1、一 道 高考题 引发 的 解题反思 以三角函数为背景的零点存在区间的判定问题 奉化高级中学 胡尤 案例、 （ 10 年浙江高考第 9 题）、设函数 xxxf )12s in (4)( ，则在下列区间中函数 )(xf 不 存在零点的是（ ） （ A） -4， -2 （ B） -2， 0 （ C） 0， 2 （ D） 2， 4 学生可能出现的问题： 1、弧度对应的正弦近似值判断不够熟练； 2、当判断出选项中各区间端点函数值同号时，不知道接下来是否可以 且怎样应 用零点存在性定理判断零点的 存在情况； 3、不能较准确地画出函数)12sin(4 xy 的图像； 4、画图过程中没有找出关键点，导致 不能
2、清楚地观察出函数xxhxxg )(),12s in (4)( 图像的交点情况。 解 1（分割区间法） 判断各区间端点函数值的正负号： 04)7s in (4)4( f ， 02)3s in (4)2( f （ 01713 ），得 0)2()4( ff ；01sin4)0( f ，得 0)0()2( ff ； 025s in4)2( f )2855( 0 ，得0)2()0( ff ； 049s in4)4( f ，得 0)4()2( ff 。因为零点存在性定理只能判断有根的情况，而不能判断无根的情况， 所以我们只能判断出函数 )(xf 在 2,0 有根 . 问 1： 那么其他三个区间怎么去排除呢
3、？ 我们可以分 割区间后再用定理判断零点存在与否。 问 2： 用什么点去分割区间？（中点（二分法的原理）、特殊值点） 尝试： 01)1s in (4)1( f ，得 0)()1( ff ， 1s in4)12s in (4)(f 0,得 0)4()( ff ，由排除法可知答案为 A。 小结：若分割点取得好，将能很快得到答案，但是当区间里有多个零点的情况下，分割区间后不一定能一次成功，可能需要多次的尝试，这也是分割区间法的局限性，因为我们仅仅用几个特殊的点是无 法知道因变量随自变量运动的全面情况的。怎样才能全面掌握函数随 x 的变化情况呢？（画函数图象） 解 2（画图法） 令 xxhxxg )(
4、),12s in (4)( ，则只需判断两个函数交点的横坐标区间。 问 3： 怎样画函数 )12sin(4)( xxg 4,4x 的图像？（“五点法”：令 012 x ，得 21x ，再利用周期性，向左右每隔 44 T 描点） 问 4： 画出 那几个点 点就可判断区间中是否有交点？（取 4,4x 即可） 解析：由图 二 易得， 2,0 ， 0,2 上有交点，；要判断 4,2 上是否有交点，只需比较点（ 4,4）与点)4,2145( 左右位置关系，而 )2123,2145(4 ，所以可得（ 2,4）上也有交点，且有两个，现在只需验证 2,4 上无交点， 因 )4(4)4( hg 可知 2,4 上
5、无交点。在这个方法中，只需抓住直线上（ -4， -4），（ 4,4）与（ -4， )4(g ）， )4(,4( g 两组点的位置关系，题目就可迎刃而解。 小结：因为图像具有直观性、全面性且关键点的位置实际上就起到了分割区间的作用，因此 当 应 用零点存在性定理不能一次性得到答案时，画图并比较关键点的位置就是个能够一步到位、行之有效的方法。但是点如果描得太多则会浪费时间，这就需要选取有效的关键点，那么选取哪些点为关键点呢？由本题解题过程可知，选取各区间端点和其中一个函数最值对应的自变量较为合适，同时选取计算较方面的特殊点也在考虑之中。 问 5： 可能 画函数 )12sin(4)( xxg 图像花
6、了很长时间，能否可先画一个简单的函数图像再变化到)12sin(4)( xxg 的图 像 呢 ？ （ 函 数 xxG 2sin4)( 向左平移 21 个单位即可） O x y 21221 2 -4 （ -4， -4） 4 （ 4， 4） 4 -4 xy 4321 图二 O x y -4 4 （ 4， 4） 4 -4 xy 45 45 图三 解 3（图像平移法）、令 xxhxxg )(),12s in (4)( ， xxG 2sin4)( ， 问 6： 这两个均为奇函数，图像关于原点对称。现在我们能判断出 xxG 2sin4)( 和 xxh )( 的图像在 4,2 上的交点情况吗？（只需比较（ 4
7、,4）和 )4,45( 两个关键点的位置 关系） 解析：因点（ 4,4）在点 )4,45( 的右边，则两个函数在 4,2 上有两个交点，由图像关于原点对称知，在 2,4 上也有两个交点。当 )(xG 的图像向左平移 21 个单位后， 4,2 上显然有交点，可知答案为 (A)。 小结： 化繁为简是解题的重要思想，图像的平移变化为我们用图像 法解这一题目又提高了一步，这也是代数法所不具备的特性。 为了 解释 题目的解题思想和方法，特编写下面变式题： 变式：设函数 4|ln)12s in (4)( xxxf ，则在下列区间中函数 )(xf 不 存在零点的是（ ） （ A） -4， -2 （ B） -
