旋转质量陀螺仪及其运动微分方程.DOC

1、1第三章 旋转质量陀螺仪及其运动微分方程3.1 旋转质量陀螺仪的基本特性旋转质量陀螺仪（简称陀螺）是把转子以某种方式支承起来，使转子具有转动自由度的定点转动刚体。在分析单自由度陀螺仪的运动特性之前，我们首先给出陀螺仪的自由度的概念。陀螺仪的自由度是指陀螺仪转子自转轴相对于壳体的转动自由度。由此可以看出，旋转质量陀螺仪从自由度方面看有单自由度陀螺仪和双自由度陀螺仪两大类。一 旋转质量陀螺仪的简化模型为定性说明陀螺仪的基本特性，首先研究如图 3.1 所示的简化模型：对称刚体以角速度 绕固定点 高速旋转。坐标系 与刚体固连，其中 ， ， 取通过 点的三ooxyzoxyzo根惯性主轴方向，且 轴沿刚体

2、的旋转对称轴。zxyz图 3.1 绕定点高速旋转的刚体o设刚体相对三个主轴的转动惯量分别为 ， ， ，则，刚体的角动量 可表示为xJyz H（3-1 ）xHijk在刚体绕其对称轴高速旋转的情况下，可以认为 ， ，于是可以zxzy得到角动量 的近似表达式（3-2 ）zJHk因为 是刚体绕其旋转对称轴高速旋转的角速度，通常称其为刚体的自转角速度；z而 、 可视为刚体旋转对称轴 轴绕 ， 轴的低速转动，称它们为刚体的进动角速xy xy度。这样，式（3-2）就可说明一个近似结论： “陀螺对点 的角动量 近似等于自转角o动量，其方向始终与旋转对称轴保持一致，即 相对于 坐标系不变。 ”xz有了角动量表达

3、式，就可以用角动量定理（3-3 ）MHdti来研究陀螺的运动规律，即陀螺的基本特性。将式（3-3）写成相对于 坐标系的oxyz欧拉方程形式2（3-4 ）MHdt式（3-4）中的 M 是作用于陀螺上的外力矩。由于 相对于 坐标系不变，所以oxyz有 ，于是式（3-4）可简化为0dtH（3-5 ）式（3-5）中 、 、 三个向量之间的关系符合右手螺旋法则。下面根据此关系式定性讨论陀螺的基本特性。二 双自由度陀螺仪的基本特性1 双自由度陀螺仪的进动性所谓双自由度陀螺仪是指陀螺仪转子的自转轴具有两个转动自由度的陀螺仪。如图3.2所示，陀螺仪转子仅受 点约束，角动量 沿旋转对称轴 方向，如果在 轴方向施

4、加oHozox外力矩 ，那么 轴（即旋转对称轴）将绕 轴以角速度 转动。不难看出，自转轴MHy的转动角速度 不是沿外力矩 的方向，而是沿与外力矩 相垂直的 轴方向。这ozMMy种陀螺转子自转轴在外力矩作用下绕与外力矩相垂直的方向转动的运动，称为陀螺的“进动运动”简称“进动” （Spin Precession） ，角速度 称为陀螺的“进动角速度” 。这种高速旋转的陀螺在外力矩作用下产生进动的特殊性能，称为陀螺的“进动性” 。它是陀螺运动的一个重要的特征。为便于记忆，陀螺的进动可按如下方法来判断：“在外力矩作用下，陀螺的进动是使 轴以最短的路径倒向外力矩 的方向” 。H图 3.2 双自由度陀螺仪的

5、进动把 展开，写成 坐标轴的分量式有：MHxyzo zyxxyxzyMH00zyxxy03于是有：（3-6 ）yxyMH由式（3-6）可以看出，当 沿陀螺旋转对称轴 oz 轴方向时，沿 x 轴方向的外力矩将使 H 产生 方向的进动角速度 ，并且进动角速度的大小为xMoyyx或者反过来说，如果要使 轴绕 轴以角速度 进动，则必须沿 轴方向施加外oyyox力矩 并使x yxHM同理，沿 轴方向的外力矩 ，将使 产生沿 轴的进动角速度，其量值大小为oyyoyx其中负号表示方向是沿 轴的负方向。x如果要使 轴绕 轴以角速度 进动，则必须沿 轴方向施加外力矩 并使HoxoyyMxyHM负号表示力矩方向是

