1、付款流精算现值的统一处理【摘要】 利用支付累积函数将生存年金与保险费的各种支付方式统一起来，从而得到了各种付款流(包括生存年金和保险费)的精算现值综合表达式 E(Y)=JF(Z+0ST(t)vtdB(t)JF) 。从理论的角度来说，高度抽象化的公式通常能使我们更好地认识事物的本质, 同时，在基本的计算不再成为讨论问题的障碍的今天，这样做可以简化知识的表述方式，这在理论与实际中都非常有意义。 【关键词】 支付累积函数; 生存年金; 精算现值1 引言在人寿保险经营中，生存年金的计算是各种精算现值计算中的一项重要内容，所谓生存年金是间隔相等时期(如按月、季度、半年或一年)绵延不断的一系列支付，但这些
2、支付是以指定领取人活着为条件，一旦领取人死亡，支付立即结束。对于人寿保险中的几种生存年金的精算现值，有关文献给出了其计算公式。具体可参考文献1。事实上，将年金都看成一个付款流，它们在某个规定事件(死亡 )出现时停止支付，则各种年金的付款流从本质上是一致的。唯一的区别仅在于使支付停止的事件的概率的性质(从数学上来说就是其分布函数)。因此，无论是连续年金还是离散年金，其精算现值的计算应该可以在一个统一的框架下来处理。本文拟将各种生存年金的精算现值的计算方法统一起来，从理论的角度来说，高度抽象化的公式通常能使我们更好地认识事物的本质, 同时，在基本的计算不再成为讨论问题的障碍的今天，这样做可以简化知
3、识的表述方式，这在理论与实际中都非常有意义。本研究第 2 节给出连续生存年金的精算现值的统一表达方式，第3 节讨论离散生存年金精算现值的统一表达式，第 4 节则将连续年金和离散生存年金的精算现值作统一的处理。将投保时年龄为 x 的人记为(x)，其从保单签发到其死亡所经历的时间就是被保险人的剩余寿命，记为 T=T(x)。2 连续生存年金定义：(x)活着时支付每年 1 单位连续的生存年金， B(t)是从投保时起在时间区间0,t中的支付总额。则称 B(t)为连续生存年金的支付累积函数。其中，连续支付的含义是指每时每刻连续不断地支付。根据连续生存年金的支付方式，有下列几种类型的连续生存年金的支付累积函
4、数B(t)。例如： 永久连续支付：B(t)=t n 年定期连续支付：B(t)=min(t, n) 递延 n 年的永久连续支付：B(t)=t - min(t, n) 递延 m 年的 n 年定期连续支付：B(t)= 0 tmt-m mm-n tm+n引理 1：连续生存年金的支付累积函数 B(t)是右连续的。证明是显然的，因为 limt0+(B(t+t)-B(t)=limt0+(t,t+t)的支付累积 =0设有效年利率为 i，记 v=e-=(1+i)-1 为贴现率，其中 为利息效力，显然 vt 是从赔付时刻回溯至保单签发时的利息帖现函数。定理 1：设投保人的连续生存年金的支付累积函数为 B(t)，则
5、他的生存年金的精算现值为E(Y)=JF(Z+0 tPx vtdB(t)JF)这里 tPx 表示年龄为 x 的生命事件超过未来 t 时刻才出现的概率。证明：在 t 时刻的连续生存年金的支付累积为 B(t)，那么在(t,t+t) 中支付累积：B(t+t)-B(t)=dB(t) ，它回溯至保单签发时的现值为 vt dB(t) 。支付累积 B(t)的现值为 Y=JF(ZT0vtdB(t)JF) ，这里T=T(x)是投保人在保单签发时的剩余寿命。因为 T 为随机变量，从而 Y 也是随机变量。所以，支付累积为 B(t) 的精算现值(即现值的数学期望)：E(Y)=JF(Z+0Y tPxx+1dtJF)=JF
