1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学文一、选择题(共 10小题，每小题 5分，共 50分)1.设集合 M=x|x0，xR，N=x|x 21，xR，则 MN=( )A.0，1B.(0，1)C.(0，1D.0，1)解析：M=x|x0，xR，N=x|x 21，xR=x|-1x1，xR，MN=0，1).答案：D.2.函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是( )A.B.C.2D.4解析：根据复合三角函数的周期公式 得，函数 f(x)=cos(2x+ )的最小正周期是，答案：B.3.已知复数 z=2-i，则 z 的值为( )A.5B.C.3D.解析：由 z=2-i，得 z =(2
2、-i)(2+i)=4-i2=5.答案：A.4.根据如图框图，对大于 2的正数 N，输出的数列的通项公式是( )A.an=2nB.an=2(n-1)C.an=2nD.an=2n-1解析：由程序框图知：a i+1=2ai，a 1=2，数列为公比为 2的等边数列，a n=2n.答案：C.5.将边长为 1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是( )A.4B.3C.2D.解析：边长为 1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：121=2，答案：C.6.从正方形四个顶点及其中心这 5个点中任取 2个点，则这 2个点的距离小于该正方形边长的概率
3、为( )A.B.C.D.解析：设正方形边长为 1，则从正方形四个顶点及其中心这 5个点中任取 2个点，共有 10条线段，4 条长度为 1，4 条长度为 ，两条长度为 ，所求概率为 = .答案：B.7.下列函数中，满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )A.f(x)=x3B.f(x)=3xC.f(x)=xD.f(x)=( )x解析：A.f(x)=x 3，f(y)=y 3，f(x+y)=(x+y) 3，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 A错；B.f(x)=3x，f(y)=3 y，f(x+y)=3 x+y，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，且 f(x)在 R上是单调
4、增函数，故 B正确；C.f(x)= ，f(y)= ，f(x+y)= ，不满足 f(x+y)=f(x)f(y)，故 C错；D.f(x)= ，f(y)= ，f(x+y)= ，满足 f(x+y)=f(x)f(y)，但 f(x)在R上是单调减函数，故 D错.答案：B.8.原命题为“若 a n，nN +，则a n为递减数列” ，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A.真、真、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假解析： a nan+1a n，nN +，a n为递减数列，命题是真命题；其否命题是：若 a n，nN +，则a n不是递减数列，是真命题；又命题与其逆否命题同
5、真同假，命题的否命题与逆命题是互为逆否命题，命题的逆命题，逆否命题都是真命题.答案：A.9.某公司 10位员工的月工资(单位：元)为 x1，x 2，x 10，其均值和方差分别为 和 s2，若从下月起每位员工的月工资增加 100元，则这 10位员工下月工资的均值和方差分别为( )A. ，s 2+1002B. +100，s 2+1002C. ，s 2D. +100，s 2解析：由题意知 yi=xi+100，则 = (x1+x2+x10+10010)= (x1+x2+x10)= +100，方差 s2= (x1+100-( +100)2+(x2+100-( +100)2+(x10+100-( +100
6、)2= (x1- )2+(x2- )2+(x10- )2=s2，答案：D.10.如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)，已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A.y= x3- x2-xB.y= x3+ x2-3xC.y= x3-xD.y= x3+ x2-2x解析：由函数图象知，此三次函数在(0，0)上处与直线 y=-x相切，在(2，0)点处与 y=3x-6相切，下研究四个选项中函数在两点处的切线.A选项， ，将 0，2 代入，解得此时切线的斜率分别是-1，3，符合题意，故 A对；B选项， ，将 0代入，此时导数为-3，不为-1，故 B错；C
