1、 课 程 名 称 原子核物理 授 课 学 期 2008 学年至 2009 学年第 二 学期学 院 物理科学与技术学院 专 业 理论物理 学 号 2008010709 姓 名 梁祚盈 任 课 教 师 孙小军 老师 交 稿 日 期 2009-7-2 成 绩 阅读教师签名 日 期 1目 录【内容摘要】 .2【关键词】 .2引 言 .21、壳模型的实验基础 幻数的存在 .22、核内存在壳层结构的条件 .33、单粒子能级 .44、自旋 轨道耦合 .75、壳层模型的应用 .95.1 对核基态的自旋和宇称的解释 .95.2 对核低激发态自旋和宇称的解释 .115.3 对核的基态磁矩的预告 .115.4 对核
2、的基态电四磁矩的预告 .126、结束语 .14参考文献 .152原子核壳模型08 理论物理（原子核） 2008010709 梁祚盈 指导老师：孙小军老师 【内容摘要】原子核壳模型是最重要的核模型之一。从核物理发展以来，利用壳模型定性以及定量地对原子核进行研究己经取得非常瞩目的成就，加深了人们对原子核内部结构的认识和理解。本文对壳模型结构的核心理论进行了归纳与总结，以此加强自身对该理论的学习。【关键词】幻数；壳模型；单粒子能级；自旋轨道耦合；应用引 言正如原子模型的建立是原子物理学发展史中的最重要环节一样，原子核模型的建立也是原子核物理学发展中最重要的环节。1932 年中子发现以后, 海森堡 （
3、W.K.Heisenberg,1901 1976） 和伊凡宁柯（D.Iwanenko）各自独立提出了原子核是由质子和中子组成的核结构模型。此后，原子核的结构问题，成为物理学家的研究热点之一。1932 年，费米（E.Fermi,1901 1954）提出了气体模型。他把核子（中子和质子） 看成是几乎没有相互作用的气体分子，把原子核简化成一个球体，核子在其中运动，遵守泡利不相容原理。气体模型成功之处在于它可以证明质子数和中子数相等的原子核最稳定，并且按此模型计算出的核势阱与其他方法得到的结果接近。但费米气体模型过于简单 ，没有考虑核子之间的强相互作用，难以解释后来发现的许多事实。1935 年，玻尔（
4、N.Bohr,18851962）和弗仑克尔 （Y.I.Frenkel,18941954） 提出了液滴模型，他们认为在核内核子与核子之间，有着强耦合的性质，每个核子的平均结合能几乎都是常量，核的结合能与核子数成正比，核的密度近似为一个常量，这又表明了原子核的基本不可压缩性。这两种性质与液滴非常相似，因此，可以把原子核看作带电荷的理想液滴。1936 年玻尔用这个模型计算核反应截面，由此说明了一些核现象。1939 年玻尔和惠勒（ J.A.Wheeler,1911） 利用这一模型对重核裂变进行了解释。1932 年，人们发现自然界稳定原子核的组成有一定的规律，这种规律跟元素的周期性非常相似，研究发现含中
5、子数或质子数为 2、8 、20、28、50、82 以及 126 的原子核特别稳定 ,在自然界的含量也比相邻核素丰富 ,而且原子核的某些性质在上述值处发生突变，这些现象都是之前的理论所不能解释的。人们把以上数称之为“幻数” 。幻数的存在表明 ,平均场的概念对原子核也是有意义的，于是就有人提出了独立粒子模型，它是壳层模型的一种早期形式，但因为没有计入自旋轨道的耦合力作用而在原子核的结合能、核反应 ,特别是核裂变的解释上 ,遇到了困难。直到 1950 年，詹森和迈耶夫人在前人的基础上，在平均场中引入了自旋轨道耦合量才最终成功地确立了该理论。1963 年，詹森和迈耶夫人因发现原子核壳层结构而获得诺贝尔
6、物理学奖。31、壳模型的实验基础幻数的存在大量实验事实证明，当原子核的质子数或中子数为 2，8，20，28，50，82 和中子数为 126 时，原子核特别稳定。上述数目称为“幻数” 。现略举几例：（1） 对地球及其他天体的化学成分分析表明，等核素比它们附近核素的天然丰度高。它们的质子数或中子数，或两者都是幻数。（2） Z 等于 8，20，28，50 和 82 的元素与邻近元素相比，具有更多的稳定同位素。例如 有三种稳定同位素，与它相邻的仅有一种或两种； 有六种稳定同位素，O Ca20与它相邻的仅有两种或三种； 有五种同位素，相邻的只有一种或两种；Ni28有十种稳定同位素，它是稳定同位素最多的元
