1、洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案1第二十二章 曲面积分 1 第一型曲面积分教学目的 掌握第一型曲面积分的定义和计算公式教学内容 第一型曲面积分的定义和计算公式(1) 基本要求：掌握第一型曲面积分的定义和用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分计算公式(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式教学建议(1) 要求学生必须熟练掌握用显式方程表示的曲面的第一型曲面积分的定义和计算公式(2) 对较好学生要求他们掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第一型曲面积分计算公式教学程序背景：求具有某种非均匀密度物质的曲面块的质量时，利用求均匀密度的平面块的质量的方法，通过“分割、近
2、似、求和、取极限”的步骤来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义一、第一型曲面积分的概念与性质定义 设 S为空间上可求面积的曲面块， zyxf,为定义在 S上的函数对曲面 作分割 T，它把 分成 n个可求面积的小曲面 i（ n,21） ， i的面积记为 i，分割 的细度为 的 直 径iniST1ma，在 i上任取一点 ii,（ni,21） 若有极限 i iiiTf10,l=J，且 J的值与分割 T与点 ii,的取法无关，则称此极限为 zyxf,在 S上的第一型曲面积分，记作 dSzyxfS,. （1）洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案2第一型曲面积
3、分的性质(1)线性性:设 , 存在, , 则 存在,且cfdscgR. dsfc)(.()cffdsg(2)可加性:设 存在, 则 存在,sf,21s12,ssf；反之亦然. 21sss dffd二、第一型曲面积分的计算定理 22.1 设有光滑曲面 S： Dyxz,， zyxf,为定义在S上的连续函数，则 dzyxfS,=Dyxdfyzxf 21,.证 略例 1 计算 Sz，其中 是球面 22azyx被平面 hza0所截的顶部.解 ： 2222 ,Dyxaz ，2221yx，Szd= Ddxya22=rdah022=drah20=0ln22hr= aln.作业 P2821;2;3;4.2 第二
4、型曲面积分洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案3教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系教学建议(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握教学程序曲面的侧 双侧曲面的概念、曲
5、面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义一、第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数 P， Q， R与定义在双侧曲面 S上的函数在 S所指定的一侧作分割 T它把 S分成 n个小曲面 nS,21 （ ni,21） ，分割 T的细度的 直 径ini1max，以 yzi， zxi， xyi分别为 i在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由 的方向来确定如 的法线正向与 z轴正向成锐角时，iS在 y平面上的
6、投影区域的面积 xyiS为正，反之，如 iS的法线正向与 z轴正向成钝角时， i在 xy平面上的投影区域的面积 xyi为负（ n,21） 在每个小曲面 i任取一点 ii,，若极限ni iiiTyzSP10,lm+ni iiiTzxSQ10,lm+ni iiiTxySR10,lm存在且与分割 与点 ii,的取法无关，则称此极限为函数 P， Q， Rd 曲面 S所指定的一侧的第二型曲面积分，记为洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案4S dxyzRdzxyQdzyxP,， (1)上述积分(1)也可写作 Syzx,+Szxy,+Sxyz,.第二型曲面积分的性质(1)若 Siii dxyRzQdyP
7、（ ni,21）都存在， ic（ n,21） ，为常数，则有 dxyRcdzQcdyzcniiniiSnii 111= niSiii xyp1.（2）若曲面 由两两无公共内点的曲面块 21,S n所组成，iSRdxyQzPdy（ ni,21 ）都存在，则dxyzzx,也存在，且 S dxyzRQyxP,=niSi dxyzd1.二 、第二型曲面积分的计算定理 22.2 设 R为定义在光滑曲面 S： xyDyxz,，上的连续函数，以 S的上侧为正侧（这时 的法线正向与 轴正向成锐角 ） ，则有Sdxyz,=xDdzR,. （2）证明 由第二型曲面积分的定义 SdxyzR,=ni iiiTxyS1
8、0,lm=ni iiid xySR10,lm，这里 xyia，因 的 直 径inia，立刻可推得 xyida0，由相关函数的连续性及二重积分的定义有洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案5xyDdxyzR,=ni iii xySR10,lm，所以S,=xyDdxyz,.类似地, P为定义在光滑曲面 S： yzDz,上的连续函数时，而 S的法线方向与 x轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 Sdyz,=xyDdyzzP,.Q 为定义在光滑曲面 ： zx,上的连续函数时，而 S的法线方向与 y轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有 Sdzxy,=ZXDdyQ,.注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果
