1、专题提升 (十一 ) 以平行四边形为背景的计算与证明 类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明 【经典母题】 已知：如图 Z11 1， 在 ABCD中 ， AC是对角线 ， BE AC， DF AC， 垂足分别为 E， F.求证： BE DF. 证明： 四边形 ABCD是平行四边形 ， AB CD， BAE DCF.又 BE AC， DF AC， AEB CFD， AB CD， Rt AEB Rt CFD， BE DF. 【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形 ， 它具有对边平行且相等 ，对角线互相平分的性质 ， 根据 平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题； (2)平行四
2、边形的判定有四种方法：两组对边平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分 【中考变形】 1 2016益阳 如图 Z11 2， 在 ABCD中 ， AE BD于点E， CF BD于点 F， 连结 AF， CE. 求证： AF CE. 证明： 四边形 ABCD是平行四边形 ， AD BC， ADB CBD. 又 AE BD， CF BD， AED CFB， AE CF. AED CFB(AAS) AE CF. 四边形 AECF是平行 四边形 AF CE. 2 2016黄冈 如图 Z11 3， 在 ABCD中 ， E， F分别为边 AD， BC的中点 ， 对角线 AC分别交 BE，
3、DF于点 G，H.求证： AG CH. 证明： 四边形 ABCD是平行四边形 ， AD BC， 图 Z11 1 图 Z11 2 图 Z11 3 ADF CFH， EAG FCH， E， F分别为 AD， BC边的中点 ， AE DE 12AD， CF BF 12BC， AD BC， AE CF DE BF. DE BF， 四边形 BFDE是平行四边形 ， BE DF， AEG ADF， AEG CFH， 在 AEG和 CFH中 ， EAG FCH，AE CF， AEG CFH， AEG CFH(ASA)， AG CH. 【中考预测】 2016义乌模拟 如图 Z11 4， 已知 E， F分别是
4、ABCD的边 BC， AD上的点 ， 且 BE DF. (1)求证：四边形 AECF是平行四边形； (2)若四边形 AECF是菱形 ， 且 BC 10， BAC 90，求 BE的长 解： (1)证明： 四边形 ABCD是平行四边形 ， AD BC， 且 AD BC， BE DF， AF EC， 四边形 AECF是平行四边形； (2)如答图 ， 四边形 AECF是菱形 ， AE EC， 1 2， BAC 90 ， 3 90 2， 4 90 1， 3 4， AE BE， BE AE CE 12BC 5. 图 Z11 4 中考预测答图 类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【经典母题】
5、如图 Z11 5， 在菱形 ABCD中 ， E， F分别是 BC， CD的中点 ， 且 AE BC，AF CD.求菱形各个内角的度数 图 Z11 5 经典母题答图 解： 如答图 ， 连结 AC. 四边形 ABCD是菱形 ， AE BC， AF CD且 E， F分别为 BC， CD的中点 ， AC AB AD BC CD， ABC， ACD均为等边三角形 ， 菱形 ABCD 的四个内角度数分别为 B D 60 ， BAD BCD120 . 【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法 ， 采用类比法 ，比较它们的区别和联系对于矩形的性质 ， 重点从 “ 四对 ” 入手 ， 即从对边、对
6、角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手 ， 也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质 【中考变形】 1 2017日照 如图 Z11 6， 已知 BA AE DC， AD EC，CE AE， 垂足为 E. (1)求证： DCA EAC； (2)只需添加一个条件 ， 即 _AD BC_， 可使四边形 ABCD为矩形请加以证明 解： (1)证明：在 DCA和 EAC中 ， DC EA，AD CE，AC CA， DCA EAC(SSS)； (2)添加 AD BC， 可使四边形 ABCD为矩形理由如下： AB DC， AD BC， 四边形 ABCD是平行四边形 ， 图
7、 Z11 6 CE AE， E 90 ， 由 (1)得 DCA EAC， D E 90 ， 四边形 ABCD为矩形故答案为 AD BC(答案不唯一 ) 2 2017白银 如图 Z11 7， 矩形 ABCD中 ， AB 6， BC 4， 过对角线 BD中点 O的直线分别交 AB， CD边于点 E， F. (1)求证：四边形 BEDF是平行四边形； (2)当四边形 BEDF是菱形时 ， 求 EF的长 解： (1)证明： 四边形 ABCD是矩形 ， O是 BD的中点 ， AB DC， OB OD， OBE ODF， 在 BOE和 DOF中 ， OBE ODF，OB OD， BOE DOF， BOE
