1、0浅析中学解析几何摘要：解析几何，既是数学的一个分支，又是一种重要的数学方法.本文介绍了解析几何产生的背景及其建立,解析几何的建立主要以费尔马的坐标几何和笛卡尔的几何学最为代表. 并通过举例说明的方式简述了解析几何思想.随着解析几何的发展，它的很多思想也渐渐被世人所接受和采纳，其中最基本的思想是数行结合思想.在不断学习和完善解析几何的过程中，人们还对它进行了分类，分为平面解析几何和空间解析几何，并在生产和生活中被广泛应用.文中通过两个例子简述了解析几何的应用.在中学解析几何的学习过程中，也得到了很多启示. 解析几何的核心不是研究对象，而是方法. 关键词：解析几何，产生及其建立，基本思想，应用，
2、启示Abstract: Analytic geometry is a branch of mathematics, and is a kind of important mathematics method too. This paper introduces the background of analytic geometry and established, the establishment of analytic geometry mainly is to Fermat coordinate geometry and Descartes the geometry as the mos
3、t representative. And by the way, for example briefly analytic geometry thought. Along with the development of analytic geometry and many of its idea became known to the world accepted and adopted, one of the most basic thoughts is the few lines combining idea. In the continuous learning and perfect
4、 the process of analytic geometry, people put it into two classes, they are plane analytic geometry and space analytic geometry, and it has been widely used and in production and life. This paper describes the application of this analytic geometry mainly through two examples. In the learning process
5、 of middle school analytic geometry, getting a lot of the enlightenment. Analytic geometry is not the core of the research object, but method.Key words：Analytic geometry, Generation and establish, basic idea, application, enlightenment引言:十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要.德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳
6、沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的.这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就需要提出新的解决方法. 其次，虽然欧式几何提供了一种理性的思维方式，给出了一种数学模式，但它也有一定的局限性，过于抽象，过多的依耐图形；同样，当时的代数过多地受法则和公式的约束，比较抽象，不利于思维的发展.笛卡尔与费尔马都认识到，1如果把代数与几何学中一切精华的东西结合起来，几何学就可以为代数提供直观的图形，而代数又能对抽象的未知量进行推理，互相取长补短.由此，一门新的学科解析几何诞生了.17 世纪的前半叶，
7、在数学中产生了一个全新的分支解析几何. 笛卡尔和费尔马创立解析几何，在数学史上具有划时代的意义.解析几何沟通了数学中以数与行、代数与几何等最基本对象之间的联系.解析几何用代数方法研究几何问题为最基本的思想，在数学的学习和科研中被广泛地应用，同时，解析几何也给人们展示了很多所蕴含的美学成分和启示. （解析几何）一种包含代数和几何两门学科的好处，而没有它们的缺点的方法. -笛卡尔 1.解析几何产生的背景及其建立11 解析几何产生的背景16 世纪后，文艺复新后的欧洲进入了一个生产迅速发展、思想活跃的时代.机械的广泛使用，促使人们对机械性能开始研究，而这需要用到运动学知识和相应的数学理论；建筑的兴盛、
8、河道和堤坝的修建，又提出了有关固体力学和流体学的问题，而这些问题的解决需要精确的数学计算；航海事业的发展，像天文学，实际上也是向数学提出了如何精确测定经纬度，计算各种不同形状物体的面积、体积以及确定重心的方法；望远镜与显微镜的发明，提出了研究凹凸镜的曲面形状问题.德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是作抛物线运动的.要研究这些比较复杂的曲线和解决在天文、力学、建筑、河道、航海等方面的数学问题，显然已有的初级几何和初级代数是无能为力、难以解决的.于是人们迫切地寻找新的数学方法，这就导致了解析几何的产生.12 解析几何
9、的建立17 世纪前半叶，解析几何创立，法国数学家笛卡尔（ Descartes,1596-1650）和费尔马( Fermat,1601-1665)做出了最重要的贡献，成为解析几何学的创立者.其中以费尔马的坐标几何和笛卡尔的几何学最为代表.121 费尔马的坐标几何费尔马，出身于商人家庭，是一位律师，作为业余爱好，他对数学做出了巨大贡献.费尔马关于曲线的研究是从研究阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论开始的.1692 年他写了一本平面和立体的轨迹引论，书中说他找到了一个研究曲线问题的普遍方法.费尔马的坐标能把阿波罗尼奥斯的结果直接译成代数形式.费尔马把他的一般原理叙述为：“只要在最后的结果里出现两个未知数，我们
