1、专题提升 (六 ) 一次函数与反比例函数的综合 【经典母题】 如图 Z6 1 是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图 ， 图中的曲线是一段反比例函数的图象 ，端点 A 的纵坐标为 80， 另一端点 B 的坐标为B(80， 10)求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围 【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表达式后 ， 代入点 B的坐标即可求得反比例函数的表达式 解： 设反比例函数的表达式为 y kx， 一个端点 B的坐标为 (80， 10)， k 80 10 800， 反比例函数的表达式为 y 800x . 端点 A的纵坐标为 80， 80 800x ， x 10， 点 A的横坐标为 10，
2、 自变量的取值范围为 10 x 80. 【思想方法】 求反比例函数的表达式宜用待定系数法 ， 设 y kx， 把已知一点代入函数表达式求出 k的值即可 【中考变形】 1 已知正比例函数 y ax与反比例函数 y bx的图象有一个公共点 A(1， 2) (1)求这两个函数的表达式； (2)在图 Z6 2 中画出草图 ， 根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围 图 Z6 1 图 Z6 2 中考变形 1 答图 解： (1)把 A(1， 2)代入 y ax， 得 2 a， 即 y 2x； 把 A(1， 2)代入 y bx， 得 b 2， 即 y 2x； (2)画草图如答图所示 由图象可
3、知 ， 当 x 1 或 1 x 0 时 ， 正比例函数值大于反比例函数值 2 如 图 Z6 3， 已知一次函数 y k1x b 与反比例函数 y k2x的图象交于第一象限内 P 12， 8 ， Q(4， m)两点 ， 与 x轴交于 A点 (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)写出点 P关于原点的对称点 P的坐标； (3)求 PAO的正弦值 图 Z6 3 【解析】 将 P点坐标代入反比例函数关系式 ， 即可求出反比例函数表达 式；将 Q点代入反比例函数关系式 ， 即可求出 m的值；将 P， Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式 ， 即可求出一次函数的表达式 根据平面直角坐标系中 ， 两点关于
4、原点对称 ， 则横、纵坐标互为相反数 ，可以直接写出点 P的坐标； 过点 P作 PD x轴 ， 垂足为 D， 可构造出 AD， 又 点 A在一次函数的图象上 ， 可求出点 A坐标 ， 得到 OA长度 ， 利用 P 点坐标 ， 可以求出 PD，P A， 即可得到 PAO的正弦值 解： (1) 点 P在反比例函数的图象上 ， 把点 P 12， 8 代入 y k2x， 得 k2 4， 反比例函数的表达式为 y 4x， Q 点坐标为 (4， 1) 把 P 12， 8 ， Q(4， 1)分别代入 y k1x b中 ， 得8 12k1 b，1 4k1 b，解得 k1 2，b 9. 一次函数的表达式为 y
5、2x 9； (2)P 12， 8 ； (3)如答图 ， 过点 P作 PD x轴 ， 垂足为 D. P 12， 8 ， 中考变形 2 答图 OD 12， P D 8. 点 A在 y 2x 9 的图象上 ， 点 A坐标为 92， 0 ， 即 OA 92， DA 5， P A P D2 DA2 89. sin P AD P DP A 889 8 8989 . sin P AO 8 8989 . 3 2017成都 如图 Z6 4， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 已知正比例函数 y 12x与反比例函数 y kx的图象 交于 A(a， 2)， B两点 (1)求反比例函数表达式和点 B的坐标； (2)P
6、 是第一象限内反比例函数图象上一点 ， 过点 P 作 y 轴的平行线 ， 交直线AB于点 C， 连结 PO， 若 POC的面积为 3， 求点 P的坐标 图 Z6 4 中考变形 3 答图 解： (1) 点 A(a， 2)在正比例 函数 y 12x图象上 ， 2 12a， a 4， 点 A坐标为 ( 4， 2) 又 点 A在反比例函数 y kx的图象上 ， k xy 4 ( 2) 8， 反比例函数的表达式为 y 8x. A， B既在正比例函数图象上 ， 又在反比例函数图象上 ， A， B两点关于原点 O中心对称 ， 点 B的坐标为 (4， 2)； (2)如答图 ， 设点 P坐标为 a， 8a (a
7、 0)， PC y轴 ， 点 C在直线 y 12x上 ， 点 C的坐标为 a， 12a ， PC 12a 8a a2 162a ， S POC 12PC a 12 a2 162a a a2 164 3， 当 a2 164 3 时 ， 解得 a 28 2 7， P 2 7， 4 77 . 当 a2 164 3 时 ， 解得 a 2， P(2， 4) 综上所述 ，符合条件的点 P的坐标为 2 7， 4 77 ， (2， 4) 4 如图 Z6 5， 一次函数 y kx b与反比例函数 y mx的图象交于 A(1， 4)， B(4，n)两点 (1)求反比例函数的表达式； (2)求一次函数的表达式； (
