a 线性表出， b 可由线性表出 2 3 4,a a a 从而 ( ) ( )1 2 3 4 4 2 3 4, , , , , 0 , , , , 0 , 0a a a a a b b a a a+? 经 初 等 行 变 换 所以 ( ) ( )1 2 3 4 4 2 3 4, , , , , , , 3 5rra a a a a b b a a a+ = = 所以齐次线性方程组

26、的 ( )1 2 3 4 4, , , , 0Xa a a a a b+=基础解系中有 2 个线性无关的解向量，非齐次线性房出租 ( )1 2 3 4 4, , , , Xa a a a a b b+=有无穷多解 由 ( )中的( )1 2 4 1 2 3 4 4122 3 0 , , , , 0030a a a a a a a a b骣 -琪琪琪琪- + + = ? =琪琪琪琪桫Born to win 1 2 3 42 3 5 a a a a b- + + =即 ( )1 2 3 4 1 2 3 4 4232 3 5 = 0 , , , , 0161a a a a b a a a a a b

27、骣琪琪 -琪琪- + + - ? =琪琪琪琪-桫且111223,013601hh骣骣-琪琪琪琪 -琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪-桫桫线性无关 所以 ( )1 2 3 4 4, , , , 0Xa a a a a b+=的基础解系为111223,013601hh骣骣-琪琪琪琪 -琪琪琪琪=琪琪琪琪琪琪-桫桫由( )1 2 3 4 400, , , , 011a a a a a b b骣琪琪琪琪+=琪-琪琪琪桫可得 ( )1 2 3 4 4, , , , Xa a a a a b b+=的一个特解为23150h骣琪琪 -琪琪=琪琪琪琪桫所以 ( )1 2 3 4 4, , , , Xa a a a a b b+=的通解为：