1、分形几何fractal,分形几何造型的基本概念,1904年Koch研究了“雪花”图形，欧氏几何无法解释。1960年代Mandelbrot重新研究了这问题，并将此“雪花”与自然界中的海岸线、山、树联系起来，提出了“Fractal”这个词。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。,分形几何造型的基本概念,Mandelbrot 1967年的论文：“英国海岸线的长度不确定”海岸线的长度随测量尺度变化而变化对自然几何形态的数学研究（1）具有无限嵌套层次的精细结构（2）在不同尺度下具有某种相似特性,分形几何造型的基本概念,分数维（Fractal Dimension） D
2、= 其中：N为每一步细分的数目，S为细分时的缩放倍数Koch雪花线的维数是 D = log 4/ log 3 = 1.2619,log N,log(1/S),分形几何造型的基本概念,分行图形处处不规则（混沌chaos）在不同尺度上，图形的规则性又是一致的。（自相似 self-similar）,分形的应用领域,物理学如湍流的研究气象学如云系的形状地貌学如山川、地形、地貌的形态图象处理如图象压缩美术如分形艺术,典型的分形曲线集,1. Von Koch曲线 D = log 4 / log 3 = 1.2618,典型的分形曲线集,2. Sierpinski三角形 D = log 3 / log 2 =
3、 1.5849,典型的分形曲线集,3. Mandelbrot 分形集 G(Z) = Z2 + C 其中 Z 和 C都是复数迭代公式：xn+1 = xn2-yn2 + Cxyn+1 = 2*xn*yn + Cy,http:/www.fractal_,典型的分形曲线集,分形技术的常用模型,随机插值模型 本模型不是事先决定各种图素和尺度，而是用一个随机过程的采样路径作为构造模型的手段 。粒子系统模型 本模型是用大量的粒子图元（particle)来描述景物。正规文法模型（Graftal) 本模型是用正规文法生成结构性强的物体的拓扑结构，在通过进一步几何解释来形成逼真的画面。迭代函数系统模型 本模型以迭
4、代函数系统理论作为数学基础。,随机插值模型,Xnew=1/2(Xi+Xi+1) Ynew=1/2(Yi+Yi+1)+P(Xi+1-Xi)R(Xnew),随机插值模型,一维中点变换算法: 以一条水平地平线段开始 重复足够多次对场景中的每条线段做找到线段的中点在 Y 方向上随机移动中点一段距离减小随机数取值范围,随机插值模型,每次循环减少的越多，所得山脊线就越平滑。但如果减得太多，则会有明显的锯齿感。,随机插值模型,随机值范围设为 -1.0 到 1.0 （可任意取） 随机值范围减为 -0.5 到 0.5 （可任意取） 随机值范围再减为 -0.25 到 0.25 （可任意取）,随机插值模型,粗糙度常
5、量 这个值决定每次循环随机数值域的减少量，也就是说，决定分形结果的粗糙程度。 使用一个 0.0 到 1.0 之间的浮点数并称之为 H 。随机数范围在每次循环时乘上2(-h)。,粒子系统模型,该模型是由粒子刻划的，粒子可以随时间推移发生位置和形态的变化。每个粒子的位置、取向及动力学性质都有一组预先定义的随机过程来说明。每个粒子运动时，其路径被绘制且以特殊颜色显示。,粒子系统模型,生成粒子系统瞬间画面的基本步骤： （1）将产生的新粒子加入系统中； （2） 赋予每一粒子以一定的属性； （3） 删除那些已经超过其生命周期的粒子； （4）根据粒子的动态属性对粒子进行移动和变换； （5）显示由有生命的粒子
6、组成的图形。,粒子系统模型,与粒子有关的每一参数均受到一个随机过程的控制确定粒子参数的基本表达式：par=mp+rand( )*varpar par :粒子系统中的任一需要确定的参数 rand():均匀随机函数 mp:参数的均值 varpar：方差,粒子系统模型,模拟火焰： 火焰可以用在一个球域内的随机生成微粒来显示，其允许它们向外快速移动。微粒路径可以用红色到黄色来着色，可以模拟爆炸粒子的温度。,粒子系统模型,粒子系统模型,模拟草丛： 草丛的真实感显示可以用“轨道”微粒来模拟，这些微粒从地面上射出，并在重力的作用下回落到地面。微粒路径可用一卷柱体模拟，并可以使用从绿到黄的颜色。,粒子系统模型
7、,模拟瀑布： 水粒从一个高度落下，被一障碍物偏移，然后散开到地面。不同的颜色用来区分每步的微粒路径。,粒子系统模型,模拟物体分解： 左边物体分解成右边物体的微粒状况。,正规文法模型,该模型的工具是并行重写系统。 它与形式语言理论中的一般重写系统有两点主要区别：一是该系统中产生式的匹配对一个输入字符串的所有字符是同时进行的；二是该系统没有终结符和非终结符之分。 它可分为两大类：一类是象von Koch曲线这样“比较规则”的曲线 ；另一类是象植物枝一样的比较复杂的树状分形。,正规文法模型,产生规则： AAA BABAA(B) A：树枝 B：树叶 ：左分枝 ( )：右分枝,正规文法模型,产生规则：
8、A:沿逆时针方向角度 ; B:沿顺时针方向转角度; C:当前状态栈记录当前点的坐标,及角度) D:出(取最近的一次 压入骱的信息 , 同时修改指针); 从当前点开始沿当前方向 画一线段E,G,H,I,J这些字符 在下次迭代中将分别被E $.G $.H $,I$,及J$所替代.其中 E$=EI G$=BHCAGDI H$=AGCBHDI I$=CAFFFDCBFFFDF J$=CBBBGDCAAAGDEJ,正规文法模型,正规文法模型,4种不同种类树木的分形图形,正规文法模型,von Koch曲线曲线的构造是： 迭代初始把单位线段去掉中间的三分之一，代之以底边在被除去线段上的等边三角形的另外两边，重复进行迭代。 这些曲线的生成元是“_/_”，曲线由把每一折线段反复迭代成缩小比例为1/3的生成元而成。相似维数： DS=logN/log(1/S)=ln4/ln3=1.2618,正规文法模型,产生规则： A：沿逆时针方向转一角度； B：沿顺时针方向转一角度； C：从当前点开始沿当前方向画一长度L的线段 “CACBBCAC”中的C这一“操作”用复合“操作”C$=“CACBBCAC”来替代： C$+“A”+C$+“BB”+C$+“A”+C$,正规文法模型,正规文法模型,
