1、1基于 ARIMA 模型与 GARCH 模型对美国零售与食品服务数据的分析摘要：美国经济是世界经济增长引擎中最重要的一极，而消费在美国经济中占据了最大的比重，甚至可以说，美国的需求直接影响到其他国家乃至全球经济的发展。在反应美国消费的诸多数据中，零售与食品销售数据一直受到广泛关注，是反应美国经济信心的重要指标。本文希望通过时间序列的分析，反映过去的美国零售数据的增长路径，并对未来进行预测。 关键词：美国 零售与食品 GRACH 一、模型建立 由于作者能力有限，本文只尽可能好地拟合并预测出零售和食品销售数据的走势，并不从模型上更深入的探讨外汇变动的理论因果，故单变量时间序列模型可以很好的解决问题
2、。 线性差分方程为主要的解决方法，Box-jenkins（1976）提供了经典的回归思路： （3.1） 该模型假定时间序列平稳，若不平稳，则将序列差分，变为 ARIMA形式进行回归，差分后形式与（3.1）一致。即： （3.2） 从模型形式可知，当期变量由自身过去解释，权重为其系数，绝大2部分实证数据表明，近期权重较大，滞后期数越长解释力越弱。变量自身不能解释的所有因素，归结为。同样，亦能自我解释，且通常滞后阶数越少，解释力越强。如果该模型已经包含了影响当期变量的所有因素，则根据随机游走假说，由（3.1） （3.2）模型回归后的残差为白噪声。因此，检验是否为白噪声是检验模型拟合优劣的主要手段。
3、当显著地不为白噪声（通常表现为项出现异方差） ，即仅以自回归的方式不能很好的解释其他因素时，引入 ARCH 族模型则可以很好的解决问题。 Engle（1982）在研究英国通货膨胀时首先使用了 ARCH 模型，该模型认为，若为回归后的残差项，则应满足下式所示的形式： （3.3） 其中为白噪声过程，满足，与相互独立，该模型能很好的解释变量在某时点出现较大的变动，解决了回归模型出现异方差的问题。随后Bollerslev（1986）在对美国的通货膨胀研究中扩展了该模型，变形为广义自回归条件异方差（GARCH）模型，模型假设误差过程为： （3.4） （3.5） 其中为白噪声过程，满足，与相互独立，的条件
4、和无条件均值都等于零。 （3.5） （3.6）所示的 GARCH 模型能很好的捕捉时间序列变化的持续性性质。对于频度较高，波动较频繁的数据能很好的拟合，如股票价格，汇率等。 二、数据描述 3（一）样本信息 本文采用的数据包含自 1991 年 1 月至 2010 年 11 月所有的月度零售数据，在此期间美国没有出现比较严重的通货膨胀。数据来源于美联储网站，http：/research.stlouisfed.org/fred2/ （二）数据加工 通过绘制美国零售与食品销售数据的图像，发现指数存在平稳的的递增趋势，因此首先对数据进行了对数处理，并进行 DF 检验。若 DF 检验值在置信区间内，则必须
5、接受存在单位根的零假设，也就是说必须对方程进行一次差分。 零售与食品销售数据，取对数后的数据以及差分后的数据如下图所示： 图 1.美国零售与食品销售数据对数的一阶差分 在对月数据的对数进行了 DF 测试后，其值为-3.26979，不能拒绝单位根的零假设。而进行了一阶差分后，DF 表明已不存在单位根。 三、AR（I）MA 模型 （一）模型的识别 对于 AR（I）MA 的识别，主要借助于自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF） 图 2. 零售与食品销售数据一阶差分的 ACF 与 PACF （二）AP（I）MA 模型的回归 从图 2 中看出，ACF 函数前四阶比较显著异于 0，另外表现出比较明
