1、 高三复习班竞赛试题 数学（理） 第 I 卷（选择题 共 60 分） 注意事项： 1.答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2.每题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑 .如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它的答案标号。 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.命题“若 a b，则 2a 2b”的否命题是 A.若 a b，则 2a 2b B.若 2a 2b，则 a b C.若 a b，则 2a 2b D.若 2a 2b，则 a b 2.设全集 U=
2、R，集合 x1A x y lnx，则 A. , 0 1, B. 0,1 C. 0,1 D. ,0 1, 3.已知 mR ，复数 m1 i 在复平面内对应 的点在直线 x y 0上，则实数 m 的值是 A. 1 B.0 C.1 D.2 4.函数 y x cosx 的图象大致是 5. 211x dxx 的值是 A.3+ln2 B. 3 ln22 C.4+ln2 D. 7 ln22 6.设 、 为两个不同的平面， m 、 n 为两条不同的直线，且 ,mn,有两个命题： p ：若 /mn，则 /； q ：若 m ，则 ；那么 ( ) A “p 或 q ”是假命题 B “p 且 q ”是真命题 C “非
3、 p 或 q ” 是假命题 D “非 p 且 q ”是真命题 7. 已知实数 x,y 满足 |2x+y+1|x+2y+2|，且 11 y ，则 z=2x+y 的最大值 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 8. 偶函数 f(x)满足 f(x 1)=f(x+1)，且在 x 0， 1时 ,f(x)=x ，则关于 x 的方程 f(x)= 110x，在 x 0， 4上解的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9.已知各项均为正数的等比数列 na 中，1 3 213a , a ,2a2成等差数列，则 11 138 10aaaa A. 1 或 3 B.3 C.27 D.1 或
4、27 10.在 ABC 中， D 是 BC 的中点， AD=3，点 P 在 AD 上且满足 3AD AP ，则 DA PB PC A.6 B. 6 C.12 D. 13 11、 在 ABC 中， E、 F 分别为 AB， AC 中点 .P 为 EF 上任一点 ,实数 x， y 满足PA+x PB+yPC=0.设 ABC， PBC， PCA， PAB 的面积分别为 S， 1， 2S，3S，记1 1SS ,2 2SS ,3S,则 23取最大值时， 2x+y 的值为 ( ) A. 1 B. 1 C. 3D. 2 12.已知曲线 22C : x y 4 x 0 , y 0 ，与抛物线 2xy 及 2y
5、x 的图象分别交于点 1 1 2 2A x , y , B x , y，则 2212yy 的值等于 A.1 B.2 C.4 D.8 第 II 卷（非选择题 共 90 分） 注意事项： 1.将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分 . 13.已知 2cos23 ，则 cos2 _. 14. 已知 2 2 3 3 4 42 4 , 3 9 , 4 1 63 3 8 8 1 5 1 5 ， ， 观 察 以 上 等 式 ， 若999kmn （ m， n， k 均为实数），则
6、 m+n k=_. 15. 已知双曲线 22xy 1 a 0 , b 0ab 的焦距为 25， 一 条 渐 近 线 平 分 圆22x y 4 x 2 y 0 ，则双曲线的标准方程为 _. 16.定义在 R 上的函数 fx，对 xR ，满足 f 1 x f 1 x , f x f x ，且fx在 0,1 上是增函数 .下列结论正确的是 _.（把所有正确结论的序号都填上） f 0 0 ； f x 2 f x ； fx在 6, 4 上 是增函数； fx在 x1 处取得最小值 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 12分）