6、沿 轴的负方向。y由上也可以看出，与 同方向的外力矩 不会引起陀螺 轴的进动，只有与 方z H向垂直的外力矩分量才会使 轴产生进动。2 双自由度陀螺仪的定轴性当作用于陀螺上的外力矩 时，0（3-7 ）0dtiH由此可以得出： （3-8 ）cons式（3-8）说明，在 的情况下，角动量 不仅大小保持不变，而且在惯性空间0M的方向也保持不变。由于 和自转轴始终保持重合，所以当作用于陀螺上的外力矩为零时，H高速旋转的陀螺的自转轴在惯性空间的方向将保持不变。这就是陀螺的“定轴性” （spin stabilization） 。根据牛顿定律，对于任一物体，在所受外力为零并且初始状态为静止状态时，它也会永远

7、保持静止不动，物体上的任意一条线在惯性空间也将保持方向不变。那么，上述陀螺的定轴性还有什么特殊的意义呢？4众所周知，在实际问题中，突然的、微小的干扰（例如撞击等）总是不可避免的，对于一般静止的物体，当受到外界干扰后则不能保持其原来的静止状态而发生运动。但是，对于高速旋转的陀螺，当受到突然的外界干扰力矩作用时，陀螺将产生进动。由于干扰力矩一般都很小，而陀螺角动量 却很大，所以由干扰力矩所引起的进动角速度也非常小。H当干扰力矩消失后，陀螺的进动也随之消失，陀螺的自转轴又保持不动。而干扰的作用时间一般总是短暂的，因而在进动角速度 很小、进动时间很短的情况下，陀螺自转轴在干扰力矩作用后偏离初始位置的角

8、度实际上是非常小的，因而仍可看作为 轴的方向不变。H由此可见，所谓陀螺的定轴性实质上是指陀螺具有巨大的抗干扰能力。陀螺的定轴性在许多技术领域得到了广泛的应用。例如枪筒、炮筒内的来复线可以使枪弹、炮弹射出时获得极高的自转角速度以保持其定向性，从而提高命中率。儿童玩具陀螺、杂技表演中的转碟等都是利用了陀螺的定轴性而得以稳定的。在近代导航技术中，利用陀螺的定轴性和进动性做成各种陀螺仪表及控制系统进行导航，使导航技术进入了一个新时代。3 陀螺力矩与陀螺效应已经知道，当陀螺受到外力矩作用时，陀螺将会产生进动。根据作用力与反作用力的概念，在陀螺进动过程中，对应外力矩必然存在一个与它大小相等，方向相反的反作

9、用力矩。它与外力矩同时出现、同时消失，并且作用在对陀螺施加力矩的物体上，通常称该力矩为“陀螺反作用力矩” ，简称“陀螺力矩” 。对于高速旋转的物体，当我们强迫它的旋转轴以角速度 转动时，就好像强迫它“进动”一样，这时，高速旋转的物体就会象陀螺那样给强迫其“进动”的物体一个反作用力矩 ，这个反作用力矩不是在轴的旋转平面内，而是在和旋转轴平面相垂直的平面内，GM即反作用力矩 垂直于旋转轴和角速度矢量 所组成的平面。这个反作用力矩就是陀螺力矩。对于高速旋转的物体，当旋转轴改变方向时，就会产生陀螺力矩的现象，称之为“陀螺效应” 。既然陀螺力矩为反作用力矩并且和外力矩大小相等、方向相反，则可以写出陀螺力