6、(Z+0JF) JF(Zt0vtdB(r)tPx x+tdtJF)=JF(Z+0JF) JF(Z+r tPx x+tdt vtdB(t)JF)=JF(Z+0rPx vrdB(r)JF) 证毕。连续终生生存年金、连续 n 年定期生存年金、连续 n 年定期生存年金、连续递延 n 年的终生生存年金都是上述定理的特例。3 离散生存年金离散生存年金理论与对应的连续生存年金理论几乎完全相似，只是积分改成求和，微分改为差分。因此可以得到相似的结论。但是要考虑期初支付和期末支付的问题。此时，对支付起作用的是整值剩余寿命。显然，生存年金累积函数的函数值只能为整数。为了定理的证明，我们先给出一个引理。引理 2：设
7、 K 是取值于非负整数的离散型随机变量，分布函数为G(k)，概率函数 g(k)=G(k-1) ，如果 z(k)是非负单调函数且使得Ez(K) 存在，那么Ez(K)=k=0z(k)g(k)=z(0)+k=01-G(k)z(k)这里，z(k)=z(k+1)-z(k) 为差分。证明见文献1。定理 2：设投保人的离散生存年金的支付累积函数为 B(t)，则他的生存年金的精算现值为E(Y)=k=0 kpx vkB(k)这里 kPx 表示年龄为 x 的生命事件超过未来 k 时刻才出现的概率。证明：在 t 时刻的生存年金的支付累积为 B(t)，那么在(t,t+1) 中支付累积：B(t+1)-B(t)=B(t)
8、 ，它回溯至保单签发时的现值为vtB(t) 。支付累积 B(t)的现值为 Y=rt=0vtB(t) ，这里 T=T(x)是投保人在保单签发时的剩余寿命。因为 T 为随机变量，从而 Y 也是随机变量。所以，支付累积为 B(t) 的精算现值(即 现值的数学期望)：E(Y)=k=0 k+1t=0 vtB(t)Pr(K=k)=k=0 k+1t=0 vtB(t)k qx取 Y=vk+1B(k+1) 应用引理可得E(Y)=1+k=0 k+1px vk+1B(k)=k=0 k px vkB(k) 证毕。离散终生生存年金、离散 n 年定期生存年金、离散 n 年定期生存年金、离散递延 n 年的终生生存年金都是上
9、述定理的特例：4 付款流的精算现值设 T 是一非负的广义随机变量，即我们可能有 Pr(T=)0 。我们用 T 表示一个特定的随机事件发生的时间，当然T= 表示该随机事件永远不会发生。记 ST(t)=Pr(Tt) 表示广义随机变量 T 的逆分布函数(或叫生存函数)。B 表示一个付款流，一旦该事件发生，就停止该付款流的运作。这里定义： B(t)是从投保时起在时间区间0,t中的支付总额，称为支付累积函数。对连续生存年金，B(t)是0,) 中的连续单调递增函数，而对于离散生存年金;B(t)是递增的阶梯函数。类似与第一节的引理，B(t)总为非减的右连续函数。因此 B(t)可以在0,) 生成一个正测度。将
10、一个函数 f 关于该测度的积分记为A f(t)dB(t) ，这里 A为积分区域。我们得到：定理 3：设投保人的生存年金的支付累积函数为 B(t)，则他的生存年金的精算现值为E(Y)=JF(Z+0ST(t) vtdB(t)JF)证明：在 t 时刻的支付累积为 B(t)，那么在(t,t+t 中支付累积为 B(t+t)-B(t)=dB(t) ，它回溯至保单签发时的现值为 vt dB(t)。支付累积 B(t)的现值为 Y=JF(ZT0 vtdB(t)JF) 。所以，支付累积为 B(t) 的精算现值(即现值的数学期望)为：E(Y)=EJF(ZT0 vtdB(t)JF)=JF(Z+0JF) JF(ZtdFT(u) vtdB(t)JF)=JF(Z+0ST(u) vtdB(t)JF) 。 证毕。【参考文献】1 N.L 鲍尔斯,著. 余跃年,郑韫瑜,译.精算数学.上海:上海科学技术出版社,2001,7997.
