1、 临沂 大学大学生数学建模竞赛 （样本） 承 诺 书 我们仔细阅读了 临沂大学 大学生数学建模竞赛的竞赛规则 . 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的 , 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们 将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是： 所属学院（请填写完整的全名）： 参赛队员
2、1. 联系方式 2. 联系方式 3. 联系方式 指导教师 或 指导教师组负责人 日期： 年 月 日 A 题：中国人口增长预测 摘要 ： 为了解决人口增 长预测问题，我们从熟悉的 人口的指数增长模型（马尔萨斯模型），人口的阻滞增长模型出发，结合人口的预测和控制模型（偏微分方程）和人口增长的差分模型，宋健 -于景元人口发展方程 )()()()()()()1( tgtytBttytHty 和 城乡人口动态预测模型建立起综合模型。 人口的指数增长模型方程 rtextx 0)( 和人口的阻滞增长模型方程rtm m exxxtX )1(1)(0 均为单调曲线，不能做长期预测，考虑我国的一些基本国情：除了人
3、口 基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化、老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素有关 ，因此我们需要建立新模型，而 宋健 -于景元人口发展方程在建模过程中考虑了绝大多数因素，但在迁入迁出频繁时不能忽略 g(t)， 需要建立 城乡人口动态预测模型来处理 g(t)。但在引入的 城乡人口动态预测模型中，由于市，镇，乡三个不同的地区各自作为一个小整体对应不同的 )(tyi ，我们可以先求出各自的 )(tyi ，再将三 个地区的 )(tyi 合为一个三维向量 )(tyi ，这样可以把 城乡人口动态预测模型中的 市、镇、乡三个地区与 g(t)一一对应起
4、来，使方程得到统一，并能分别求出 市镇乡的总人数，再相加可以得到全国人口，从而检验预测中国人口。 为了得到这个模型的解，我们一一分析涉及到的元素，以 2001 年城市人口为 例：分析各个元素是如何求解的，先用 Excel 求解了死亡率 )(ti ，婴儿死亡率 )( )()()( 000 t tytt 总和生育率 )(t ；接着用离散化法，近似利用生育模式 h(a,t)；虽然我们没有每一年的具体人数，但通过查询可初步定 2001 年为初始人口数 129533万， 由文中所给 每年人口抽样调查的样本容量（人数）数据， 计算出百分比，再乘以总人口数可以得到相应实际人数；再利用男性 、女性比率 得到初
5、始数据人口状态向量 Tm tytyty )(),. .()( 1 ，在人口 发展方程 )()()()1( 2 11 tytbtty ia ai i 中的 )()()(1)(1()(000 thtktttb iii 中， )(tki 是已知的， )(00t ， )(0t 和 )(thi ， )(t 在 以上几个过程中已解出，从而 完成 勒斯里矩阵 )(tL ，通过程序求出下一年的 人口状态向量，不论其他年份还是乡村 城镇都可利用这个过程求出人口状态向量，从而求和得到下年全国总人口，在 )(tL 看作常数矩阵时，利用方程可以预测将来人口。 关键词 ：指数增长模型 人口的阻滞增长模型 人口的预测和控
6、制模型 人口增长的差分模型 城乡人口动态预测模型 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人 口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。 2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告 (附录 1) 还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录 2中的相
7、关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。 附录 1 国家人口发展战略 研究报告 附录 2 人口数据（中国人口统计年鉴中的部分数据）及其说明 二、符号说明 1） r 称固有增长率，表示人口很少时（理论上是 0x ）的增长率； 2） 0X 表示初始时刻 )0( t 的人口； 3） mx 称人口容量，是最大人口数量； 4） X(a,t)为 t 时刻该地区一切小于 a 的人口总数，即是人口函数。其中 a 表示年龄， t 表示时间，假设都是连续变化的； 5） ma 表示人寿命的极限； 6
