1、基本不等式重要不等式均值定理习题及详解一、选择题1(2010山东东营质检)在下列各函数中，最小值等于 2 的函数是( )Ayx1xBy cosx1cosx(00，y0，且 1，若 x2y m22m 恒成立，2x 1y则实数 m 的取值范围是( )Am4 或 m2 Bm2 或 m4C20，y 0，且 1，2x 1yx2y(x 2y)( )4 42 8，当且仅当 ，即 x2y 时取等2x 1y 4yx xy 4yxxy 4yx xy号，又 1，x4，y 2，(x2y )min8，要使 x2ym 22m 恒成立，只需( x2y)2x 1yminm22m，即 8m22m，解得 40，a 7a 62a
2、5，设a n的公比为 q，则a6qa 6 ，q 2q20，q0，q2，2a6q 4a 1，a 12qmn2 16a 12，mn24，amanmn6， (m n) ，等号在 ，即1m 4n 16 (1m 4n) 165 nm 4mn 16(5 2nm4mn) 32 nm 4mnn2m4 时成立3(2010茂名市模考)“a ”是“对任意的正数 x，均有 x 1”的( )14 axA充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件答案 A解析 a ，x 0 时，x 2 1，等号在 x 时成立，又 a4 时，14 ax xax 12x xax 4x2 4 也满足 x 1，故选 A.x4x
3、 ax4(2010广西柳州市模考)设 a，bR，则“ab1”是“4ab1”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件答案 A解析 a，b 中有一个不是正数时，若 ab1，显然有 4ab1 成立，a，b 都是正数时，由 1ab2 得 4ab1 成立，故 ab14ab1，但当 4ab1 成立时，未必ab有 ab1，如 a5，b1 满足 4ab1，但511，故选 A.5若 a0，b0，a，b 的等差中项是 ，且 a ， b ，则 的最小值为( )12 1a 1bA2 B3 C4 D5答案 D解析 为 a、b 的等差中项，ab 21.12 12a b 1 1 1
4、，1a 1b 1a 1b a bab 1ab ，ab .原式14.aba b2 a b24 14 的最小值为 5.故选 D.6(文)若直线 2axby 20( a0，b0)被圆 x2y 22x 4y10 截得的弦长为 4，则 的最小值是( )1a 1bA1 B2 C3 D4答案 D解析 圆(x1) 2( y2) 24，弦长为 4，故为直径，即直线过圆心(1,2) ，ab1. (ab)2 4.1a 1b (1a 1b) ba ab当且仅当 ab 时取等号12(理)半径为 4 的球面上有 A、 B、C 、D 四点，AB ，AC ，AD 两两互相垂直，则ABC、 ACD、ADB 面积之和 SABC
5、S ACD S ADB 的最大值为( )A8 B16 C32 D64答案 C解析 根据题意可知，设 ABa，AC b，ADc，则可知 AB，AC，AD 为球的内接长方体的一个角故 a2b 2c 264，而 SABC S ACD SADB (abacbc)12 32.a2 b2 a2 c2 b2 c24 a2 b2 c22等号在 abc 时成立8337(文)已知 c 是椭圆 1(ab0)的半焦距，则 的取值范围是( )x2a2 y2b2 b caA(1，) B( ，)2C(1， ) D(1 ， 2 2答案 D解析 由题设条件知，a1，b caa 2b 2c 2， 2， .故选 D.b c2a2
6、b2 c2 2bca2 2b2 c2a2 b ca 2(理)已知 F1、F 2 分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，P 为双曲线右支上x2a2 y2b2的任意一点，若 的值为 8a，则双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( )|PF1|2|PF2|A(1，) B(1,2C(1， D(1,33答案 D解析 |PF 2|4a4a4a8a，当且仅当|PF1|2|PF2| 2a |PF2|2|PF2| 4a2|PF2| |PF2|，即 |PF2|2a 时取等号这时 |PF1|4a.由| PF1|PF 2| F1F2|得 6a2c，即4a2|PF2|e 3，e(1,3ca8(2010南昌市模拟)已