10、就可以得到一个2轨迹，用这两个量可描绘出一条直线或曲线.”费尔马还领悟到坐标轴可以平移和旋转，因为可以把一个复杂的二次方程，简化到简单形式，并且还知道了一次方程表示直线，二次方程代表圆锥曲线等.122 笛卡尔的几何学笛卡尔，首先是一位杰出的近代哲学家.他是近代生物学的奠基人、第一流的物理学家，同时也是一位数学家.1637 年,笛卡尔写的更好地指导推理和寻求科学真理的方法论一书出版，这是一本文学和哲学的经典著作，包括三个著名的附录：几何学、折光和陨星.几何学是他所写的唯一一本数学书，他关于坐标几何的思想，就包括在它的这本几何学中.在几何学一书中，他开始仿照韦达(Vjeta)的方法，用代数解决几何
11、作图题，后来才逐渐出现了用方程表示曲线的思想.笛卡尔的几何学虽然不像现在的解析几何那样，给读者展现出一个从建立坐标系和方程到研究方程的循序过程，但是他通过具体的实例，确实表达了他的新思想和新方法.尽管这在形式上没有现在的解析几何那样完整，但它在本质上却是地道的解析几何.2.解析几何的基本思想解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题，形成数形结合的数学思想，使几何图形的直观性与代数式子的抽象性得到更好的融和. 笛卡尔的理论以两个概念为基础：坐标概念和利用坐标方法把两个未知数的任意代数方程看成平面上的一条曲线的概念.因此，解析几何就是在采用坐标方法的同时，运用代数方法研究几何对象.21 解析几
12、何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系.取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系 oxy.利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x ,y)建立起一一对应的关系.除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等.在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标.坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以把空间形式的研究归结成比较成熟的数量关系的研究了.用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法.这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的.解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学
13、，使数学进入了一个新的发展时期，这就是数学变量的时期.解析几何在数学发展3中起了推动作用.恩格斯对此曾经作过评价：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成了必要.”2.2 解析几何要解决的问题解析几何为解决几何问题和代数问题提供了一种新的方法.它可以把一个几何问题转化为一个代数问题，求解之后再还原成一个几何问题；也可以将一个代数问题转化为一个几何问题，求解之后再转化成一个几何问题.其要解决的主要问题有：1） 通过计算来解决作图问题，如：分线段成已知比例.2） 求具体某种几何性质的曲线的方程，如：到一定点和一一定直线距
14、离相等的点的轨迹抛物线.3） 用代数方法证明新的几何定理，如：三角形的三条高线相交与一点.4） 用几何方法解代数方程，如：用抛物线与圆的交点解三次和四次方程.23 解析几何的思想，方法和基本观念解析几何的基本思想是用代数的方法研究几何问题.但是要用代数的方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何之间的联系，而代数与几何各自压缩到最基本的概念，分别是数与点.于是，这种联系的首要问题是建立点与数之间的关系.坐标系就是实现这一联系的桥梁.有了坐标系这种特定的数学结构，就可以把点与数结合、统一起来，实现了数与点的一一对应.这种以坐标法为基础，把数看成点，反之也能把点看成数的观念是解析几何的第一个基本观念；
15、此外，以坐标法为基础，把方程和曲线结合、统一起来，把方程看成曲线，反之把曲线看做是方程的观念是解析几何的第二基本观念，从而实现了用代数方法研究几何图形的性质和形状，实现了几何的“算术化”与“数字化”.同时，根据这两个观念，又能使数与方程得到直观的几何解释，促进了代数的发展.3中学解析几何的分类及其应用31 中学解析几何的分类中学解析几何可以分为平面解析几何和空间解析几何.在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质.在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面.如4圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线(x
16、/a )+(y /b )=122(x /a )-(y /b )=122=2pxy2标准方程ab0 a0,b0 p0x-a , a x(-,-aa,+) x0,+)范围y-b , b yR yR关于 x 轴，y 轴，原点对称 -关于 x 轴，y 轴，原点对称关于 x 轴对称顶点 (a,0),(-a,0),(0,b), (0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0)焦点其中 c =a -b 22其中 c =a +b 22(p/2,0) 准线 x=(a )/c x=(a )/c x=-p/2渐近线 y=(b/a)x 离心率 e=c/a, e(0,