8、） P(a,t)为人口年龄分布密度； 7） M(a, a ,t)表示 t 时刻到 t+ t 时刻年龄在 a,a+ a区间的死亡人数； 8） )(t 表示人口绝对出生率； 9） )(t 表示总和生育率， 一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数 ； 10） k(a,t)表示女性比例函数； 11） h(a,t)表示妇女生育模式，是年龄为 a的女性生育加权因子； 12） ),( ta 表示死亡率，时刻 t年龄 r的人的死亡率； 13） )(xKit 表示区域 i(i=1,市 ,;i=2 镇 ;i=3 乡 )在 t 年份 x
9、 岁人口数； 14） )(xWit 表示区域 i 在年份 t 的 x 岁妇女人数； 15） Tm tytyty )(),. .()( 1 为人口状态向量； 16） )(xbit 表示 i 在年份 t 的 x 岁妇女生育率； 17） )0(ijtM 表示在 t 年与 i 区域出生的婴儿到 t 年末时从区域 i 迁移到区 域 j 的概率； 18） )0(itN 表示在 t 年 .与 i 区域出生的婴儿存活到 t 年末的概率； 19）)1( xmiji 表示在t 年与 i 区域的 x-1 岁的人到 t 年末时从 i 区域迁移到j 区 域的概率； 20） )1( xNit在 t 年与 i 区域的 x-
10、1 岁的人存活到 t 年末的概率。 三 、问题分析 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一， 影响我国人口发展的因素很多，比如人口基数大 、老龄化进程加速、出 生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化，甚至现在 一是实现了人 口再生产类型的历史性转变。在不到 30年的时间内，人口再生产类型 由 “ 高出生、低死亡、高增长 ” 转向 “ 低出生、低 死亡、低增长 ” 。人 口素质难以适应日趋激烈的综合国力竞争 ， 人口结构性矛盾对社会稳定 与和谐的影响日益显现 ：一是 老龄化进程加速 ， 老年人口数量多、老龄 化速度快、高龄趋势明显。二是出生人口性别比持续升高 ， 流动迁移
11、人 口规模庞大。 面对以上种种问题我们在建立模型时，不可能全面考虑，由建立不受 环境影响指数增长模型，逐步加大影响因素，建立 阻滞增长模型，完善条 限制， 建立起涉及出生率，死亡率，婴儿死亡率，年龄结构，男女性别比， 妇女生育模式，迁入迁出等因素的综合模型。如下图是男女比率发展趋势 中红蓝绿分别表示乡市镇 对应的曲线。 四、模型的建立与求解 4.1 模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型） 4 1 1 模型假设 1 时刻 t 人口增长的速率（即单位时间人口的增长量）与当时人口数成正比，即人口的相对增长率为常数，记之为 r。 2 设人口数 X(t)足够大，可以连续变量处理，且 X(t)关于 t 连续
12、可微。 4 1 2 模型建立及求解： 据模型假设，不难得到如下初值问题： 解之得 rtextx 0)( （ 1） r 0时（ 1）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 4 1 2参数估计和模型优劣 （ 1）式的参数 r 和 0x 可以用表 1 的数据进行估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将（ 1）式取对数，可得 0ln),(ln, xatxyarty 用上面得到的参数 r 和 0x 代入（ 1）式，将计算结果与实际数据作比较，可以预测人口增长的情况和合理性。然而，不用通过计算仅由 可以知道有限的地球不可能使人口的无限增长，当然中国也是这样，显然不合常理。不过在自然资源和环
13、境条件充足的条件下还是很好的，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数 增长模型关于人口的增长率是常数这个基本假设。 4 2阻滞增长模型（ Logistic模型） 4 2 1模型分析：分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源，环境条件等因素对人口的增长起阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。 4 2 2 模型建立：阻滞作用体现在对人口的增长率 r 的影响上，使得随着人口数量 x 的增加而下降。若 将 r 表示为 x 的函数 )(xr ，则它应是减函数。于是马尔萨斯模