8、DOF(ASA)， EO FO， 四边形 BEDF是平行四边形； (2)当四边形 BEDF是菱形时 ， BD EF， 设 BE x， 则 DE x， AE 6 x， 在 Rt ADE中 ， DE2 AD2 AE2， x2 42 (6 x)2， 解得 x 133 ， BD AD2 AB2 2 13， OB 12BD 13， BD EF， OE BE2 OB2 2 133 ， EF 2EO 4 133 . 3 2017盐城 如图 Z11 8， 矩形 ABCD中 ， ABD， CDB的平分线 BE， DF分别交边 AD， BC于点 E， F. (1)求证：四边形 BEDF是平行四边形； (2)当 A
9、BE 为多少度时 ， 四边形 BEDF 是菱形？请说明理由 解： (1)证明： 四边形 ABCD是矩形 ， AB DC， AD BC， ABD CDB， 图 Z11 7 图 Z11 8 BE平分 ABD， DF平分 BDC， EBD 12 ABD， FDB 12 BDC， EBD FDB， BE DF， 又 AD BC， 四边形 BEDF是平行四边形； (2)当 ABE 30 时 ， 四边形 BEDF是菱形 ， 理由： BE平分 ABD， ABD 2 ABE 60 ， EBD ABE 30 ， 四边形 ABCD是矩形 ， A 90 ， EDB 90 ABD 30 ， EDB EBD 30 ，
10、EB ED， 又 四边形 BEDF是平行四边形 ， 四边形 BEDF是菱形 4 2016株洲 如图 Z11 9， 在正方形 ABCD 中 ， BC 3，E， F分别是 CB， CD延长线上的点 ， DF BE， 连结 AE，AF， 过点 A作 AH ED于 H点 (1)求证： ADF ABE； (2)若 BE 1， 求 tan AED的值 解： (1)证明：正方形 ABCD中 ， AD AB， ADC ABC 90 ， ADF ABE 90 ， 在 ADF与 ABE中 ， AD AB， ADF ABE， DF BE， ADF ABE(SAS)； (2)在 Rt ABE中 ， AB BC 3，
11、BE 1， AE 10， ED CD2 CE2 5， S AED 12ED AH 12AD BA 92， AH 95， 在 Rt AHD中 ， DH AD2 AH2 125 ， 图 Z11 9 EH ED DH 135 ， tan AED AHEH 913. 5 2017上海 已知：如图 Z11 10， 四边形 ABCD 中 ， AD BC， AD CD， E是对角线 BD上一点 ， 且 EA EC. (1)求证：四边形 ABCD是菱形； (2)如果 BE BC， 且 CBE BCE 2 3， 求证：四边形 ABCD是正方形 证明： (1)在 ADE与 CDE中 ， AD CD，DE DE，E
12、A EC， ADE CDE(SSS)， ADE CDE， AD BC， ADE CBD， CDE CBD， BC CD， AD CD， BC AD， 四边形 ABCD为平行四边形 ， AD CD， 四边形 ABCD是菱形； (2) BE BC， BCE BEC， CBE BCE 2 3， CBE 180 22 3 3 45 ， 四边形 ABCD是菱形 ， ABE 45 ， ABC 90 ， 四边形 ABCD是正方形 6 如图 Z11 11， 正方形 ABCD的边长为 8 cm， E， F， G， H分别是 AB， BC，CD， DA上的动点 ， 且 AE BF CG DH. (1)求证：四边形
13、 EFGH是正方形； (2)判断直线 EG是否经过某一定点 ， 说明理由； (3)求四边形 EFGH面积的最小值 图 Z11 10 图 Z11 11 中考变形 6 答图 解： (1)证明： 四边形 ABCD是正方形 ， A B 90 ， AB DA， AE DH BF， BE AH， AEH BFE(SAS)， EH FE， AHE BEF， 同理 ， FE GF HG， EH FE GF HG， 四边形 EFGH是菱形 ， A 90 ， AHE AEH 90 ， BEF AEH 90 ， FEH 90 ， 四边形 EFGH是正方形； (2)直线 EG经过正 方形 ABCD的中心 理由 ：如答
14、图 ， 连结 BD交 EG于点 O. 四边形 ABCD是正方形 ， AB DC， AB DC， EBD GDB， AE CG， BE DG， EOB GOD， EOB GOD(AAS)， BO DO， 即 O为 BD的中点 ， 直线 EG经过正方形 ABCD的中心； (3)设 AE DH x， 则 AH 8 x， 在 Rt AEH中 ， EH2 AE2 AH2 x2 (8 x)2 2x2 16x 64 2(x 4)2 32， S 四边形 EFGH EHEF EH2， 四边形 EFGH面积的最小值为 32 cm2. 【 中考预测】 如图 Z11 12， 在四边形 ABCD 中 ， AB AD，
15、CB CD， E 是 CD 上一点 ，BE交 AC于点 F， 连结 DF. 图 Z11 12 (1)求证： BAC DAC， AFD CFE； (2)若 AB CD，试证明四边形 ABCD是菱形； (3)在 (2)的条件下 ， 试确定点 E的位置 ， 使 EFD BCD， 并说明理由 解： (1)证明： AB AD， CB CD， AC AC， ABC ADC(SSS)， BAC DAC. AB AD， BAF DAF， AF AF， ABF ADF(SAS)， AFB AFD. 又 CFE AFB， AFD CFE； (2)证明： AB CD， BAC ACD. 又 BAC DAC， DAC ACD， AD CD. AB AD， CB CD， AB CB CD AD， 四边形 ABCD是菱形； (3)当 BE CD时 ， EFD BCD.理由： 四边形 ABCD为菱形 ， BC CD， BCF DCF. 又 CF为公共边 ， BCF DCF(SAS)， CBF CDF. BE CD， BEC DEF 90 ， CBF BCD CDF EFD， EFD BCD.