7、知 a，bR ，ab1，M 2 a2 b，则 M 的整数部分是( )A1 B2 C3 D4答案 B解析 a，bR ，ab1，0b0，则集合 M 等于( )abAEF BEFCE( RF) D( RE)F答案 C解析 ab0，a b，a a2 a b2 ab b2如图可见集合 M 在 E 中，不在 F 中，故 ME RF.10(文)(2010衡水市模考)已知 ABC 中，点 D 是 BC 的中点，过点 D 的直线分别交直线 AB、AC 于 E、F 两点，若 (0)， (0)，则 的最小值是( )AB AE AC AF 1 4A9 B. 72C5 D.92答案 D解析 ( )ED AD AE 12
8、AB AC AE ( ) ，12 AE AF AE (2 1)AE 2AF .EF AF AE 与 共线，且 与 不共线， ，ED EF AE AF 2 1 1212， ( )1 4 12(1 4) ，等号在 ， 时成立12(5 4) 92 43 23(理)(2010广东省高考调研)如图在等腰直角 ABC 中，点 P 是斜边 BC 的中点，过点P 的直线分别交直线 AB、AC 于不同的两点 M、N ，若 m ， n ，则 mn 的最AB AM AC AN 大值为( )A. B1 12C2 D3答案 B解析 以 AC、AB 为 x、y 轴建立直角坐标系，设等腰直角ABC 的腰长为 2，则 P点坐
9、标为(1,1)， B(0,2)、C(2,0)， m ， n ，AB AM AC AN ， ，M 、N ，AM AB m AN AC n (0，2m) (2n，0)直线 MN 的方程为 1，my2 nx2直线 MN 过点 P(1,1)， 1，mn2，m2 n2mn2 ，mn 1，当且仅当 mn1 时取等号，mn 的最大值为mnm n241.二、填空题11(2010山东聊城、山东邹平一中模考) 已知 b0，直线 b2xy10 与 ax(b 24)y20 互相垂直，则 ab 的最小值为_答案 4解析 两直线垂直，ab 2(b 24) 0，a ，b0，ab bb2 4b2 b2 4b4，等号在 b ，
10、即 b2 时成立4b 4b12(文)(2010重庆文，12)已知 t0，则函数 y 的最小值为_t2 4t 1t答案 2解析 y t 4t2 4t 1t 1t因为 t0，yt 42 42.1t t1t等号在 t ，即 t1 时成立1t(理)(2010安徽合肥六中质检)已知三个函数 y2 x，y x 2， y 的图象都过点 A，且点8xA 在直线 1(m0，n0) 上，则 log2mlog 2n 的最小值为 _xm y2n答案 4解析 由题易得，点 A 的坐标为 (2,4)，因为点 A 在直线 1( m0，n0)上，所xm y2n以 1 2 ，mn 16，所以 log2mlog 2nlog 2(
11、mn)4，故 log2mlog 2n 的最2m 42n 2m42n小值为 4.13(文)(2010南充市)已知正数 a，b，c 满足：a2bc1 则 的最小值为1a 1b 1c_答案 64 2解析 421a 1b 1c a 2b ca a 2b cb a 2b cc (2ba ab) (ca ac) (cb 2bc) 2 2 4 64 ，2 2 2等号在 ， ， 同时成立时成立2ba ab ca ac cb 2bc即 ac b 1 时等号成立222(理)(2010北京延庆县)已知 x0，y0，lg2 xlg8 ylg2，则 xy 的最大值是_答案 112解析 lg2 xlg8 ylg2，2 x
12、8y2，即 2x3y 2，x3y1，xy x(3y) 13 132 ，等号在 x3y ，即 x ，y 时成立(x 3y2 ) 112 12 1614(文)(2010重庆一中)设 M 是ABC 内一点，且 2 ，BAC30，定义AB AC 3f(M)( m，n，p)，其中 m，n ，p 分别是MBC，MCA，MAB 的面积若 f(M)，则 的最小值是 _(12，x，y) 1x 4y答案 18解析 | | |cos30AB AC AB AC |AB|AC|2 ，|AB|AC |4，32 3由 f(M)的定义知， SABC xy，12又 SABC |AB|AC|sin301，12xy (x0，y 0