10、矩的表达式为（3-9 ）HMG陀螺力矩和陀螺效应不仅在陀螺仪中非常重要，而且在一般的具有高速旋转转子的工程问题中，陀螺效应也具有特殊重要的意义上述进动性、定轴性和陀螺效应是双自由度陀螺仪所具有的特殊性能，总称为陀螺的三大特性。前面我们已经初步了解了陀螺力矩的概念，下面再进一步阐述其物理实质。如图 3.3 所示，把陀螺转子近似地看作均质圆盘，自转角速度 ，同时自转轴进动角5速度 ，且 。取定坐标系 （图中未画出） ，原点在转子中心 ，动坐标系 oxyz o，原点也在 ，oz 轴与转子自转轴重合， ， 轴在转子赤道平面内，动坐标系与oxyzooy转子固连，但不参与转子自转。图 3.3 陀螺力矩的物

11、理实质设：初始时， 与 完全重合oxyz下面分析转子上任一质点 的运动，动坐标系绕 y 轴的转动为牵连运动，圆盘绕 z 轴的i转动为相对运动。若质点 距中心 之向径为 ，则： 点的牵连加速度为 ，方向平行ioiri cos2icra轴，指向 轴，相对加速度 ，其方向指向中心 ；哥氏加速度xy2ia，其方向沿 轴正向，设 点的质量为 ，则相应的惯性力为：sin2ikirazim方向与相应的加速度方向相反。kikirrciciaQ由于转子是均质、对称圆盘，因此圆盘上全部质点的牵连惯性力和相对惯性力均是成对出现，即： 。对于圆盘上各点之哥氏惯性力，可以看出，在 轴,0ciri x以上的半圆内，所有各

12、点之 均指向 轴负向； 轴以下的半圆内，所有各点之 均指kizxkiQ向 轴正向。由于圆盘对称，所以 相对于 轴完全对称。因而所有哥氏惯性力对 轴z iy y之矩的总和 0kyM又由于全部哥氏惯性力都平行于 轴，故所有哥氏惯性力对 轴之矩的总和 。zz0kzM而哥氏力对 轴之矩：x iiiikix rmrQ2snsn转子上所有点的哥氏惯性力对 轴之矩总和为：6ni iinikixkx rmM121s2由于 ，所以iirysn22siniyr又由于圆盘对称，所以 22iixmyZiii J)(2于是哥氏惯性力矩为：HJMZk方向沿 轴负向。x这个哥氏惯性力矩就是转子给予迫使其进动的施加外力矩物体

13、的反作用力矩，即陀螺力矩。一般情况下：当 与 不垂直时，可将 分解为 和 进行计算。对12/于一般情况，可以证明，哥氏惯性力对 点之矩为：o（3-10 ）kH由此可见，所谓陀螺力矩就是转子内所有质点的哥氏惯性力对 点之矩的总和，即哥o氏惯性力矩。这就是陀螺力矩的物理实质。三 单自由度陀螺的基本特性1 单自由度陀螺感受转动的特性如图 3.4 所示，单自由度陀螺只有一个框架，相对基座（壳体）而言，自转轴只有一个自由度，即绕框架轴转动的自由度。图 3.4 基座转动时单自由度陀螺仪的运动取右手直角坐标系 。其中，坐标系原点 为陀螺的几何中心， 轴沿框架轴，oxyzoox轴与 轴相垂直， 轴与转子自转轴

14、重合，并垂直于 平面，oyx xy(1) 当基座相对惯性空间绕 轴转动时，由于转子自转轴有绕 轴转动的自由度，因7此自转轴不会敏感基座的运动。(2) 当基座相对惯性空间绕 轴转动时，由框架轴承推力产生的力矩与 轴方向相同y y（角速度方向） 。由于陀螺转子自转轴有绕 轴转动的自由度，根据刚体进动特性，陀螺将x绕 轴进动，进动方向符合右手法则。也就是说，陀螺用其自转轴的进动反映了基座的运x动。(3) 当基座相对惯性空间绕 轴转动时，作用于转子的力矩的方向与自转轴重合，不会z产生进动，只是改变了陀螺仪自转角动量的大小。 （自转轴不变方向，转动被隔离）综上可以看出：只有在基座绕 轴转动时，陀螺才会产