14、型中的初值问题可以写作 0)0(,)( xxxxrdtdx （ 2） 对 )(xr 的一个最简单的假定是，设 )(xr 为 x 的线性函数，即 )0,0()( srsxrxr （ 3） 这里 r 称固有增长率，表示人口很少时（理论上是 0x ）的增长率。为了确定系数 s 的意义，引入自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量 mx 称人口容量。当 mxx 时人口不再增长，即增长率 0)( mxr ，代入（ 3）式得mxrs ，于是（ 3）式为 rt t e X 0 li 0 ) 0 ( X X X r dtd mxxrxr 1)( （ 4） （ 4）式的另一种解释是，增长率 )(xr 与人口尚未实
15、现部分的比例mmx xx 成正比，比例系数为固有增长率 r 。 将（ 4）式代入方程（ 2）得 0)0(,1 xxxxrxdtdx m （ 5） 方程（ 5）右端的因子 rx 体现人口自身的增长趋势，引子 mxx1 则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然， x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。 参数估计： 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数 r 和 mx ，将方程（ 5）表为 mxrssxrx dtdx ,/ （ 6） 对上式进行离变量法可以求解得到 rtmmexxxtX)1(1)(04 2 3 模型检验和优劣 当人口数的初始值 XmX0时
16、，人口曲线单调递减，而当人口数的初始值XmX0时，人口曲线单调递增，但当 t ，它们皆趋于 Xm.， 阻滞增长模型 从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测因为其形式的相对简单性也常被采用。 不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国 人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到我国人口将达到最大峰值期内，我国的人口一直将保持增加的势头，之后，将进入缓慢减少的过程 这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法还不正确。 事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的
17、因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素有关。这需要我们继续求建模型。 4.3 综合模型 4 3 1X(a,t)为 t 时刻该地区一切小于 a 的人口总数，即是人口函数。其中 a 表示年龄， t 表示时间，假设都是连续变化的。 ma 表示人寿命的极限。 X(a,t)是非降的正函数， X（ ma ， t） =X（ ， t） =X（ t） 和t taX ),(都是连续函数，则记 P(a,t)= ataX ),( 为人口年龄分布密度。 把 a 无限分割则求和可到 a dtPtaX 0 ),(),( ,
18、 ）t（X=）t（ ，X),( = t), X ( a 0 ma dtP M(a, a ,t)表示 t 时刻到 t+ t 时刻年龄在 a,a+ a区间的死亡人数，则有相对死亡率函数 0,0lim),( tata tataP taaM ),( ),(即在 t 和 a 无限小时 M(a, a ,t)= (a,t)P(a,t) a t 若在 t+ t 时刻年龄在 a+ a ,a+ a+ t 的人口数为 P( a+ a, t+ t) a有 M(a, a ,t)=P(a,t) a-P( a+ a, t+ t) a 当 t 0 可以得到 ataP ),( 0=t)t) P ( a ,( a , +),(
19、t taP （ 7） (t)表示从时刻 t- t 到时刻 t 婴儿的出生数为 (t) t 这样（ 7）的定解条件为 P(a,0)=P0(a),P(0,t)= (t) 若 (t)为总和生育率， k(a,t)为女性比 例函数， h(a,t)为妇女生育模式， a1 ,a2+1)为妇女 育龄区间（在我国一般取 a1 =15,a2=49 ）。则有 121 ),(),(),()(=( t ) aa dataPtahtakt(8) 1),(121 datahaa)()(t)h ( a , 111 aaeaa(9) 若取 =2， =n/2 这时有 rc=r1+n-2,这可以看出提高意味着晚婚，而增加 n意 味
