1、例析初中数学习题的拓展与延伸实践表明，培养学生把解题后的反思应用到整个数学学习过程中，养成检验、反思的习惯，是提高学习效果、培养能力的行之有效的方法。解题是学生学好数学的必由之路，但不同的解题指导思想就会有不同的解题效果，养成对解题后进行思考的习惯，即可作为学生解题的一种指导思想。 案例一：借助解题后的反思，培养学生思维的灵活性 在完成解直角三角形“应用举例”的 5 个例题后，启发学生对5 个题目的解题过程进行类比性反思，出示反思题目：请同学们再看看例题的解题过程，特别要注意在这些过程中相同方法的归纳概括，通过类比反思你能发现什么？在教师的引导下，同学们发现这几个题表面虽有许多不同之处，但却有
2、如下几点相同： 它们都有一个实际问题作背景； 都用到了方程的知识； 都用到了锐角三角函数的定义； 都用到了几何知识。在此基础上老师说：我通过解这几个题的过程的反思与同学们相似，我的反思结论是它们都运用了同一个解题思维策略或同一个解题模式，就是实际问题几何化，几何问题方程化，而列方程的根据正好是刚学过的锐角三角函数的定义，这样就把几个例题的思考过程和解题过程统一成了下列模式（板书，并解释每个箭头的意义） 通过对 5 个例题解题后的反思，学生对解决这类问题的思路更加清晰了，并对反思的对象和方法有了一些体会。 案例二：借助解题后的拓展，培养学生思维的深刻性 刘腾同学在解完“梯形 ABCD 中，点 E
3、 是腰 AB 上一点，在腰 CD上求作一点 F，使 CF:FD = BE:EA”之后在作业的反思栏内写道：“老师，如果 E 点在底边上，如何在另一底上找到 F，我有一种方法，不知对否？作法，1. 连结 AC； 2. 作 EO / DC 交 AC 于 O； 3. 作 OF / AB 交 BC于 F。 AE:ED = BF:FC。 ” 同时，另一位学生在作业本中提出同样的问题，写道：“如果，在梯形 ABCD 中，点 E 是底边上一点，那么在另一底边找一点 F，使 AE:ED = BF:FC，应怎样找？” 两位学生对同一个题目，提出了相同的问题，前者解决了问题，但不能用准确的数学语言表述问题，后者虽
4、没有找到解决问题的方法，但能准确的描述问题，两位学生都良好的运用了直觉思维，这本身就是一种创新能力，我及时公布了两位的猜想，并鼓励他们的这种主动猜想的创新精神，公布之后，同学们反映强烈，并进行了广泛的讨论，并且在讨论中思维更加深刻，问题得到引伸，方法也出现了多种。 第二次作业本交上来了，一位学生对在讨论中提出的新方法给出了证明，他写道：“今天王宝说，如下图，已知梯形ABCD，E 是底边的一点，延长腰交于 F，连结 EA 交 AB 与 G 就是昨天刘腾要找的点。我觉得它说的是对的；证明如下：（证明略） ” 我也即时公布了这位学生提供的王宝的发现和他的证明，并说，王宝能想到这种方法，正如他在反思中
5、所说，是他对解过的 P244 第 22 题的反思在这里起了作用，因为当时作了深刻的反思，从而对做过的题目有深刻的映象，自然很容易想到这种方法，因此，同学们应向他学习，解题以后不要停止，一定要多作反思。 接下来的几天中，都有同学围绕着这个问题继续思考，并且有的同学还将此问题作了进一步引伸，如张静在反思中写道：“任意多边形，知道一边上一点，就可以由刘腾那种方法，在其它任一边上找到一点，使与分得的线段的比等于这点分得的这边上的两条线段的比，只要先把多边形变成三角形后就行。对吗？”我批语道：“你已推广了刘腾提出的命题，很好，且你是对的，请试一试能不能给出证明” 。鼓励学生结合解题后的反思，提出问题，并
6、将其指定为反思内容之一，既能充分发挥学生的主体性，又能形成师生互动、生生互动的教学情境，还能培养学生的不断探索的精神，从而使学生的创新意识得到保护和培养。这无疑对学生“心态的开放，主体的凸现，个性的张显”是十分有益的。 通过解题后对习题特征进行反思，用自己的语言或数学语言对习题进行重新概述，培养思维的深刻性，促进知识的正向迁移，提高解题能力。 案例三：借助解题后的延伸，培养学生思维的敏捷性 解完“如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的外接圆的直径，求证：AB?AC = AE?AD”后，引导学生对题目本质特征进行反思，发现此题的圆可以不画出来，因为任意三角形都有外接圆，其外接圆的直径则是
7、客观存在的。直径的位置不一定要画在如图的位置，只要有三角形外接圆的直径出现，就应该有上述结论。通过对题目本质的领悟，再用自己的语言对习题进行概述就得到了“任意三角形的两边、第三边上的高和它外接圆直径四个量中，任知其中三个，就可以求得第四个” ， “三角形两边的积等于外接圆直径和等三边上的高的积” 。通过反思，由于学生已形成了求任意三角形外接圆直径的一种特殊方法性的知识组块，所以在一次公开课上，老师口述完“已知三角形两边分别是 3、6，第三边上的高为 2，求三角形外接圆的直径”时，学生就能脱口说出正确答案是“9”。促进了知识的正向迁移，培养了思维的敏捷性。 经过一段时间课堂教学的具体实施，我发现许多曾经对数学不感兴趣的学生，都对数学有了浓厚的兴趣，他们的小手一次一次举了起来，也使我真正体会到只要你给学生创造一个自由活动的空间，学生便会还给你一个意外的惊喜。