15、生进动。换句话说，单自由度y陀螺仪能够敏感绕 轴的转动。所以，一般称 轴为单自由度陀螺的输入轴， 轴为单自y x由度陀螺的输出轴。2 外力矩作用下单自由度陀螺的进动当外力矩沿 轴方向时，陀螺具有绕 轴进动的趋势，如果基座没有相对惯性空间绕xy轴的转动，框架轴两端的轴承的约束力使自转轴的进动不能实现，而约束产生的力矩是y在 轴线上，该力矩使陀螺自转轴绕 轴进动，这与普通刚体在外力矩作用下的转动规律x是相同的；如果基座相对惯性空间绕 轴有转动，且角速度 时，框架轴上的yHMxY支撑不再产生约束力矩，陀螺仪绕 轴的进动角速度 就可以实现， 就不会使自xx转轴绕 轴转动。对于后一种情况，也可以有另一种

16、解释：当基座绕 轴以角速度 转动x y时，便产生绕框架轴的陀螺力矩 作用在陀螺仪上，使陀螺仪绕框架轴转动。自转轴趋H向于与 轴重合；如果绕框架轴有外力矩 ，并且它的大小正好与陀螺力矩 相等方yM向相反，则二力矩平衡，陀螺仪就不会出现绕框架轴的转动。图 3.5 外力矩作用下单自由度陀螺仪的运动(2) 当外力矩沿 轴方向时，由于陀螺转子的自转轴具有绕 轴转动的自由度，根据y x刚体进动特性，陀螺将绕 轴进动，进动方向符合右手法则。也就是说，陀螺用其自转轴x的进动反映了外力矩的大小和方向，考虑前面单自由度陀螺感受转动的特性，这与基座相对惯性空间绕 轴转动是等价的。y(3) 当外力矩沿 轴方向时，力矩

17、的方向与自转轴重合，不会产生进动，只是改变了陀z8螺仪自转角动量的大小。这与基座相对惯性空间绕 轴转动也是等价的。z由以上讨论可以看出，作为一种传感器，单自由度陀螺仪能够敏感基座绕 轴的转动y（或力矩） ，其输出就是自转轴绕 轴的进动。x3 关于单自由度陀螺漂移率单自由度陀螺受到沿框架轴的干扰力矩 作用时，具有绕 轴进动的趋势，这个趋xMy势的角速度可以表示为 Hxd当基座绕 轴（即输入轴）相对惯性空间没有转动时，陀螺仪的进动无法实现，于是y干扰力矩使陀螺绕框架轴转动。但是，当基座相对惯性空间绕输入轴转动，且角速度时，陀螺仪的这种进动便能够实现，干扰力矩就不会使陀螺绕输出轴转动。yd作为一种传

18、感器，我们希望，当基座绕输入轴无转动时，陀螺仪绕的输出为零；当基座绕输入轴有转动时，陀螺仪有输出转角。显然，干扰力矩的作用产生了相反的结果，陀螺输入为零时，输出不为零，输入是 时，输出才为零。因此，在描述单自由度陀螺的精d度时，需要知道输入角速度为何值时，输出才处于零位，这个输入角速度的量值就称为单自由度陀螺的漂移率，其计算式为（3-11 ）HMd单自由度陀螺的基本作用是感测壳体相对于惯性空间的角运动。显然，漂移率越小，感测的精度也就越高。3.2 双自由度陀螺仪的运动方程与动力学分析前面我们将陀螺简化为一个单纯的对称转子，并在假设 轴永远与转子轴相重合的条件下总结出了陀螺的基本运动规律三大特性

19、。虽然这些特性是基本的，也是工程中主要被应用到的，但它并不是陀螺的全部性质，这种简化条件下，对工程中出现的某些陀螺运动现象无法解释（如陀螺章动引起的漂移现象） 。因而需要将陀螺作为一个具有转子、内环、外环的刚体系，利用基本的力学原理列写陀螺仪的完整的运动微分方程，加以求解，从而找到其基本运动规律。但是，由于实际陀螺的结构是非常复杂的，所以在列写完整的运动微分方程时，仍然要做如下的简化假设：（1）转子绕对称轴匀速自转；（2）自转角动量远大于非自转角速度造成的角动量；（3）转子的质心与支撑框架的中心重合；（4）陀螺系统的各个部件都是刚性的。一般说来，可以用三种方法建立陀螺的运动微分方程，即欧拉动力

