1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)1.已知全集 ,集合 ,集合 ,则集合 （ ）12346U=235A=1,346B=AUB=（ ）(A) (B) (C) (D)14625【答案】B【解析】试题分析： , ,则 ,故选 B.235A=2UBUB=（ ）考点：集合运算2.设变量 满足约束条件 ,则目标函数 的最大值为（ ）,yx028xy-+ 3yzx+(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C来源:学优高考网考点：线性规划3.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)
2、4 (D)5【答案】C【解析】试题分析：由程序框图可知： 故选 C.2,8;3,S5;4,1.iii考点：程序框图.4.设 ,则“ ”是“ ”的（ ）xR1x(20)F()2y3x-+=切,则双曲线的方程为（ ）(A) (B) (C) (D) 2913xy-2139xy-213xy-=213x-【答案】D考点：圆与双曲线的性质.6. 如图,在圆 O 中,M,N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD,CE 分别经过点 M,N,若 CM=2,MD=4,CN=3,则线段 NE 的长为（ ）(A) (B) 3 (C) (D) 81052【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可来源:学优高考网故选 A.
3、18,33CMDCMDNEABNE考点：相交弦定理7. 已知定义在 R 上的函数 为偶函数,记|()21()xmf-=为 实 数 0.5(log3),af=,则 ,的大小关系为（ ）2b(log5),c()ffm=abc(A) (B) (C) (D) a ()3()gxfx=-y()fxg=-(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5【答案】A考点：函数与方程.二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.9. i 是虚数单位,计算 的结果为 12i【答案】-i【解析】试题分析： .2i21i i考点：复数运算.10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积
4、为 .3m【答案】 83【解析】试题分析：该几何体是由两个高为 1 的圆锥与一个高为 2 圆柱组合而成,所以该几何体的体积为.3122(m)考点：1.三视图；2.几何体的体积.11. 已知函数 ,其中 a 为实数 , 为 的导函数,若 ,则 a 的值ln,0fxaxfxf13f为 【答案】3【解析】试题分析：因为 ,所以 .1lnfxax13fa考点：导数的运算法则.12. 已知 则当 a 的值为 时 取得最大值. 来源:学优高考网0,8,ab 2logb【答案】4【解析】试题分析： 当 时取等22222logl11log loglog64,44babab ab号,结合 可得 0,8,4,.a
5、考点：基本不等式.13. 在等腰梯形 ABCD 中,已知 , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和ABDC2,1,60,BACCD 上,且 则 的值为 21,36BECFEF【答案】 918【解析】试题分析：在等腰梯形 ABCD 中,由 , 得 ,ABDC2,1,60,BAC12DB, ,所以1ABD2CABEFABEDF考212112933838CABC 点：平面向量的数量积.14. 已知函数 若函数 在区间 内单调递增,且函数sincos0,fxxRfx的图像关于直线 对称,则 的值为 fx【答案】 2【解析】试题分析：由 在区间 内单调递增,且 的图像关于直线 对称,可得 ,且fxfx
6、x2,222sincossin14f所以 2.42考点：三角函数的性质.三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.15. （本小题满分 13 分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为 27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员参加比赛.（I）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II）将抽取的 6 名运动员进行编号,编号分别为 ,从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加12345,AA双打比赛.（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设 A 为事件“ 编号为 的两名运动员至少有一人被抽到 ”,求事件 A 发生的概率.56,A【答案】 （I）3,1,
7、2；（II ） （i）见试题解析；（ii） 35【解析】试题分析：（I）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II） （i ）一一列举,共 15 种；（ii）符合条件的结果有 9 种,所以 .9315PA试题解析：（I）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为 3,1,2；（II） （i）从这 6 名运动员中随机抽取 2 名参加双打比赛,所有可能的结果为 ,12, , , , , , , , , , ,13A1415A1623A2425A2634A3536A, , ,共 15 种.来源:学优高考网 gkstk4566（ii）编号为 的两
