1、- 1 -均 值 不 等 式 学 习 指 要高三总复习教学案例- 不等式专题（1）高三数学组 刘海江算术平均数与几何平均数之间的不等关系式称为均值不等式，它是不等式中的重要内容，也可以说是不等式中的精华。在证明不等式及利用不等式求最值的问题中有着非常广泛的应用。下面对这一知识点所涉及的内容进行归纳、总结。、 基础知识总结1、 如果 则 （当且仅当 时，取“=” ） 。,Rbaab22ba2、 如果 ， 都是正数，则 （当且仅当 时，取“=” ）均值定理。定义“ ”叫做 、 的算术平均数， 叫做 、 的几何平均数，则上述baab不等式即为“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数” 。3、 由
2、“ （ ， 都大于 0） ”可以看出：若 为定值 s，则 在2b ba时，取得最小值 ；若 为定值 s，则 在 时，取得最大值 。bas2aab42s4、 八种变式： ； ； 2ba2)(2)(ba ；若 b0,则 ；a0,b0,则 ；)(2bba2 41若 a0,b0,则 ；若 ，则 。上述八ab412022)(1ba个不等式中等号成立的条件都是“ ”。、 均值定理的应用特点1、 抓住两边结构抓住两边结构是不等式应用的重要一环，根据结论与条件，要想促使结论与条件的“沟通” ，必须仔细分析结构，如“正数 、 满足 =1，求 的最大ab)2(1ba值” 。第一反应：“积”常规是向“和”或“平方和
3、”转化；再想，要利用 =1，就- 2 -必须去掉根号，因此要向“平方和”转化，那么应用变式也就顺理成章了。再如“正数 、 满足 =1，求 最小值” ，将条件与结论放在一起，可以看ab22)()1(ba出，要想从条件式推出结论式，必须完成从“和”向“平方和”的转化；若从结论入手转化，再利用条件，就必须完成从“平方和”向“和”的转化。显然，不管是由条件推出结论还是由结论转化再利用条件，都离不开变式。2、 必要的技术处理对基本不等式的应用，除了要会从结构入手分析外，必要的“技术处理”还必须掌握，如“配系数” （将“ ”写成“ ”或“ ”） ；“拆项” （将“xx21x21”写成“ ”） 、 “加、减
4、项” （将“ ”写成“132x)(”）等都是常用的“技术处理”方法。)(、 使用均值定理的注意事项1、 应用均值不等式求最值方便、快捷，但必须注意条件“一正、二定、三相等” ，即涉及的变量都是正数，其次是和为定值或积为定值，然后必须注意等号可以成立。2、 在使用均值定理时，要注意它们多次使用再相加相乘的时候，等号成立的条件是否一致。3、 在使用均值定理求最值的时候，如果等号成立的条件不具备，应考虑用函数的单调性来解决。4、记忆一些常用结论： ，cabcba22 ),2,(1， 0 恒成立，)()(2dbdac（ ）ba12R, ，则 1 ， 则 aRmb,bm,3ba2a 的取“=”条件是 的取“=”条件是0，0a的取“=”条件是 ba)(ba的取“=”条件是 0- 3 -、 举例：循序渐进，学会 变型例：求 0 的最小值。 （=2）xy,1变形 1：求 x0 的最小值。 (=2),2变形 2：求 ， x0 的最大值。 （= ）12y 21变形 3：求 的最小值。 （=2）,xxy变形 4：求 的最小值。 （=2）1,22xxy变形 5：求 的最大值。 （= ）1,22xxy 21引申：求函数 的值域， （-1， ）,12xy32007 年 11 月 27 日