13、)12 2(xy) 2 2(52 )18，等号在 ，即 y2x 时成1x 4y (1x 4y) (5 yx 4xy) 4 yx 4xy 13立， min18.(1x 4y)(理)(2010江苏无锡市调研)设圆 x2y 21 的一条切线与 x 轴、y 轴分别交于点 A，B，则 AB 的最小值为 _答案 2解析 由条件知切线在两轴上的截距存在，且不为零，故设切线方程为 1，则xa yb1，aba2 b2a 2b2a 2b 22ab，切线与两轴交于点 A(a,0)和(0，b)，不妨设a0，b0，ab2，则 AB| AB| 2.a2 b2 2ab三、解答题15已知 、 都是锐角，且 sinsin co
14、s( )(1)当 ，求 tan 的值；4(2)当 tan 取最大值时，求 tan()的值解析 (1)由条件知，sin sin ，22 (4 )整理得 sin cos0，32 12 为锐角， tan .13(2)由已知得 sinsincoscossin 2sin，tansin cossin 2tan，tan sincos1 sin2 sincos2sin2 cos2 .tan2tan2 1 12tan 1tan 122 24当且仅当 2tan 时，取 “”号，1tantan 时， tan 取得最大值 ，22 24此时，tan( ) .tan tan1 tantan 216(文)(2010江苏盐城
15、调研)如图，互相垂直的两条公路 AM、AN 旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个更大的三角形花园 APQ，要求 P 在射线 AM 上，Q 在射线 AN上，且 PQ 过点 C，其中 AB30 米，AD20 米记三角形花园 APQ 的面积为 S.(1)当 DQ 的长度是多少时，S 最小？并求 S 的最小值(2)要使 S 不小于 1600 平方米，则 DQ 的长应在什么范围内？解析 (1)设 DQx 米( x0)，则 AQx20， ， ，QDDC AQAP x30 x 20APAP ，则 S APAQ30x 20x 12 15x 202x15(x 40)1200，当且仅当 x20 时取等号40
16、0x(2)S1600，3x 2200x12000，0x 或 x60203答：(1)当 DQ 的长度是 20 米时，S 最小，且 S 的最小值为 1200 平方米；(2)要使 S 不小于 1600 平方米，则 DQ 的取值范围是 0DQ 或 DQ60.203(理)某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售量 Q(万件)与广告费 x(万元 )之间的函数关系为 Q (x0)已知生产此产品的年固定投入为 3 万元，3x 1x 1每生产 1 万元此产品仍需再投入 32 万元，若每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和(1)试将年利润 W(万元)
17、表示为年广告费 x(万元)的函数；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？解析 (1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q 3)万元，每万件销售价为150% 50%，32Q 3Q xQ年销售收入为( 150% 50%)Q32Q 3Q xQ (32Q3) x，32 12年利润 W (32Q3) x(32 Q3) x32 12 (32Q3x ) (x0) 12 x2 98x 352x 1(2)令 x1t(t1)，则W 50 . t 12 98t 1 352t (t2 32t)t1， 2 8 ，即 W42，t2 32t t232t当且仅当 ，即 t8 时， W 有最大值 42，此时 x7.t2 32t即当年广告费为 7 万元时，企业利润最大，最大值为 42 万元17(文)(2010广州市调研)已知点 F(0,1)，直线 l：y 1，P 为平面上的动点，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且 .QP QF FP FQ (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程；(2)已知圆 M 过定点 D(0,2)，圆心 M 在轨迹 C 上运动，且圆 M 与 x 轴交于 A、B 两点，设|DA |l 1，|DB| l 2，求 的最大值l1l2 l2l1解析 (1)设 P(x，y) ，则 Q(x，1)，