7、素； 有四种稳定同位素，Sn50 Pb82与它相邻的只有一种或两种。（3） 中子数为 20，28，50，82 和 126 的稳定同中子素多。一般稳定的同中子素只有三到四种，最多的也只有五种。但是，N=50 的同中子素有六种， N=82 的同中子素达七种之多。（4） 奇 A 核中，中子数为偶数的核一般只对应一个稳定核素。但是，N=20,50 和 82时则对应两个相邻的稳定核素。例如： 。8214598213957085873209120371 Pr和,和La,YRbKCl（5） 当原子核结合最后一个核子而形成幻数核时，相应的结合能很大，相反，Z, N 为幻数的核再结合一个核子时，相应的结合能较小
8、。例如， 最后一个核子的结He4合能为 20.6MeV。如果 结合一个中子或质子，则相应的结合能为一负值，说He4明 He 或 是不稳定的。5Li（6） 根据电四极矩的定义可知，球状均匀分布电荷系统的 Q=0，长椭球分布 Q0,扁椭球分布 Q0，稍大时，Q0。这说明具有幻数的这些原子核是接近球对称分布的。根据以上事实，我们可以认为：原子核内部的核子( 质子、中子) 和原子核外的电子一样,也存在壳层结构。当原子核中的核子是幻数时,它们就正好填满一个完整封闭的壳层。每个幻数表示一壳层所能容纳的最大核子数。具有幻数的原子核显得特别稳定,就像具有满壳层电子的惰性气体其化学性质特别稳定一样。2、核内存在
9、壳层结构的条件由以上讨论可见，如果原子核中也存在类似于原子的壳层结构，则须满足下列条件：（1） 存在一个平均场，对球形核，它是有心场；（2） 每一个核子在核内的运动可以看成是独立的；4（3） 在某一能级上核子的数目有一定限制，即遵循泡利原理。质子、中子跟电子一样，都是自旋为 1/2 的粒子，它们都遵循泡利原理，各自可以组成自己的能级壳层。实验中得到的幻数也都是分别对质子和中子而存在的。可见，建立原子核壳层模型的条件（3）是可以满足的。核内核子间的相互作用可借助于一个平均场来描述。这个平均场是核内所有其它核子对一个核子作用的总和。对于球形核，可以认为这个平均场是一个有心场。由此，条件（1）满足。
10、根据量子力学原理，核子在这样的势场中可以处于不同的能级。当原子核处于基态时，所有最低能级均为核子所填满。如果两个核子互相碰撞发生状态改变，则根据泡利原理，它们只有去占据未被核子占有的状态，这种几率是很小的。因而，在核内核子之间的碰撞将受到极大的限制。于是就可以认为核子在势场中的运动是独立的，因而壳模型也叫独立粒子模型。这样，条件（2）也得到了满足。3、单粒子能级由以上讨论可知，独立粒子近似是壳模型的基础，而壳模型的成功则在事实上证明了独立粒子近似的正确性。本部分讨论如何从薛定谔方程中解出单粒子能级。本文仅限于研究球形核的壳模型。假设球形核中单粒子运动用如下薛定谔方程描述（3-1）ErVM)(2
11、H式中 V(r)为单粒子势，它代表了其他核子对这一个核子的平均场。由核力的短程性可以预期核的位势变化应该与核密度分布相类似。作为粗糙的近似可选取 V(r)为球形方势阱或三维各项同性的谐振子势，这两种势比较简单，可以得到解析解。比较接近实际的 V(r)应取 Woods-Saxon 势， 即 aRreV/)(01)(图 3-1其中， fmafrARMeV65.0,2.1,5003/ 5这种势的形状和核子密度相似，但它没有解析解，需要进行数值求解。方势阱的数学表达式是：(3-2)0 ()VrRr图形为：图 3-2这里 r 是中心场的径向参量，即力场中某一点至场中心的距离；R 是原子核的半径，是势阱的
12、深度（如图 3-2） 。方势阱的物理意义是表示核子在原子核内和外部都不受力，0V只在核的边界上才受到很强的指向核内的引力。将（3-2）代入（3-1）式，根据量子力学，求解方势阱波函数的径向部分，可以得到粒子在方势阱中运动的本征函数 ),(nlmnllmYrkjAn=1,2,3,l=0,1,2,能级 20ERMnlnl简并度 )1(lfnl式中 为球贝塞尔函数， 为它的第 n 个零点， ， 为归一化常)(rkjnl nlRknll/nlA数。它的能级如表 3-1 所示。表 3-1 方势阱的能级和核子数 能 级 1s 1p 1d 2s 1f 2p 1g 2d 1h 3s 2f6表中列出了能级次序，
13、这里仍用原子光谱中的符号表示核子的能级， =0,1,2,3,的l能级仍用字母 s,p,d,f,表示，字母前面的数字表示量子数 n 由表可见，方势阱只能给出三个幻数，即 2，8，20 谐振子势阱（图 3-3）则表示核子在原子核中心附近不受力，当核子从核中心附近向外移动时，受到一个逐渐变强的向里的力。这个势阱的数学表达式为:V(r)= 201Vrm式中 m 为核子的质量； 为核子的振动频率。2VR图形为：图 3-3由式（3-1）在直角坐标或球坐标中求解都可得到核子在谐振子势中单粒子运动的性质。量子数：直角坐标 zyxszyx nNmn,球坐标 llrsr )1(2能 级： N=0,1,2,)3(E