8、2， 0 （ C） 0， 2 （ D） 2， 4 解析：令),12s in(4)( xxg|ln4|ln)( 4 xxxh 并令 xxG 2sin)( ， 画出 xxG 2sin)( 和|ln4)( xxh 图像，如右 ： 因点（ 4,e ）在点 )4,43( 的左侧，则 2,4 有交点，又点 )4,(e 在点 )4,45( 左侧，易知 4,2无交点。再把函数图像 xxG 2sin)( 向左平移 21 个单位，易知 4,2 上无交点，答案为（ D）。 展望 高考 ：（ 2011年参考卷）下列函数中，在 (0, )2 上有零点的是（ ） (A) ( ) sinf x x x （ B） 2( )
9、sinf x x x （ C） 2( ) sinf x x x （ D） 2 2( ) sinf x x x 解 析：选项（ A）：值域法，方法一：由三角函数线可知，在 x (0, )2 时， sinxx ，则 ( ) 0fx ，O x y -4 4 )4,(e 4 -4 45 45 1 43 e )4,( e e 图四 函数无零点；方法二： 01c o s)( xxf ，所以 )(xf 是 )2,0( x 的 减 函数，则 )(xf 的值域为：（ 21,0 ），因此，函数在 )2,0( 上无零点。 图像法：画出函数 xy sin 和 xy 的图像，但是本题若 “取关键点”将无济于事，我们可以
10、通过判断 xy sin 图像在 0x 处的切线和直线 xy 的斜率来判断它们是否有交点 。 函数 xy sin 在0x 处的导数 1| 0 xy ，所以直线 xy 与函数 xy sin 的图像在 0x 处相切，也即它们在)2,0( 上无交点，不仅如此，它们在 R 上也只有 )0,0( 点一个交点。 选项（ B）：图 像法， xyxy 2,sin 令 ,并分别画出两个函数图象如 右 ： 可知，函数 )(xf 在 (0, )2 上没有零点。 选项（ C）：值域法，因 x (0, )2 时， xxx sinsin 2 ，同（ A）可知函数无零点。 若在同一坐标系中画出函数 xyxy ,sin 的图像
11、，就会难以判断。 由 排除法易知答案为（ D），因其区间比较小，特殊角个数也少，我们不妨用分割区间法来验证：03243)3(,024741)6( ff ，则 0)3()6( ff ，因此函数在 (0, )2 有零点，若用图像法来验证 (D)，我们则需把方程 02sin 2 xx 等价转化为 xx2sin ，再进行关键点的比较，而这些关键点的横坐标无非也是以上几个特殊点，实际上我们可以观察出， 4x 即为（ D）中函数的零点。 从此题中我们得出，判断零点的存在区间，若一味用分割区间法工作量会加大，若一味用图像也可能浪费时间，而且也有情况 （主要指函数在某一区间我零点） 是用图像法判断不出的（如选
12、项（ A） 、（ C） ），把图像法、分割区间法及不等式的性质、导数等综合应用起来，则就简单。 反思 ： （一）解题方法的反思 以三角函数为背景的零点存在区间的判定问题主要有以下几个解题方法： 1、分割区间法：入手易，但尝试时具有不确定性； 2、画图法：能够掌握函数的整体性质，准确性高，操作时需选取关键点，必要 时可以利用图像平移来画图； 1 2 xy 2 x y O 图五 3、值域法：函数在某个区间的值域恒正或恒负，则没有零点，可利用求导、不等式等工具来求函数值域。 4、观察法 ：对一些函数形式复杂的题应尝试观察某一个具体的零点。 方法梳理：具体题目中，我们一般先用“观察法”找到显而易见的零
13、点，若行不通，则需留意函数值是否恒正或恒负，若不能轻易判断出函数值的正负，则采用“图像法”，若函数图像较复杂，区间内的特殊值点较多，不妨使用“分割区间法”，而此时若仍不能判定，很可能不存在零点，还需留意函数的值域，或许能用求导的方法得到值域。方法中，以“图像法”为 主。 （二）教学设计的反思 1、弧度所对角的正余弦对于原本就掌握不熟练的学生，单凭“ 03.571 rad ”可能并不能有明显提高，需用必要的小练习结合教学，如设计填空题： )1sin( 5sin ， 3sin4 21 （用 , 填空） 2、学生可能考虑到从函数 xy sin4 或 xy sin 的图像变化到函数 )12sin(4
14、xy 的图像，此时需引导学生如何选择先伸缩还是先平移这两条途径进行图像的变化，并进行方法的总结：横向平移、伸缩变化只需对 x 进行加减与乘除。 3、在 2011样卷题中的选项 (A)，（ C），学生很可能用图像法去解，此时需告诉学生，当函数无零点的时候，“取关键点”将会无意义。 需注意点：因三角函数很难用解方程的形式去求零点，同时很多时候也不能利用 求导来得到函数的单调性、极值并画出图像，所以我们很大程度上得依赖于函数图像来解题，所以较为精确地画出形如)sin( xAy 函数图像 就显得尤为重要，教学时需突出画图的重要性。 参考文献： 1、 2010年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科） 2、 2011年浙江省参考卷 数学（理科）