9、 S的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例 1 计算 Sxyzd，其中 S是球面 122zyx在 0,yx部分并取球面外侧 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S： 2yxz， 0,1,2yxyxDxxy，2： ， ，Sxyd=1Szd+2Sz=xyDxy2xyDdxy21=xyDd212= 20123 15sincorr洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案6例 2 计算积分 ， 为球面 dxyzdxydzx)3()()( 取外侧. 2Rzyx解 对积分 , 分别用 和 记前半球面和后半球面的外yzx)(前后侧, 则有: ;前 ,22zR 22
10、 :RzyDz: .后yxyz因此, = + dyz)(前 后yzDydzR22 22yzDRzydz2cos, in22 2208 rrRyzR r . 3023414Rrr对积分 , 分别用 和 记右半球面和左半球面的外侧, 则有dxzy)(右左: ;右 ,22R 22 :RzxDz: .左 xzyzx因此, +dz)(右 左zx zxDDdzxzRdxR2222洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案7.2 324Rzx Rdzx对积分 , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧, 则有y)3(上下: ;上 ,22xz 22 :RyxDy: .下 yRx因此, = + dxz)3(上 下
11、22223xy xyDDydRyxdy.2 324Ryxx综上, = . dxyzdxydz)()()( 334R作业 P289:1;2.3 高斯公式与斯托克斯公式教学目的：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分教学内容：高斯公式；斯托克斯公式；沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件(1) 基本要求：学会用高斯公式计算第二型曲面积分，用斯托克斯公式计算第二型曲线积分 懂得高斯公式与斯托克斯公式证明的思路，掌握沿空间曲线的第二型积分与路径无关的条件(2) 较高要求：应用高斯公式与斯托克斯公式的某些特殊技巧教学建议：本节的重点是要求学生学会用高斯公式计算第二型曲面积分，
12、用斯托克斯公式计算第二型曲线积分要讲清应用两公式的条件并强调曲面与曲面的边界定向的关系洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案8教学程序一、 高斯公式定理 223 设有空间区域 V由分片光滑的双侧闭曲面 S围成若函数 RQP,在 V上连续，且具有一阶连续偏导数，则 dxyzRyQxPV=ydxzdzxyQdzyxPS,，其中 S取外侧称为高斯公式 .证 只证dxyzV=ydxzRS,.类似可证PV= S,和dxyzQV=Sdzxy,. 这些结果相加便得到了高斯公式先 设是一个 xy型区域，即其边界曲面 S由曲面2S： xyDz,2， 1： xyDyxz,1，及垂直于 xy的边界的柱面 3组成其
13、中 ,2于是按三重积分的计算方法有 dzRV= xyDyxzdR,21=xyD xyz,2=xy dxyzR,2 xyDdR,1=2,S1,Sz=2,SdxyzR1,SdxyR其中 1,都取上侧又由于 3在 平面上投影区域的面积为零，所以03Sdxyz，因此洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案9dxyzRV=2,Sdxyz1,SdxyzR+3,SdxyzR=S,对于不是 xy型区域的情形，则用有限个光滑曲面将它分割成若干个 xy型区域来讨论详细的推导与格林相似空间区域 V的体积公式：dxyzV1=yzdxydS=xS3.例 1 计算S dxyzdzyzxy22,其中 S是边长为 a的正立方
14、体表面并取外侧解 应用高斯公式，所求曲面积分等于 V dxyzyzxzxy22= Vd=aad00=4021ada.二、斯托克斯公式双侧曲面 S的侧与其边界曲线 L的方向的规定：右手法则定理 22.4 设光滑曲面 S的边界 是按块光滑的连续曲线若函数 RQP,在 S（连同 L）上连续，且有一阶连续偏导数，则 dxyPQdzxRPdyzQRS =Ldzy（2）其中 的侧与 L的方向按右手法则确定证明 先证 dxyPzS=L， （3）其中曲面 由方程 z,确定，它的正侧法线方向数为 1,yxz，方向余弦为洛阳师范学院 数学科学学院 数学分析教案10cos,cs，所以xz，yz，若 S在平面上投影区域为 xyD， L在平面上的投影曲线为 现由第二型曲线积分的定义及格林公式有 LdxzyP,=dz,=xyDdxyzP,.因为y,=zP，所以 xyDdxzP,=dxyzyS.由于 cos，从而 dxyzPyS=dxyzPScos= csocszS=dSPyS=xydzS.综合上述结果，便得所要证明的（3）式同样对于曲面 表示为 z,和 xzy,时，可证得dyzQxS=L， （4）xRyS= Lz. （5）将（3） ， （4） ， （5）三式相加即得（2）式如果曲面 不能以 yz,的形式给出，则可用一些光滑曲线把 S分割为若于小块，使