17、1) e=c/a, e(1,+) e=1PF =a + ex1PF =ex +a 1焦半径PF =a - ex2PF =ex -a2PF=x+p/2焦准距 p=( b )/c p=( b )/c p通径 (2 b )/a2(2 b )/a22px=acos x=asec x=2pt2参数方程 y=bsin， 为参数y=btan, 为参数y=2pt,t 为参数过圆锥曲线上一点(x ,y )的切线方0程(x x/ a )+( 02y y/ b )=1(x x/ a )-( y y/ 020b )=1y y=p(x0+ x ) 5斜率为 k 的切线方程y= kx 22bkay=kx 22bkay=k
18、x+p/2k32 中学解析几何的应用椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中也被广泛应用.比如在电影放映机的聚光灯泡的反射面（椭圆面）上，灯丝在一个焦点上，影片门则在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的.例：电影放映机上聚光灯泡的反射镜的轴截面是椭圆的一部分，灯泡在焦点 F2 处，且与反射镜的顶点 A 距离为 1.5cm，椭圆的通径|BC|为 5.4cm，为了使电影机片门获得最强的光线，片门应安装在另一焦点处，那么灯泡距离片门应是多少？解：设焦距|F1F2|=2C，则点 B 的坐标为（c，2.7），且点 B 在椭圆上，由椭圆定
19、义知|BF1|+|BF2|=2|OA|， +2.7=2（c+1.5）237.)(c解得 2c=12cm因此,镜头应安在距灯炮 12cm 处 解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质.运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案.例：已知，A 是抛物线 y22x 上的一动点，过 A 作圆(x1) 2y 21 的两条切线分别切圆于 EF 两点，交抛物线于
20、M、N 两点，交 y 轴于 B、C 两点（）当 A 点坐标为(8，4)时，求直线 EF 的方程；（）当 A 点坐标为(2，2)时，求直线 MN 的方程；（）当 A 点的横坐标大于 2 时，求ABC 面积的最小值.解：（） DEFA 四点共圆 EF 是圆（x1） 2y 21 及(x1)(x8)y(y4)0 的公共弦 EF 的方程为 7x4y80（）设 AM 的方程为 y2k(x2)6由 kxy22k0 与圆(x1) 2+y21 相切得1 |-|k k 43把 y2 （x2）代入 y22x 得：M( ， )，923而 N(2，2) MN 的方程为 3x2y20（）设 P(x0，y 0)，B(0，b
21、)，C(0，c)，不妨设 bc，则有直线 PB 的方程为 yb ，x0-即(y 0b)xx 0yx 0b0又圆心（1，0）到 PB 的距离为 1， 1，200)(|-|xy故（y 0b） 2x （y 0b） 22x 0b(y0b)+ x b2 0又 x02，上式化简得 （x 02）b 22y 0bx 00 同理有 （x 02）c 22y 0cx 00故 b，c 是方程（x 02）t 22y 0tx 00 的两个实数根 bc ，b*c ， 则有-0y-0(bc) 2 20)-(8x4 P(x 0，y 0)是抛物线上的点， 有 y 2x 0， 则有2(bc) 2 ，bc ，20)-(4x-0xS
22、PBC (bc)x 0 x 02 42 481-40当（x 02） 24 时，上式取等号，此时 x04，y2 2OCNFEMBD XY A7因此 SPBC 的最小值为 84.解析几何带来的启示解析几何的重要性在于它的方法-建立坐标系，用方程来表示曲线，通过研究方程来研究曲线.苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的解析几何前言中说：“解析几何没有严格确定的内容，对它来说，决定性的因素，不是研究对象，而是方法.”“这个方法的实质，在于用某种标准的方式把方程（方程组）同几何对象（即图形）相对应，使得图形的几何关系在其方程的性质中表现出来.” 由于解析几何方法解决各类问题的普遍性，它已成为几何研究中的一个
23、基本方法.不仅如此，它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域，如力学和物理学之中，应用解析几何的方法，可以研究很多具体的对象.因此我们学习解析几何，主要是掌握它的基本思想、基本方法，而不仅仅在于记住它的某些具体结论.解析几何的基本方法，包括两个方面：一是由图形到方程，二是从方程到图形，也就是选择坐标系，建立图形方程.通过对方程的研究得到图形的性质，了解图形的形状.迪卡尔留给后人一个很深刻的教训，就是在他的研究中，因为讲了很多很多作图题，从而把他的关于解析几何的基本思想淹没了.因此在学习解析几何的初期，应该要把学习的目的放在掌握基本方法上，采取“研究对象简单一些，突出基本方法”的方针，避免发生因为
24、研究对象复杂，引起很多枝节，从而淹没了基本方法的现象.5.结语综上所述，解析几何把代数和几何结合起来，一方面，几何概念可以用代数表示，几何的目的通过代数来达到.反过来，另一方面，给代数概念以几何解释，可以直观地掌握这些概念的意义.解析几何不是一个巨大的成就，但在方法论上却是一个了不起的创建.十七世纪以来数学的巨大发展，在很大程度上应归功于解析几何，可以说微分学和积分学如果没有解析几何的预先发展是难以想象的.参考文献:1 蒋大为编著.空间解析几何及其应用M.科学出版社，2003-9.2绿林根、许子道编.解析几何第四版M.高等教育出版社，1986-11.83刘连璞编著.平面解析几何方法与研究M.北京大学出版社，1999.4汪晓勤.解析几何的产生（四）J.2008 年 11 期.5尤承业.解析几何M.北京大学出版社.2004-01 版.6邓收才.新编平面解析几何解题方法全书：专题讲座卷M.哈尔滨工业大学出版社.2010-01.7薛有才编著.数学文化M.机械工业出版社，2009-7.8董世、周沛耕编.平面解析几何的基本问题和思维方法M.山西人民出版社，1986.6.9 唐修颖主编.数学题解辞典:平面解析几何M.上海辞书出版社，1983.6.10胡国权编著.几何与代数导引M. 科学出版社，2006-8.