7、选项， ，将 2代入，此时导数为-1，与点(2，0)处切线斜率为 3矛盾，故C错；D选项， ，将 0氏入，此时导数为-2，与点(0，0)处切线斜率为-1 矛盾，故 D错.答案：A二、填空题(共 4小题，每小题 5分，共 25分)11.抛物线 y2=4x的准线方程是 .解析：2p=4，p=2，开口向右，准线方程是 x=-1.答案：x=-1.12.已知 4a=2，lgx=a，则 x= .解析：由 4a=2，得 ，再由 lgx=a= ，得 x= .故答案为： .13.设 0 ，向量 =(sin2，cos)， =(1，-cos)，若 =0，则 tan= .解析： =sin2-cos 2=2sincos
8、-cos 2=0，0 ，2sin-cos=0，tan= .答案： .14.已知 f(x)= ，x0，若 f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(fn(x)，nN +，则 f2014(x)的表达式为 .解析：由题意 .，故 f2014(x)=答案：选考题(请在 15-17三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分)不等式选做题15.设 a，b，m，nR，且 a2+b2=5，ma+nb=5，则 的最小值为 .解析：由柯西不等式得，(ma+nb) 2(m 2+n2)(a2+b2)，a 2+b2=5，ma+nb=5，(m 2+n2)5， 的最小值为 .答案：几何证明选做题16.如图，ABC
9、 中，BC=6，以 BC为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，若 AC=2AE，则EF= .解析：由题意，以 BC为直径的半圆分别交 AB、AC 于点 E、F，AEF=C，EAF=CAB，AEFACB， ，BC=6，AC=2AE，EF=3.答案：3.坐标系与参数方程选做题17.在极坐标系中，点(2， )到直线 sin(- )=1的距离是 .解析：根据极坐标和直角坐标的互化公式 x=cos，y=sin，可得点(2， )即( ，1)；直线 sin(- )=1即 x- y=1，即 x- y-2=0，故点( ，1)到直线 x- y-2=0的距离为 =1，答案：1.三、解答题(共 6小题，共 7
10、5分)18.(12分)ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c.()若 a，b，c 成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin(A+C)；()若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，求 cosB的值.解析：()由 a，b，c 成等差数列，利用等差数列的性质得到 a+c=2b，再利用正弦定理及诱导公式变形即可得证；()由 a，b，c 成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，将 c=2a代入表示出 b，利用余弦定理表示出 cosB，将三边长代入即可求出 cosB的值.答案：()a，b，c 成等差数列，a+c=2b，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，sinB=sin
11、-(A+C)=sin(A+C)，则 sinA+sinC=2sin(A+C)；()a，b，c 成等比数列，b 2=ac，将 c=2a代入得：b 2=2a2，即 b= a，由余弦定理得：cosB= = = .19.(12分)四面体 ABCD及其三视图如图所示，平行于棱 AD，BC 的平面分别交四面体的棱AB、BD、DC、CA 于点 E、F、G、H.()求四面体 ABCD的体积；()证明：四边形 EFGH是矩形.解析：()证明 AD平面 BDC，即可求四面体 ABCD的体积；()证明四边形 EFGH是平行四边形，EFHG，即可证明四边形 EFGH是矩形.答案：()由题意，BDDC，BDAD，ADDC
12、，BD=DC=2，AD=1，AD平面 BDC，四面体 ABCD的体积 V= = ；()BC平面 EFGH，平面 EFGH平面 BDC=FG，平面 EFGH平面 ABC=EH，BCFG，BCEH，FGFH.同理 EFAD，HGAD，EFHG，四边形 EFGH是平行四边形，AD平面 BDC，ADBC，EFHG，四边形 EFGH是矩形.20.(12分)在直角坐标系 xOy中，已知点 A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点 P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上，且 =m +n (m，nR)()若 m=n= ，求| |；()用 x，y 表示 m-n，并求 m-n的最大值.解析：()由点的
13、坐标求出向量 和 的坐标，结合 m=n= ，再由 =m +n 求得的坐标，然后由模的公式求模；()由 =m +n 得到 ，作差后得到 m-n=y-x，令 y-x=t，然后利用线性规划知识求得 m-n的最大值.答案：()A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)， ，又 m=n= ， . ；() ， ，两式相减得，m-n=y-x.令 y-x=t，由图可知，当直线 y=x+t过点 B(2，3)时，t 取得最大值 1，故 m-n的最大值为 1.21.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：()若每辆车的投保金额均为 2800元，估计赔付金额大于