8、3)P是 x轴上的一个动点 ， 试确定点 P并求出它的坐标 ， 使得 PA PB最小 图 Z6 5 解： (1) 点 A(1， 4)在函数 y mx上 ， m xy 4， 反比例函数的表达式为 y 4x； (2)把 B(4， n)代入 y 4x， 4 xy 4n， 得 n 1， B(4， 1)， 直线 y kx b经过 A， B， 4 k b，1 4k b， 解得 k 1，b 5， 一次函数的表达式为 y x 5； (3)点 B关于 x轴的对称点为 B(4， 1)， 设直线 AB的表达式为 y ax q， 4 a q， 1 4a q， 解得a 53，q 173 ， 直线 AB的表达式为 y 5
9、3x 173 ， 令 y 0， 解得 x 175 ， 当点 P的坐标为 175 ， 0 时 ， PA PB最小 5 2017广安 如图 Z6 6， 一次函数 y kx b的图象与反比例函数 y mx的图象在第一象限交于点 A(4， 2)， 与 y轴的负半轴交于点 B， 图 Z6 6 且 OB 6. (1)求函数 y mx和 y kx b的表达式 (2)已知直线 AB与 x轴相交于点 C.在第一象限内 ， 求反比例函数 y mx的图象上一点 P， 使得 S POC 9. 解： (1) 点 A(4， 2)在反比例函数 y mx的图象上 ， m 4 2 8， 反比例函数的 表达式为 y 8x. 点
10、B在 y轴的负半轴 上 ，且 OB 6， 点 B的坐标为 (0， 6)， 把点 A(4， 2)和点 B(0， 6)代入 y kx b中 ， 得 4k b 2，b 6， 解得 k 2，b 6. 一次函数的表达式为 y 2x 6； (2)设点 P的坐标为 n， 8n (n 0) 在直线 y 2x 6 上 ， 当 y 0 时 ， x 3， 点 C的坐标为 (3， 0)， 即 OC 3， S POC 12 3 8n 9， 解得 n 43. 点 P的坐标为 43， 6 . 6 2017黄冈 如图 Z6 7， 一次函数 y 2x 1 与反比例函数 y kx的图象有两个交点 A( 1， m)和 B， 过点
11、A作 AE x轴 ， 垂足为 E；过点 B作 BD y轴 ，垂足为 D， 且点 D的坐标 为 (0， 2)， 连结 DE. (1)求 k的值； (2)求四边形 AEDB的面积 图 Z6 7 中考变形 6 答图 解： (1)将点 A( 1， m)代入一次函数 y 2x 1， 得 2 ( 1) 1 m， 解得 m 3. A点的坐标为 ( 1， 3) 将 A( 1， 3)代入 y kx， 得 k ( 1) 3 3； (2)如答图 ， 设直线 AB与 y轴相交于点 M， 则点 M的坐标为 (0， 1)， D(0， 2)， 则点 B的纵坐标为 2， 代入反比例函数 ， 得 DB 32， MD 3. 又
12、A( 1， 3)， AE y轴 ， E( 1， 0)， AE 3. AE MD， AE MD. 四边形 AEDM为平行四边形 S 四边形 AEDB SAEDM S MDB 3 1 12 32 3 214 . 7 2016金华 如图 Z6 8， 直线 y 33 x 3与 x， y轴分别交于点 A， B， 与反比例函数 y kx(k 0)的图象交于点 C， D， 过点 A作 x轴的垂线交该反比例函数图象于点 E. (1)求点 A的坐标； (2)若 AE AC， 求 k的值； 试判断点 E与点 D是否关于原点 O成中心对称？并说明理由 图 Z6 8 中考变形 7 答图 解： (1)当 y 0 时 ，
13、 得 0 33 x 3， 解得 x 3. 点 A的坐标为 (3， 0)； (2) 如答图 ， 过点 C作 CF x轴于点 F.设 AE AC t， 点 E的坐标是 (3， t)，则反比例函数 y kx可表示为 y 3tx. 直线 y 33 x 3交 y轴于点 B， B(0， 3) 在 Rt AOB中 ， tan OAB OBOA 33 ， OAB 30 . 在 Rt ACF中 ， CAF 30 ， CF 12t， AF ACcos30 32 t， 点 C的坐标是 3 32 t， 12t . 3 32 t 12t 3t， 解得 t1 0(舍去 )， t2 2 3. k 3t 6 3. 点 E的
14、坐标为 ( )3， 2 3 ， 设点 D的坐标是 x， 33 x 3 ， x 33 x 3 6 3， 解得 x1 6(舍去 )， x2 3， 点 D的坐标是 ( ) 3， 2 3 ， 点 E与点 D关于原点 O成 中心对称 【中考预测】 如图 Z6 9， 一次函数 y kx b(k， b为常数 ， k 0)的图象与 x轴 ， y轴分别交于 A， B两点 ， 且与反比例函数 y nx(n为常数且 n 0)的图象在第二象限交于点 C， CD x轴 ， 垂足为 D， 若 OB 2OA 3OD 6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求两函数图象的另一个交点的坐标； (3)直接写出不等式
15、kx b nx的解集 图 Z6 9 解： (1) OB 2OA 3OD 6， OB 6， OA 3， OD 2， CD DA， DC OB， OBDC AOAD， 6DC 35， DC 10， C( 2， 10)， B(0， 6)， A(3， 0)， 代入一次函数 y kx b， 得 b 6，3k b 0， 解得 k 2，b 6， 一次函数的表达式为 y 2x 6. 反比例函数 y nx经过点 C( 2， 10)， n 20， 反比例函数的表达式为 y 20x ； (2)由y 2x 6，y 20x ， 解得 x 2，y 10 或 x 5，y 4， 另一个交点坐标为 (5， 4)； (3)由图象可知 kx b nx的解集为 2 x 0 或 x 5.