20、着晚育。 但是（ 7）求解连续的很不方便，把时间离散化，设 yi(t)表示 t时刻满 i周但不到 i+1周岁的人口总数，其中 i=0,1,2、则有 1 ),()( iii dataPty i=0,1,2、 m-1，这里 m表示人活的最高年龄。 y(t)=(iy(t), 、 , my(t)T 则对（ 7）式从 i到 i+1关于 a积分并取区间长度为 1，整理得到 1 ),(),()()1( iiii dataPtatyty (10) 对（ 10）应用中值定理得 1 ),(),(ii dataPta dataPt ii 1 ),(),(定义 ),()( tti , ),()( ththi , ),
21、()( tktki ttt )()( 121 ),(),(),()(aa dataPtahtakt 211 ),(),(),()( aaiii dataPtahtaktdataPthtkt iia ai 1 ),(),(),()( 21)()()()( 21tythtkt iiaai i 婴儿的死亡率定义为 )( )()()( 000 t tytt 因此由以上分析可得在不考虑迁移的情况下，完整的人口发展离散方程组为 )()(1()1(. . . . . .)()(1()1()()(1()()()()()()(1100100021tyttytyttytttytythtkttmmmaaiiii记
22、)()()(1)(1()(000 thtktttb iii 则)()()()1( 2 11 tytbtty ia ai i 总上可得到 )()()1( tytLty 其中 0)(1.00.00.)(1000.0)(10)()()()(0)(12121ttttbttbttLmaa若考虑迁入迁出人口时，引入迁入迁出向量函数 g(t)=(Tm tgtg )(,),( 10 并分解 L（ t）为 000000)()(00)(,0)(1. . .00.00. . .)(1.00. . .0)(100. . .00)(21121 tbtbtBttttHaam则有宋健 -于景元人口发展 方程 )()()()
23、()()()1( tgtytBttytHty 4.3.2为了解决迁入迁出人口 g(t),建立 城乡人口动态预测模型，实际上是多区域人口预测模型的特例（区域数为 3：市，镇，乡）我国国际人口迁移可被忽略。市 -镇 -乡人口动态预测模型可用以下三个矩阵方程式表示。 模型假设 1）在迁移发生的当年迁移者的死亡率不受迁移的影响 2）迁移者在第二年遵循迁入地的死亡率和出生地。 下面给出预测具体方法 10岁组 x ttt xWxBK ;01其 中， ;)(321xWxWxWxWtttt)()()()()()()()()()(332313322212312111xbxbxbxbxbxbxbxbxbxBttt
24、ttttttt矩阵中元素的定义如下 ： Kit（ x）表示区域 i(i=1,市 ,;i=2 镇 ;i=3 乡 )在 t 年份 x 岁人口数。 Wit(x)表示区域 i 在年份 t 的 x 岁妇女人数。 bijt(x)= bit(x) Mijt(0) Nit(0). bit(x)表示 i 在年份 t 的 x 岁妇女生育率。 Mijt(0)表示在 t 年与 i 区域出生的婴儿到 t 年末时从区域 i 迁移到区域 j的概率。 Nit(0)表示在 t 年 .与 i 区域出生的婴儿存活到 t 年末的概率。 21 岁到 1 岁 )1()1()(1 xKxNxK ttt 其中 332313322212312
25、111)1(ttttttttttNNNNNNNNNxN， )1()1()1( xNxmxN itijiijt )1( xmiji 表示在t 年与 i 区域的 x-1 岁的人到 t 年末时从 i 区域迁移到 j区 域的概率 )1( xNit 在 t 年与 i 区域的 x-1 岁的人存活到 t 年末的概率。 3最高年龄组 )()1()1()(1 ttttt KNKNK 4.3.3由于 人口动态预测模型是 3维向量，而方程（ 13）中 m个向量中的一个值与其对应，显然不合理，但当把地 区市，镇，乡所对应年龄的人口数 )(tyi合为一个 3 维向量 )(tyi时就一一对应了，同理也可以把 迁入迁出人口
26、模型中的分向量看作方程（ 14）中的 g(t),这样得到的 )(ty 也就分别是市，镇，乡各个年龄的向量组了，再对其全部数据求和就可以得到第 t 年的总人口， 进而检验预测人口了，形成比较漂亮的综合模型 。 4 3 4数据处理和结果分析 当根据统计资料知道了人口的初始分布 )0(x 和矩阵 H(t),B(t)，就可用不同的总和生育率 )(k 来预测或控制未来的人口数量。下面对所给出的数据进行相关处理。由于市，镇，乡是分别求解再加和，以下都是拿城市为例： 4.3.4.1第 t年 i岁的男性比率乘以其对应的死亡率与女性比率乘以女性的死亡率之和为城市在第 t年 i岁的死亡率 )(ti ，在 Excel中很容易实现，下图是部分数据和处理方法