7、在 ABC 中，角 CBA 、 所对的边分别为 cba 、 ，且 bcBA 2tantan1 . （）求角 A； （）已知 6,27 bca 求 cb 的值 . 18.(本小题满分 12分） 已知数列 na 的各项均是正数，其前 n 项和为 nS ，满足 nn aS 4 . （）求数列 na 的通项公式； （）设 ),(lo g2 1 2 Nnab nn数列 2nnbb 的前 n 项和为 nT ，求证： 43nT. 19. （本小题满分 12 分） 如图 ,在直角梯形 ABCP 中， AP/BC， AP AB， AB=BC=12AP=2， D 是 AP的中点， E， F， G 分别为 PC、
8、PD、 CB 的中点，将 PCD 沿 CD 折起，使得 PD 平面 ABCD. ( 1) 求证：平面 PCD 平面 PAD； ( ) 求二面角 G EF D 的大小； 20（本题满分 12 分） 已知数列 na 中， 1 5a 且 12 2 1nnnaa （ 2n 且 *nN ） . （ ）证明：数列 12n na 为等差数列； （ ）求数列 na 的前 n 项和 nS . 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆的焦点坐标为 1F（ 1,0）， 2F（ 1,0），过 2F垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点，且 |PQ|=3， （ ） 求椭圆的方程； （ ） 过 2F的直线 l 与椭圆
9、交于不同的两点 M、 N，则 1FMN 的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由 . 22.（本题满 分 14 分） 已知函数 211( ) ln ( )22f x a x x a x （ a 为常数， 0a ） . （ ）若 12x是函数 ()fx的一个极值点，求 a 的值； （ ）求证：当 02a 时， ()fx在 1 , )2上是增函数； （ ）若对 任意 的 a （ 1， 2），总 存在 0 1 ,12x，使不等式 20( ) (1 )f x m a成立，求实数 m 的取范围 . 高三复习班竞赛试题 数学（理） 一、选择题 CBCAB D
10、BDCD DC 二、填空题 13 19 14、 79 15、 2 2x y14 16、 17 (本小题满分 12 分 ) 解：（）由 1+ t a n 2 s i n c o s 2 s i nt a n c o s s i n s i nA c A B CB b A B B及 正 弦 定 理 , 得 1+， 3 分 c o s s i n s i n c o s 2 s i nc o s s i n s i nA B A B CA B B 即 , s in ( ) 2 s in ,c o s s in s inA B CA B B 5 分 1s i n ( ) s i n 0 , c o s
11、 .2A B C A B C A 在 中 , 6 分 0 , .3AA 7 分 （）由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 8 分 又 71, 6 , c o s22a b c A ， 则 22494 b c bc = 22( ) 3 ( ) 1 8b c b c b c ， 10 分 解得 11.2bc 12 分 18解： （）由题设知 2,4 111 aaS ， 2分 由 11 44nnnn aS aS 两式相减，得 11 nnnn aaSS . 所以212, 1111 nnnnnnn aaaaaaa 即. 4分 可见，数列 na 是首项为 2，公比为 21 的等
12、比数列。 所以 2121212 nnna 6分 （）nnab nn 1)2(2 1lo g2 1 2 ， 8分 21121)2( 12 nnnnbb nn. 10 分 2534231 nnn bbbbbbbbT 2115131412131121 nn= 43211121121 nn . 19.解 (1) PD 平面 ABCD PD CD CD AD CD 平面 PAD CD平面 PCD 平面 PCD 平面 PAD 4 分 （ 2） 如图以 D 为原点 ,以,DA DC DP为方向向量建立空间直角坐标系 D xyz. 则有关点及向量的坐标为 : 5 分 G（ 1， 2， 0） ,E（ 0， 1，
13、 1）， F（ 0， 0， 1） EF=（ 0， 1， 0），EG=（ 1， 1， 1） 6 分 设平面 EFG 的法向量为n=（ x， y， z） 00 .000n EF y x zx y z yn EG 取n=(1,0,1) 平面 PCD 的一个法向量 , DA=(1,0,0) 8 分 cos22, 2| | | | 2 2D A nD A n D A n 10 分 结合图知二面角 G EF D 的 大小 为 4512 分 20.解：（ ）设11 51,222nn nabb 1 分 1111111 1 ( 2 ) 12 2 2nnn n n nn n naab b a a = 111 (2