8、名运动员至少有一人被抽到的结果为 , , , , 5 15162526, , , , ,共 9 种,所以事件 A 发生的概率 35A3645A4656A93.1PA考点：分层抽样与概率计算.16. （本小题满分 13 分）ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知ABC 的面积为 ,1512,cos,4bA（I）求 a 和 sinC 的值；（II）求 的值.s6【答案】 （I）a=8, ；（II） .15in87316【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2 三角变换.17. （本小题满分 13 分）如图,已知 平面 ABC, AB=AC=3, ,1A1,BA12
9、5,7BCA点 E,F 分别是 BC, 的中点.17B1C（I）求证：EF 平面 ；A1B（II）求证：平面 平面 .1（III）求直线 与平面 所成角的大小.1AB1C【答案】 （I）见试题解析；（ II）见试题解析；（III ） .30【解析】试题分析：（I）要证明 EF 平面 , 只需证明 且 EF 平面 ；（II ）要证明平A1B1EFBA1AB面 平面 ,可证明 , ；（III）取 中点 N,连接 ,则 就是1AE1BCECCN1直线 与平面 所成角,Rt 中,由 得直线 与平面 所成111N11sin,2NAB11C角为 .30试题解析：（I）证明：如图 ,连接 ,在 中,因为 E
10、 和 F 分别是 BC, 的中点,所以 ,1AB1C1C1EFBA又因为 EF 平面 , 所以 EF 平面 .1（II）因为 AB=AC,E 为 BC 中点,所以 ,因为 平面 ABC, 所以 平面 ABC,从E1A1,BA1而 ,又 ,所以 平面 ,又因为 平面 ,所以平面 平面1BA1CBBCE1EA.考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角18. （本小题满分 13 分）已知 是各项均为正数的等比数列, 是等差数列,且nanb, .123,aba=+527b-=（I）求 和 的通项公式；n（II）设 ,求数列 的前 n 项和.*,cNc【答案】 （I） , ；（II）1
11、2na21,nbN23nnS【解析】试题分析：（I）列出关于 q 与 d 的方程组,通过解方程组求出 q,d,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.试题解析：（I）设 的公比为 q, 的公差为 d,由题意 ,由已知,有 消去 d 得nanb0243,10qd解得 ,所以 的通项公式为 , 的通项公式为4280,q2,dna1,naNnb.21,nbN（II）由（I）有 ,设 的前 n 项和为 ,则12nnccnS01 1352,nS 232 n两式相减得 1123,n nn所以 .32nS考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.19. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 的
12、上顶点为 B,左焦点为 ,离心率为 , 21(ab0)xy+=F5（I）求直线 BF 的斜率；（II）设直线 BF 与椭圆交于点 P（P 异于点 B）,故点 B 且垂直于 BF 的直线与椭圆交于点 Q（Q 异于点B）直线 PQ 与 x 轴交于点 M, .|Ql（i）求 的值；l（ii）若 ,求椭圆的方程.75|sin=9PB【答案】 （I）2；（II ） （i） ；（ii）821.54xy【解析】试题分析：（I）先由 及 得 ,直线 BF 的斜率 ；ca22,bc5,2acb02bkc（II）先把直线 BF,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点 P,Q 横坐标,可得（ii）先由 得 =PMQ7.
13、8PQx7|sin=9MB|sinPQB,由此求出 c=1,故椭圆方程为155|sin73B=21.54xy试题解析：（I） ,由已知 及 可得 ,又因为 ,故直0Fc5a22,bc5,2acb0Bb线 BF 的斜率 .来源:学优高考网 gkstk2bk（II）设点 ,（i ）由（I）可得椭圆方程为 直线 BF 的,PQMxyxy21,54xyc方程为 ,两方程联立消去 y 得 解得 .因为 ,所以直线 BQ 方2c2350,c3PxBQP程为 ,与椭圆方程联立消去 y 得 ,解得 .又因为 ,及1yx214x021cM得 0Mx7.8MPQQx（ii）由（i）得 ,所以 ,即 ,又因为781
14、57PQM,所以 = .75|sin=9PB=|sinBP5|sin73B=又因为 , 所以 ,因此 423Pyxc225403cc5,13c所以椭圆方程为 学优高考网21.54y考点：直线与椭圆.20. （本小题满分 14 分）已知函数 4(),fxxR=-（I）求 的单调性；()fx（II）设曲线 与 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 ,求证：对于任意的()yf=x ()ygx=正实数 ,都有 ;xg（III）若方程 有两个正实数根 且 ,求证： .()=)fa为 实 数 12x， ， 12x1321-4ax+【答案】 （I） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；（II ）见试题解析；（III ）见试fx,题解析.【解析】
