1、“摸球问题”教学初探2010 年暑假，我参加了山东初中教师远程教育培训，在专题六的专家的讲座中，有一个问题引发了我的极大的困惑和深深的思考。 专家在讲座中提到这样一个题目（这类题目曾在练习册中出现过）： 一个口袋中有形状、大小相同的 2 个黑球,3 个红球,从中任取两球， (1) 一共有几种等可能事件？ (2) 摸到的球都是红球的基本事件有几种？ (3) 摸到的球都是红球的概率是多少？ (4) 摸到的球都是黑球的概率是多少？ (5) 摸到的球一红一黑的概率是多少？ 讲座中及练习册给出的（1） （2）的答案是这样的： 解： （1）可能有的情况有： 红球 1 号，红球 2 号；红球 1 号，红球
2、3 号；红球 1 号，黑球1 号；红球 1 号，黑球 2 号；红球 2 号，红球 3 号；红球 2 号，黑球 1 号；红球 2 号，黑球 2 号；红球 3 号 黑球 1 号；红球 3 号，黑球 2 号；黑球1 号 黑球 2 号。 (2) 摸到的球都是红球的基本事件有 3 种。 分析：此题答案中没有区分（红球 1 号，红球 2 号）与（红球2 号，红球 1 号）的不同，所以有十种情况，但如果认为（红球 1 号，红球 2 号）与（红球 2 号，红球 1 号）是不同的，那么此题应该有 20 种等可能的情况，与答案给的 10 种情况不符。同样的问题就“（2）摸到的球都是红球的基本事件有几种？”这一问题
3、的答案也将发生变化。但是，（3） （4） （5）这三问的答案不变，是否区分（红球 1 号，红球 2 号）与（红球 2 号，红球 1 号）并不影响每种事件发生的概率。 那么，在实际的教学中，应该怎么和学生解释呢？（红球 1 号，红球 2 号）与（红球 2 号，红球 1 号）究竟应该看成一种情况，还是看成两种情况呢？什么时候该看成一种况，什么时候要看成两种情况呢？（这个困惑实际上由来以久，自己一直没有想通，并且也曾多次和教研组的老师们探讨，但始终也没达成一致。因此在教学时很迷茫，自己不确定在教学时究竟怎么办？） 通过在网上和专家及各位老师的交流，我现在对这个问题有了新的认识： 第一： 为了让每一个
4、结果发生的可能性相等，要给红球和黑球分别标号，以下分别叫做红 1、红 2、红 3、黑 1、黑 2。 第二：上面例题的“从中任取两球”说法模糊，这类题目对取法的描述应该更明确一些，因为不同的取法对应不同的实验结果。 我总结了一下，这种题目共有以下情况： （1）如果是一次取出两个球，可想像为将两球捆绑在一起，因此（红 1，红 2）与（红 2，红 1）是同一个整体，所以当作一种情况，也就是和球出现的顺序无关（实际上是高中的组合问题） 。则所有可能情况有十种，红 1 红 2，红 1 红 3，红 1 黑 1，红 1 黑 2，红 2 红 3，红 2黑 1，红 2 黑 2，红 3 黑 1，红 3 黑 2，黑
5、 1 黑 2。可见，摸到的球都是红球的概率是 310 （2）如果是分两次取球，一次取出一个，那么又应该分为两种情况： (a)取出一个球后不放回。 此时， （红 1，红 2）与（红 2，红 1）是不同的，需要加以区分。也就是需要注意球的顺序，这实际是高中的排列问题。用树状图可以得到二十种可能的情况，由树状图可见，摸到的球都是红球的概率是 310 。与上一种情况比较发现， （红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同会导致所有可能的结果数与上面不同，但是（红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同并不影响摸到的球都是红球的概率。 (b) 球取出后再放回。 此时， （红 1，红 2）与（红 2，红
6、1）是不同的，同样需要加以区分。用图表可以得到二十五种可能的情况，摸到的球都是红球的概率是 925 ，因为摸出的球又放回，增加了（红 1，红 1） 、 （红 2，红 2） 、（红 3，红 3） 、(黑 4，黑 4)、 (黑 5，黑 5)五种情况，所以所有可能的结果数有变化，两次都摸到红球的概率也有变化。但是，在这种情况下（红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同也不影响“两次摸到的球都是红球”的概率。 通过上面的分析，我们可以知道，在（1）和（2）的三种情况（红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同并不影响摸到的球都是红球的概率，原因在于（红 1，红 2）与（红 2，红 1）两种情况都符合
7、问题“两次摸到的球都是红球” 。 那么，什么时候（红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同会影响所求概率的结果呢？ （3）如果我们把问题改为“求第一次摸到红球 1 号，第二次摸到红球 2 号的概率是多少？”此时，再求概率时就体现出（红 1，红 2）与（红 2，红 1）的不同了，这时只有（红 1，红 2）满足要求。当然，这个问题只适用于（2）的两种情况，不适用于（1） ，因为（1）是只取一次，一次取出两个。这时（2） （a）的答案应该为 120 ，而（2） （b）的答案则为 125 。 综上所述，我们在今后的教学中给学生出题时应该注意两点： 第一： 题目中要清楚的说明两个球是如何取的，共有三种取法：一次同时取出两个；分两次取，取出后不放回；分两次取，取出后放回。如果取法描述不清，是很容易造成学生误解的。 第二：问题也要具体明确，要说清楚是“求摸到的球都是红球的概率是多少？”还是“求第一次摸到红球 1 号，第二次摸到红球 2 号的概率是多少？”注意引导学生理解两个问题中， （红 1，红 2）与（红2 号，红 1 号）的不同对结果的影响。 在教学中教师只要能够注意上面的问题，那么学生在遇到这类问题时就一定会轻松应对。
