1、一道不等式证明问题的感想不等式的证明对高中学生来讲是难点，因为不等量关系比等量关系难以理解更不好利用，再加上不等量变形的技巧妙趣无穷，下面这道不等式的证明将给你一种全新的感觉。 例题：设 aR，函数 f(x)=ax2+xa(1x1)，若|a|1，证明：|f(x)|5/4。 一、 构造意识为主线，合理放缩是关键。分析：最大值是5/4，构造二次函数达到目标是比较理想的结果，只是条件；|x|1,a1 不好利用，只有巧妙的放缩才能完成二次函数的构造。 证明一：|x|1,|a|1.|f(x)|=|a(x21)+x|a(x21)|+|x|=|a|x21|+|x|x21|+|x|=|1 x2|+|x|=1(
2、|x|)2+|x|=(|x|1/2)2+5/45/4 二、 标准模型为目标，合理换元是高招。分析：要证|f(x)|5/4 ，只需证 5/4f(x)5/4。这是常规的思路，寻此思路再附以恰当的换元不难找到证明方法。 证明二：|a|1，|x|1， 可设 x= sin， a=cos ，R 则 f(x)= cossin2+ sincos=cos(sin21)+ sin 1 cos1， 1sin210 sin2+sin1f(x)sin2+sin+1， 即( sin+1/2)2-5/4f(x)(sin1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 |f(x)|5/4。 三、 一次函数雾里现，比较大小看增减。分析
3、：f(x)的解析式中把 a 当成自变量就是一次函数，并且斜率为负数或 0，由函数的单调性f(x)的取值范围（不等关系）容易找到。 证明三：f(x)= a（x21）+x 看作是 a 的一次函数 g(a)， 由|x|1 得（斜率）x210 （1） 当 x210 时，关于 a 的一次函数 g(a) =f(x)是减函数， g(1)f(x)g(1) x21+xf(x)（x21）+x ， (x+1/2)25/4f(x)(x1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 |f(x)|5/4。 （2）当 x21=0 时， g(a) =f(x)= x f(x)=|x|1，显然|f(x)|5/4。综上可知|f(x)|5
4、/4。 四、变量转换出新意，纲举目张非奇迹。 分析：把变量 a 当成主线，变量 a 的范围可以牵出 f(x)的范围，它体现出变量转换的神奇，当然这并不影响变量之间的内在联系，却为不等式的构造开辟了新的途径。 证明四：（1）当 x210 时，f(x)=ax2+xa 变形为：a= (f(x)x)/ (x21), |a|1，|(f(x)x)/ (x21)|1 1 (f(x)x)/ (x21)1 ， 去分母得：x21+xf(x)（x21）+x (x+1/2)25/4f(x)(x1/2)2+5/4 5/4f(x)5/4 （2）当 x21=0 时，f(x)=x|f(x)|=|x|1，显然|f(x)|5/4
5、。 综上可知|f(x)|5/4。 五、 常规思路也见效，分类讨论须知道。 分析：这本来就是二次函数 f(x)在闭区间（x1,1）内极值的问题，只要就对称轴 (x=1/2a)的不同位置分别讨论就可得到结论，当 a=0 时 f(x)为一次函数也不要忘记。 证明五：函数 f(x)=ax2+xa(1x1)， （1） 当 a=0 时， f(x)=x|f(x)|=|x|1，结论显然成立。 （2）当 a0 时，二次函数 f(x)=ax2+xa(1x1)的对称轴是 x=1/2a，由于|a|1 ，x=1/2a（，1/21/2，）当|1/2a|1 时，无论二次函数 f(x)=ax2+xa(1x1)图象开口如何，x1,1都是单调区间，必然有|f(x)|f(1)|或|f(x)|f(1)|，而|f(1)|=1，|f(x)|5/4 显然成立。当|1/2a|1 时，二次函数 f(x)=ax2+xa=a(x+1/2a)2(4a2+1)/4a(1x1)（端点处已无须考虑） ，在顶点处|f(x)|=|(4a2+1)/4a|=|a+1/4a|5/4,a=1 时“=”成立。综上可知|f(x)|5/4。 不等式的证明本来就没有一定的模式，是发挥学生想象力的领域，上面五种方法充分做到了这些。