14、NN 取定后， =N,N-2,0 或 1，j=l l2简并度： 1)3()()12(f Nlll能级包含状态数2（2 +1）各态同类核子累积数2（2 +1）l0 1 2 0 3 1 4 2 5 0 32 6 10 2 14 6 18 10 22 2 142 8 18 20 34 40 58 68 90 92 106 7总状态数： N0 )2(1）（ 3N331)2(N此位阱的能级和核子数列表如下：表 3-2 谐振子位阱中核子的能级由表可知，谐振子位阱也只能给出 2、8、20 三个幻数。这两种势阱都只能给出前三个幻数，显然它们都有缺点。谐振子势阱没有把核力的作用范围局限于核内，而且把核子在核内受
15、力变化描写得太慢。方势阱则把核子从核界面向外移动时受到的力描写从极大到零的突变，从核的界面向里移动时描写成无限快。这些都是一种极端的近似。所以，这两种势阱都与原子核的实际情况不符。核场的真实情况可能是介于这两者之间。如果把由方势阱和谐振子势阱获得的能级进行比较，依次排列，用内插法推出原子核的能级，则仍然只能得到 2、8、20 三个幻数。看来问题的本质不在于势阱的形状，而需要考虑别的因素。4、自旋轨道耦合理论计算中无法得到全部幻数的困难如何解决呢?在 1949 年迈耶尔和简森走出了决定性的一步，他们在势阱中加入了自旋轨道耦合项，这是得到 50、82 和 126 三个幻数的关键，终于用壳层模型成功
16、地解释了全部幻数。自旋一轨道耦合项的引入，使能级发生了分裂，得到了如图 4-1 所示的单粒子能级图。原来以 表征的能级都一分为二( 除外)，分裂的能级以核子的总角动量量子数 j 表征，l 0lj 。其中 能级在上， 能级在下；次序正好与原子中情况相反。2/12/1lj 2/1lj分裂的大小随 增大而增大。下面对分裂情况作一些定量讨论。谐振子量子数n能级包含的状态 能级的同类核子数 各态同类核子累积数 （2l+1）01234561s1p2s,1d2p,1f3s,2d,1g3p,2f,1h4s,3d,3g,1i261220304256 282040701121688类似于原于物理中核外电子所受的自
17、旋轨道相互作用，在这里核子所受到的自旋轨道相互作用势也可写成 C(r)s 。因为总角动量 j= +s，所以有*l l212sljsl= 43)1(）（= (4-1)22/)(ljl对对*从量子力学计算来看， 是算符 的本征值。注意这里 没43)1(j1l）（ sl 2有写。已并入系数 C(r)中。为了符合实验的单粒子能量，可取 C(r)为常数，有经验公式：(4-2) MeVAC324于是，在 作用下，附加的能量为sl(4-3)2/1j2/)1(llCEj 对对因为 C 是负值，所以 的能级在 能级之上。由（4-3）式易见两分/lj /lj裂能级的间隔为： 2)1(2/)1(2/)1( ClEE
18、jj 它随 增大而增大，随 A 增大而减小。还应指出的是，核内核子受到的自旋轨道耦l合势相当强，不是一个微扰势，它引起的能级分裂相当大(见图 4-1)，但原子中电子受到的自旋轨道耦合势是一个微扰势，引起的能级移动很小，只是使原子能级产生精细结构。正是由于较大的能级分裂，得到了原来得不到的幻数。例如原 N5 谐振子壳层中的1h 能级分裂为 1 和 1 。由于 =5 能级分裂较大，造成 1 能级向下移与 N4 壳29h2l 2h层的一些能级靠在一起；再加上，原 N=4 谐振子壳层中的 能级也向下移了，于是形9g成一个新的壳层，得到了幻数 82。1 能级向上移，与上面能级更靠近，加上 z 能级29h
19、 213i9向下移，形成了幻数 126。同样可理解幻数 50 的产生。总之，考虑了自旋轨道耦合后就得出了全部幻数，两个幻数间的各能级，形成一个主壳层。主壳层内的每一能级，叫做支壳层。主壳层之间能量间隔较大，支壳层之间的能量间隔较小。新的主壳层的形成，是由于有些能级劈裂得特别大，因此同一个主壳层内可以有宇称不同的能级，而且相邻能级的 j 值可以相差很大。质子和中子各有一套能级。由于质子间具有库仑斥力，质子的能级比相应中子的能级要高些，能级间距要大些，能级的排列次序也有些不同，特别是当核子数较多时更是这样，但主壳层的相对位置不变，即给出相同的幻数。壳模型理论预言，82 以后的质子幻数可能是 114；126 以后的中子幻数是 184。因此，根据理论预言，质子数为 114 和中子数为 184 的原子核是双幻核。该核及其附近的一些核可能具有较大的稳定性，称为超重核。实验发现和研究超重核，对核结构理论的发展和应用将起重大作用。