14、投保金额的概率；()在样本车辆中，车主是新司机的占 10%，在赔付金额为 4000元的样本车辆中，车主是新司机的占 20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为 4000元的概率.解析：()设 A表示事件“赔付金额为 3000元， ”B表示事件“赔付金额为 4000元” ，以频率估计概率，求得 P(A)，P(B)，再根据投保额为 2800元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000元和 4000元，问题得以解决.()设 C表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000元” ，分别求出样本车辆中车主为新司机人数和赔付金额为 4000元的车辆中车主为新司机人数，再求出其频率，最后利用频率表示概率.答案：(
15、)设 A表示事件“赔付金额为 3000元， ”B表示事件“赔付金额为 4000元” ，以频率估计概率得 P(A)= ，P(B)= ，由于投保额为 2800元，赔付金额大于投保金额得情形是 3000元和 4000元，所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.()设 C表示事件“投保车辆中新司机获赔 4000元” ，由已知，样本车辆中车主为新司机的有 0.11000=100，而赔付金额为 4000元的车辆中车主为新司机的有 0.2120=24，所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为 4000元的频率为 ，由频率估计概率得 P(C)=0.24.22.(13分)已知椭圆 + =1(a
16、b0)经过点(0， )，离心率为 ，左右焦点分别为F1(-c，0)，F 2(c，0).()求椭圆的方程；()若直线 l：y=- x+m与椭圆交于 A、B 两点，与以 F1F2为直径的圆交于 C、D 两点，且满足 = ，求直线 l的方程.解析：()由题意可得 ，解出即可.()由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1.利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线 l的距离 d及 d1，可得 m的取值范围.利用弦长公式可得|CD|=2 .设A(x1，y 1)，B(x 2，y 2).把直线 l的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，进而得到弦长|AB|= .由 = ，即可解得 m.答案：(
17、)由题意可得 ，解得 ，c=1，a=2.椭圆的方程为 .()由题意可得以 F1F2为直径的圆的方程为 x2+y2=1.圆心到直线 l的距离 d= ，由 d1，可得 .(*)|CD|=2 = = .设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2).联立 ，化为 x2-mx+m2-3=0，可得 x1+x2=m， .|AB|= = .由 = ，得 ，解得 满足(*).因此直线 l的方程为 .23.(14分)设函数 f(x)=lnx+ ，mR.()当 m=e(e为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；()讨论函数 g(x)=f(x)- 零点的个数；()若对任意 ba0， 1 恒成立，求 m的取值范围.
18、解析：()m=e 时，f(x)=lnx+ ，利用 f(x)判定 f(x)的增减性并求出 f(x)的极小值；()由函数 g(x)=f(x)- ，令 g(x)=0，求出 m；设 (x)=m，求出 (x)的值域，讨论m的取值，对应 g(x)的零点情况；()由 ba0， 1 恒成立，等价于 f(b)-bf(a)-a 恒成立；即 h(x)=f(x)-x在(0，+)上单调递减；h(x)0，求出 m的取值范围.答案：()当 m=e时，f(x)=lnx+ ，f(x)= ；当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上是减函数；当 x(e，+)时，f(x)0，f(x)在(e，+)上是增函数；x=e 时，f(x)取得极小值 f(e)=lne+ =2；()函数 g(x)=f(x)- = - - (x0)，令 g(x)=0，得 m=- x3+x(x0)；设 (x)=- x3+x(x0)，(x)=-x 2+1=-(x-1)(x+1)；当 x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上是增函数，当 x(1，+)时，(x)0，(x)在(1，+)上是减函数；x=1 是 (x)的极值点，且是极大值点，x=1 是 (x)的最大值点，(x)的最大值为 (1)= ；又 (0)=0，结合 y=(x)的图象，如图