20、学方程、拉格朗日第二类方程、达伦贝尔原理（动静法）这里首先简单介绍欧拉动力学方程方法。 9一 双自由度陀螺运动微分方程1 陀螺仪完整的运动方程如图 3.5 所示，取 为固定坐标系，中心 在陀螺的几何中心。oXYZo取 为陀螺坐标系，与内环固连（亦称内环坐标系或莱查坐标系） ，其中 轴与内oxyz x环轴重合， 轴与转子自转轴重合， 轴在转子的赤道平面内，并服从右手坐标系规则。y最初 与 重合。XYZ图 3.5 二自由度陀螺仪的坐标系对于二自由度陀螺，自转轴有两个自由度，所以可以用两个坐标系的相对位置表示。其转子轴的位置可用广义坐标 ， 来表示，其中 是转子轴绕外环轴的转角， 则是绕内环轴的转角

21、，相应的角速度用 ， 表示，转子绕自转轴的转角用 表示，自转角速 度 ，并且与 轴重合，设 的正方向分别与 ， ， 轴的正方向一致。zoYxz考虑刚体定点转动欧拉动力学方程为（3-12 ）zyxyzzxy xzyzxMHdttd其中， , , 动坐标系的角速度在动系坐标轴上的投影。 是与刚体固连xyz oxyz的动坐标系，并沿刚体的三个惯性主轴方向。陀螺是由转子、内环、外环所组成的刚体系。若分别对转子、内环、外环应用欧拉方程列写运动微分方程，可得 个方程，而在刚体系中只有 ， 和 三个广义坐标，93所以 9 个方程中只有 3 个独立，6 个非独立，它们反映了三根框架轴轴承内力矩之间的依赖关系。

22、如果我们有兴趣的只是陀螺自转轴的运动而不求取轴承内的约束反力，那么只要写出不含轴承约束反力的三个独立方程即可。具体列写方法如下：10（1）单独考虑转子，列写欧拉方程在 轴的投影式。该式与内、外环轴承上的约束oz反力无关，而转子轴上的约束反力对 轴的力矩为零，所以式中 只含作用在转子轴上zM的外力矩，与轴承反力无关。（2）考虑转子和内环系统，列写欧拉方程在 轴（内环轴）上的投影式，该式与外ox环轴上的约束反力无关，而转子轴与内环间的约束反力为系统的内力，方程中不会出现。内环轴上的约束反力对 轴之力矩为零。所以该式中 只包含作用于内环轴上的外力矩，oxx也与轴承反力无关。（3）考虑转子、内环、外环

23、整个系统，列写欧拉方程在 轴（外环轴）上的投影式，oY由于转子轴与内环之间、内环轴与外环之间的约束反力均为内力，式中不会出现，而外环轴上的约束反力对 轴的力矩为零，所以该式中的 只包含作用于外环轴上的外力矩，oYYM也与轴承反力无关。下面具体讨论上述三个方程的列写方法。（1）考虑转子列写欧拉方程在 轴方向的投影式oz对二自由度陀螺，转子有三个自由度，设它的角速度用 来表示，那么c（3-13 ）c在坐标系 （内环坐标系）上的分量为：oxyz（3-14 ）sincoc设转子相对 各轴的转动惯量分别为 ， ， ，且 轴为旋转对称轴，即oxyzcxJyczo，那么转子的角动量 HccyxJ（3-15 ）)sin(oczycxJ动坐标系 与内环固连，不参与转子自转，所以其角速度为： ，写成投oxyz 影形式：（3-16 ）sinco将上述两式代入方程（3-12）的第 3 式可得：（3-17 ）zcxcycz MJJJdt oss)si(