1、第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题（理科）一、选择题1已知椭圆 1(ab0)的焦点分别为 F1、F 2，b4，离心率为 .过 F1 的直线x2a2 y2b2 35交椭圆于 A、B 两点，则ABF 2 的周长为( )A10 B12C16 D20解析：如图，由椭圆的定义知ABF 2的周长为 4a，又 e ca，即 c a， a2c 2 a2b 216，35 35 1625a 5.ABF2的周长为 20.答案：D2设 F1、F 2 为椭圆 y 21 的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于x24P、Q 两点，当四边形 PF1QF2 的面积最大时， 的值等于( )1PF2A0 B2C4 D2解析：
2、易知当 P、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形 PF1QF2的面积最大此时，F 1( ，0)，F 2( ， 0)，P(0,1)，3 3 ( ，1)， ( ，1) 3 3 2.1P2答案：D3过椭圆 C： 1(ab0)的左顶点 A 且斜率为 k 的直线交椭圆 C 于另一个点x2a2 y2b2B，且点 B 在 x 轴上的射影恰好为右焦点 F，若 b0) ，令 xc ，则| y| ，由题意得|PF 2| ，又x2a2 y2b2 b2a b2a|F1F2|PF 2|，2c ， b2a 2c 2，c 22ac a 2 0，e 22e10，解之得b2ae1 ，又 0b0)的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的
3、左、右焦点x2a2 y2b2 22F1、F 2 为顶点的三角形的周长为 4( 1) 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为2该双曲线上异于顶点的任一点(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF 2 的斜率分别为 k1、k 2，证明：k 1k2 1.解：(1)设椭圆的半焦距为 c，由题意知： ，ca 222a2c4( 1)，2所以 a2 ，c 2，2又 a2b 2c 2，因此 b2.故椭圆的标准方程为 1.x28 y24由题意设等轴双曲线的标准方程为 1(m 0)，x2m2 y2m2因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以 m2，因此双曲线的标准方程为 1.x24 y24(2
4、)证明：P( x0，y 0)，则 k1 ，k 2 .y0x0 2 y0x0 2因为点 P 在双曲线 x2y 24 上，所以 x y 4.20 20因此 k1k2 1，y0x0 2 y0x0 2 y20x20 4即 k1k21.9(2012大连模拟)已知椭圆 C 过点 M(1， )，两个焦点为 A(1,0)，B(1,0)，O 为坐32标原点(1)求椭圆 C 的方程；(2)直线 l 过点 A(1,0) ，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，求 BPQ 的内切圆面积的最大值解：(1)由题意，c1，可设椭圆方程为 1.x21 b2 y2b2因为 A 在椭圆上，所以 1，11 b2 94b2解得 b23，
5、b 2 (舍去)34所以椭圆方程为 1.x24 y23(2)设直线 l 方程为 xky 1，P (x1，y 1)，Q (x2，y 2)，则Error!(43k 2)y26ky 90Error!所以 SBPQ |F1F2|y1y 2| .12 12k2 13k2 4令 t，则 t1，所以 SBPQ ，k2 1123t 1t而 3t 在1，)上单调递增，1t所以 SBPQ 3，当 t1 时取等号，123t 1t即当 k0 时，BPQ 的面积最大值为 3.10已知椭圆的一个顶点为 A(0，1)，焦点在 x 轴上若右焦点 F 到直线xy2 0 的距离为 3.2(1)求椭圆的方程；(2)设直线 ykxm
6、(k0)与椭圆相交于不同的两点 M、N.当|AM| |AN|时，求 m 的取值范围解：(1)依题意，可设椭圆方程为 y 21，则右焦点为 F( ，0)x2a2 a2 1由题意，知 3，解得 a23.| a2 1 22|2故所求椭圆的方程为 y 21.x23(2)设点 M、N 的坐标分别为 M(xM，y M)、N (xN，y N)，弦 MN 的中点为 P(xP，y P)由Error! 得(3 k21)x 26mkx3( m21)0.直线 ykx m(k0)与椭圆相交于不同的两点， (6mk)2 4(3k21)3(m 21)0 m 20，解得 m .2m 13 12综上可得，m 的取值范围是 m2.12