14、 1) 1 12 nn 4 分 所以数列 12n na为首项是 2 公差是 1 的等差数列 .5 分 （ ）由（ ）知， 11 1 ( 1) 1,22n na a n ( 1) 2 1nnan 7 分 1 2 1( 2 2 1 ) (3 2 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) 2 1 nnnS n n 1 2 12 2 3 2 2 ( 1 ) 2nnnS n n n 8 分 设 1 2 12 2 3 2 2 ( 1 ) 2nnnT n n 2 3 12 2 2 3 2 2 ( 1 ) 2 .nnnT n n ，得 1 2 3 1 12 2 ( 2 2 2 ) ( 1 ) 2 2n n nnT
15、n n 11 分 所以 112 ( 2 1 )nnnS n n n 12 分 21. 解：（ 1） 设椭圆方程为22xyab=1（ ab0） ,由焦点坐标可得 c=1 由 |PQ|=3，可得22ba=3， 解得 a=2， b=3，故椭圆方程为43=14 （ 2） 设 M 11( , )xy， N 22( , ),不妨 1y0, 20,设 1FMN 的内切圆的径 R， 则 1FMN 的周长 =4a=8，112FMNS （ MN+ 1M+ 1N） R=4R 因此 1FMS最大， R 就最大， 1 2 1 2 1 21 ()2A M NS F F y y y y ， 由题知，直线 l 的斜率不为零，
16、可设直线 l 的方程为 x=my+1，由221143x myxy 得(3 4)+6my 9=0， 得21 23 6 134mmy m ，22 23 6 1y m ， 则12AMNS AB（ 12yy） =2212 134mm ， 令 t=2 1,则 t1, 则22212 1 12 12 13 4 3 1 3A M NmtSmt t t , 令 f（ t） =3t+1，则 f(t) =32t， 当 t1时， f(t)0,f(t)在 1,+)上单调递增，有 f(t)f(1)=4, AMNS123=3, 即当 t=1,m=0 时， AMNS 3=3, AMNS=4R， max=34，这时所求内切圆面
17、积的最大值为916.故直线 l:x=1， AMN 内切圆面积的最大值为91612 分 22解：2 21 2 ( )122( ) 2 , ( )11 122aa x xaaf x x a xa x aax 1 分 （ ）由已知，得 1( ) 02f 即 2 2122a a ， 2 2 0 , 0 , 2 .a a a a 经检验，2a 满足条件 . 4 分 （ ）当 02a 时， 222 1 2 ( 2 )( 1 ) 0,2 2 2 2a a a a aa a a 2 21,22a a5 分 当 12x 时， 2 2 02ax a.又 2 01 axax ， ( ) 0,fx故 ()fx在 1,
18、)2 上是增函数 6 分 （ ）当 (1,2)a 时 ， 由 （ ） 知 ， ()fx 在 1 ,12上 的 最 大 值 为11(1) ln ( ) 1 ,22f a a 于 是 问 题 等 价 于 ： 对 任 意 的 (1,2)a ， 不 等 式211ln ( ) 1 ( 1 ) 022 a a m a 恒成立 .8 分 记 211( ) l n ( ) 1 ( 1 ) , ( 1 2)22g a a a m a a 则 1( ) 1 2 2 ( 1 2 ) ,11 ag a m a m a maa 9 分 当 0m 时，有 2 (1 2 ) 2 ( 1 ) 1 0ma m m a ，且 0
19、, ( )1 a gaa 在区间（ 1， 2）上递减，且 (1) 0g ，则 0m 不可能使 ( ) 0ga 恒成立，故必有 0.m 11 分 当 0m ，且 21( ) ( 1).12mag a aam 若 1 112m，可知 ()ga 在区间 1(1, m in 2, 1)2D m上递减，在此区间 D 上有( ) (1) 0g a g，与 ( ) 0ga 恒成立矛盾，故 1 112m ，这时 ( ) 0ga ，即 ()ga 在（ 1，2）上递增，恒有 ( ) (1) 0g a g满足题设要求 . 01 112mm ，即 14m ， 13 分 所以实数 m 的取值范围为 1 , )4.14 分
