1、9.3 等比数列第 1 课时 等比数列的概念与通项公式学习目标 重点难点1知道等比数列的概念；2知道等比中项的概念；3记住等比数列的通项公式，能够用等比数列的通项公式解决计算问题；4会判断和证明一个数列是不是等比数列.重点：等比数列的概念以及通项公式的应用；难点：等比数列的证明；疑点：等比数列与等差数列的区别与联系.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个_，这样的数列叫作_，这个常数叫作等比数列的_，公比通常用 q 表示预习交流 1等比数列中的项能否为零？公比 q 能否为零？预习交流 2常数列一定是等比数列吗？一定是等差数列吗？2等比中项如果 a
2、，c 同号，且 b ，那么，b 是 ac 的等比中项ac预习交流 3等比中项与等差中项有哪些不同之处？预习交流 4怎样判断或证明一个数列是不是等比数列？3等比数列的通项公式等比数列的通项公式是_预习交流 5根据等比数列的通项公式，你能否得出等比数列中任意两项之间的关系？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点 我的学疑点答案：1常数 等比数列 公比预习交流 1：提示：由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比 q 也不为 0，但可为正数，也可为负数预习交流 2：提示：常数列不一定是等比数列，只有各项不为零的常数列才是等比数列，且公比为
3、1，但所有的常数列都是等差数列，且公差为 0.预习交流 3：提示：任何两个数都有等差中项，但只有同号的两个数才有等比中项；两个数的等差中项有且只有一个，但两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数预习交流 4：提示：主要有两种方法：定义法：若 q(q 是常数，an 1annN *)，则 an是等比数列；等比中项法：若a a nan2 0( n N*)，则a n是等比数列2n 13a na 1qn1预习交流 5：提示：在等比数列a n中，由 ana 1qn1 ，a ma 1qm1 两式相除得 q nm ，即 ana mqnm ，该式是通项公式的变形，反映了数列anam中任意两个项之间的关系，其
4、中 m 可以大于 n，也可以小于 n，还可以等于 n.一、等比数列的判断与证明已知数列a n的前 n 项和 Sn ，求数列a n的通项公式，5n 12并判断 an是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由思路分析：利用 an与 Sn的关系公式由 Sn求出 an，然后根据等比数列的定义判断a n是否为等比数列给出以下命题：1,2,4,8,16 是等比数列；数列 1，121418是公比为 2 的等比数列；若 ，则 a，b，c 成等比数列；若ab bcn(n N *)，则数列 an成等比数列其中正确命题的个数是( an 1an)A0 B1C 2 D3数列a n满足 a11，a n an1 1(
5、n2)12(1)若 bna n2，求证：b n为等比数列；(2)求a n的通项公式思路分析：先对给出的等式 an an1 1 进行转化变形，与12bna n2 相结合，得出 bn与 bn1 的关系，从而判断数列b n是否为等比数列；由b n为等比数列先求出 bn，再根据 bna n2 求出 an.已知数列a n满足 Sn4a n1(nN *)，求证：数列a n是等比数列，并求出其通项公式1判断或证明一个数列是等比数列的方法主要有：(1)定义法：若当 n2，nN *，有 q(q0，q 为常数)或anan 1当 n1，nN *，有 q(q0，q 为常数)，则数列a n为等比an 1an数列；(2)
6、等比中项法：若 a a nan2 (nN *)，则数列 an为等比2n 1数列；(3)通项特征法：通项 anf(n) cq n，其函数特征为常数与指数函数的乘积2等比数列与等差数列相比，有相同的地方，但也有很多不同的方面，例如：在等比数列中，要求它的每一项都不能为零，因此公比也不能等于零，在一些判断问题中，要从这个特殊性入手进行判断二、等比数列通项公式及其应用(1)已知等比数列a n中，a 23，a 5 ，则数列a n的通项公式38是_(2)已知一等比数列的前三项依次为 x,2x2,3x3，那么13是此数列的第( )项12A2 B4 C6 D8思路分析：(1)设出首项和公比 a1，q，建立 a
7、1，q 的方程组，求得 a1，q 的值即可得到数列的通项公式；(2)根据数列的前 3 项成等比数列，求得 x 的值，从而可得到数列的通项公式，然后根据通项公式判断13 是数列的哪一项121已知数列a n为等比数列，且 a32，a 2a 4 ，则a n的203通项公式是_2等比数列a n中，若 a5a 42a 3，则其公比等于_1等比数列的基本量是 a1和 q，很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题，解决这类问题时，最核心的思想方法是解方程(组) 的方法，即依据题目条件，根据等比数列的通项公式，建立关于 a1和 q 的方程(组)，然后解方程(组) ，求得 a1和q 的值，再解决其他问题2