6、显的季节性。故主要尝试 AR（4） ，MA 过程则尝试 MA（1） ，MA（2） ，4MA（1，12） ，MA（2，12） 。我们将借助于 BOX-JENKINS 检验方法对模型进行筛选，选取出最优的模型。 对结果做如下分析： 1、ARIMA（4，1，1）与 ARIMA（4，1，2）相比，引入 MA（2）阶并没有使得残差平方和有效减少，且 1 项系数并不显著异于0。ARIMA（4，1，1）与 ARIMA（4，1，2）的 Q 值均表明模型的残差没有自相关性，AIC 与 SBC 指标相近。因此 ARIMA（4，1，1）要优于ARIMA（4，1，2） 。 2、ARIMA（4，1，1.12）与 ARI
7、MA（4，1，2.12）相比，在引入MA（2）项后，残差并没有明显的降低，不能假定对数据的解释能力更强。虽然 ARIMA（4，1，2.12）比 ARIMA（4，1，1.12）的 Q 值要大，但ARIMA（4，1，2.12）的 2 的显著性水平为 0.6144，故不能拒绝为 0 的假设，且 AIC 和 SBC 的检验来看，后者稍微更佳，因此选择ARIMA（4，1，1.12） 3、最后比较 ARIMA（4，1）与 ARIMA（4，1，1.12） ，前者的 Q 值更佳，而后者的项数更为显著，且 AIC 与 SBC 更小，另外 SSR 项后者也更小，相比较下，最终选择 ARIMA（4，1，1.12）
8、。 图 3. ARIMA（4，1，1.12）模型残差 从图 5.2 亦看出，ARIMA（4，1，1.12）模型的残差基本围绕 0 随机波动，较好的拟合了数据，为四个模型中比较好的一个。 （三）GARCH 模型 1、模型的识别 5由于 GARCH 模型的实质即 AR（I）MA 模型拟合后残差呈现自相关特征，因而 GARCH 模型阶数可以用残差平方项的自回归确定，也可同样借助于自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF） 。 用 ARIMA（4，1，1.12）拟合后的残差自回归，滞后 4 阶，从系数显著性来看，滞后残差有较显著的解释能力，可能存在 GARCH 过程。再计算残差的 ACF 和 PA
9、CF 值进一步判断。 图 5. ARIMA（4，1，1.12）拟合后残差的 ACF 与 PACF 2、GARCH 模型的回归 PACF 与 ACF 均在 1 到 2 阶快速变小，因此考虑 GARCH（0，1） ，GARCH（0，2） ，GARCH（1，1） ，GARCH（1，2） ，GARCH（2，1） ，GARCH（2，2）几种组合。发现： （1）GARCH（0，2）与 GARCH（1，1）得到的统计量皆显著，且 AIC和 SBC 项值相同，但 GARCH（0，2） （2）选取 GARCH（0，2）作为最终模型 3、GARCH 模型的检验 分别用 GARCH（0，2）和 GARCH（1，1）
10、模型拟合后，得到新的残差平方序列。同样用该序列自回归，滞后 4 阶。显著性水平显著不为 0，表明用 GARCH（0，2）拟合后的残差相关性明显的下降，残差所含的信息量更少，绝大部分信息被 GARCH（0，2）模型解释。与ARIMA（4，1，1.12）模型相比，GARCH（0，2）能更好的拟合出数据。 用 GARCH（0，2）检验模型的预测能力，同样保留 2009 年 1 月至2010 年 10 月的数据，对该部分预测，观察其拟合情况。采用单步预测的6方法，结果如下： 图 6 GARCH 模型预测与真实数据 四、结论 在对 1991.1 至 2010.11 的美国零售与食品销售预测后发现，ARIMA（4，1，1.12）模型确实能够粗略的对该时间段的数据进行拟合，而 GARCH 模型表现得更好些。在此时间段之后的中短期内，GARCH（0，2）模型对美国零售与食品销售的波动预测有一定参考意义。在图 6 的预测图中，模型比真实数据更早的出现了下降，这也证实了模型在一段时间内的预测能力。