8、在等比数列的基本量运算问题中，建立方程(组) 进行求解时，要注意运算的技巧性，特别注意整体思想在其中的应用三、等比中项及其应用已知等比数列a n中，a 2a3a464，a 3a 636，求 a1 和 a5 的等比中项思路分析：可以由已知条件求出 a1和 a5的值，也可以直接求出a1a5的值，然后根据等比中项的定义求出 a1和 a5的等比中项，但要注意的是 a1和 a5的等比中项不是 a3，而是 a3.在等差数列a n中，a 19，d1，若 ak是 a1 和 a2k的等比中项，则 k( ) A2 B4 C6 D81任意两个实数都有等差中项，且等差中项是唯一的，但与等差中项不同，只有同号的两个数才
9、能有等比中项；两个数的等比中项有两个，它们互为相反数2本题中要避免出现“a 1和 a5的等比中项是 a3”的错误，a 3一定是 a1和 a5的等比中项，但 a1和 a5的等比中项应该是a 3.1数列 a，a，a，a，(aR)是( )A等差数列但不是等比数列B等比数列但不是等差数列C等差数列又是等比数列D以上说法均不对22 和 2 的等比中项是( )3 3A1 B1C 1 D23在等比数列a n中，a 2 0128a 2 009，则公比 q 等于( ) A2 B2C 2 D124在等比数列a n中，a n0 且 a21a 1，a 49a 3，则a4a 5 的值为( ) A16 B27 C36 D
10、815若等比数列a n的各项均为正数，且前三项依次为1，a1,2a5.(1)求该数列的通项公式；(2)判断 728 是否是该数列中的项？提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华 技能要领答案：活动与探究 1：解：当 n1 时，a 1S 1 2，51 12当 n2 时，a nS nS n1 25 n1 ，且5n 12 5n 1 12a12 也适合上式，所以 an25 n1 (nN *)由于当 n2 时， 5，所以数列a n是等比数anan 1 25n 125n 2列迁移与应用：C 解析：命题正确，数列 1，是公比为 的等比121418 12
11、数列，故错误；若 n，则数列a n不成等比数列，故错an 1an误活动与探究 2：解：(1)由 an an1 1 可得 an2 (an1 2) ，12 12而 bna n2，所以 bn1 a n1 2.因此 bn bn1 ，故数列b n是公比为 的等比数列12 12(2)由(1)知， b1a 12 1，所以 bn1 n1 ，即(12)an2 n1 ，于是 an2 n1 ，此即为a n的通项公式(12) (12)迁移与应用：解：依题意得当 n2 时，S n1 4a n1 1，所以anS nS n1 (4a n1)(4 an1 1)，即 3an4a n1 ，所以 ，故数列a n是公比为 的等比数a
12、nan 1 43 43列又因为 S14a 11，即 a14a 11，所以 a1 ，故数列a n的13通项公式是 an n1 .13(43)活动与探究 3：(1)a n6 n1 (2)B(12)解析：(1) 设公比为 q，则有Error!于是 q3 ，解得18q ，a 16，所以数列a n的通项公式是 an6 n1 .12 (12)(2)因为前三项依次为 x,2x2,3x3，所以 x(3x3)(2x2) 2，解得 x 1 或 x4 ，而 x1x4 ，故 q ，于是 13 4 n1 ，解得 n4.3x 32x 2 32 12 (32)迁移与应用：1a n 3n1 或 an18 n1 解析：设a n
13、的公比为 q，依题29 (13)意有Error! 解得 Error!或Error! 于是数列 an的通项公式是 an 3n1 或29an18 n1 .(13)22 或1 解析：设公比为 q，则有 a3q2a 3q2a 3，所以q2q20，解得 q2 或1.活动与探究 4：解：因为a n是等比数列，所以 a3是 a2和 a4的等比中项，即 a a 2a4，23于是有 a 64，解得 a34，从而 a632.3若设a n的公比为 q，则有Error!解得Error!所以 a5a 1q416.设 a1和 a5的等比中项是 G，则 G2a 1a516，于是 G4 ，故 a1和 a5的等比中项是4.迁移
14、与应用：B 解析：依题意得 a a 1a2k，即9(k1) 299(2 k1)，2k整理得 k2 2k80，解得 k4(k2 舍去) 当堂检测1D 解析：当 a0 时该数列既是等差数列又是等比数列，当 a0 时，该数列是等差数列但不是等比数列2C 解析：2 和 2 的等比中项是3 3 1.(2 r(3)(2 r(3)3B 解析：由 a2 0128a 2 009得 a1q2 0118a 1q2 008，所以q38，故 q2.4B 解析：由 a21a 1，a 49a 3得a1a 21，a 4a 39，设公比为 q，则 q2 9，又因为a3 a4a1 a2an0，所以 q3，于是 a4a 5(a 1a 2)q327.5解：(1)依题意可得( a1) 22a5，解得 a2(a2 舍去)于是公比 q 3，故通项公式为 an3 n1 .a 11(2)令 3n1 728，解得 nlog 37281，但 log37281N *，所以728 不是该数列中的项高考资源网w。w-w*k&s%5￥u高考资源网w。w-w*k&s%5￥u
