1、集智俱乐部“热力学与进化论”小组第五次活动总结时间：2009.5.3地点：三号会所内容：经典热力学回顾、卡诺热机、柯劳修斯熵一、卡诺热机与柯劳修斯熵经典热力学建立在经典热机的模型框架之下。1、 什么是热机模型？一个热机模型是一个工作在高温热源（温度 T1）和低温热源（温度 T2）之间的可以从高温热源提取热量 Q1，并向低温释放热量 Q2，并从中提取有用功 A=Q1-Q2 的机器。高温热源 T1低温热源 T2吸热 Q1做功 A=Q1-Q2放热 Q22、 卡诺热机模型具体的热机可以用下图所示的理想气体系统实现，在一个密闭的容器里面盛放着理想气体，右侧被活塞和外界隔开。气体跟外界不能发生物质交换，但
2、可以传递热量（通过加热使得气体温度升高） 。活塞可以移动，气体对活塞有压强 p。压强 p活塞气体所谓的卡诺热机，则是指一个理想的热机，它满足：（1 ） 、系统的一切活动都在“ 准静态”过程下完成，即系统的加热过程无限缓慢，使得气体的升温过程非常均匀；活塞的移动也无限缓慢，使得时刻处于压强与外力之间的平衡；系统在整个运动过程中不存在由于摩擦产生的能量损失，所以系统每一步运动都是热力学可逆的。注：几个概念：a. 动力系统的可逆：如果一个动力系统 x(t+1)=f(x(t)的映射函数 f 是可逆函数，则该系统可逆。这也是后来人们搞的可逆计算的基础。b. 力学系统的可逆：力学系统的状态空间是，即，该力
3、学系统的动力学方程是=f()。如果映射函数 f 满足：=f()=f-1()，则称该力学系统是可逆的。c. 热力学的可逆：设热力学系统+环境构成一个动力系统的状态空间，热力学演化过程就是该系统的动力学映射 f，即：=f()= 。当 f1和 f2 都是可逆映射的时候，则称该热力学系统可逆。这个式子翻译成人话就是：系统经过一个可逆变换 f1 的同时也要让环境经历可逆的变换 f2。可以证明：假如系统经历一系列热力学过程：F=，系统状态变为 S，环境状态变为 E，则=F()。那么，如果 S=S就必有 E=E，即系统经历了一个可逆热力学循环。有意思的是，这个定义本身已经触及到了观察者的问题：即环境 E 应
4、包括观察者的状态，那么 E=E 就意味着观察者在两次的状态应该一模一样，但是，如果这样的话，观察者应不包括对整个过程 f 的记忆，也就是说观察者将不会看到任何变化！（2 ） 、卡诺热机包含了四个理想化过程，如下图所示：理想气体系统的任意一个状态（p,V,T）都可以用 p-V 图上的一点来表示。卡诺热机经过四个过程：AB：等温膨胀：从高温热源吸热，对外界做功，内能不变；BC：绝热膨胀：系统自发降温至低温 T2，对外界做功，内能减少；CD：等温压缩：外界对系统做功，系统往低温热源排放热量，内能不变；DA：绝热压缩：外界继续对系统做功，使得系统升温至 T1，内能增加。总体来说，系统又回到原来状态，并
5、且保持环境不变，即是一个可逆热力学过程。同时，整体系统内能不变，对外界做净功（红色区域的面积） 。可以证明，对于这样的卡诺热机来说，它的效率：(1)121TQ即机械效率仅仅决定于高温、低温热源的温度。3、 柯劳修斯熵（1 ） 、对于卡诺热机柯劳修斯通过观察卡诺热机的效率公式（1）发现： 01212TQTQ规定系统放热符号为+ ，吸热为-，则上式为：02这里 Q1E1，所以，当我们把两个热机合在一起构成一个大的热机 的时候，那么这台大热机没有从外界吸收功，它从低温 T2 吸收了能量 E2，向T1 排出了净能量：E1-E1，即 自发从低温源吸收热量排给高温源，这就与公理 2 矛盾了。所以假设不成立
6、。事实上，公理 2 和定理 1 是历史上两种不同的热力学第二定律的表述方法，它们彼此等价。定义 4：广义卡诺热机：可以工作于热源 T1 和 T2 之间的可逆的广义热机。这里面可逆的含义是这样的：假设热机从 T1 吸收能量 E1，输出功 A，向 T2 释放能量 E2，则当我们给该热机输入同样的功 A 的时候，它就能从 T2 吸收同样的能量 E2，并向 T1 释放同样的能量 E1。换句话说，所谓的可逆广义热机就是指系统能原封不动的倒着转。定义 5：广义热机的效率： 12E定理 2：（卡诺定理）：一切广义卡诺热机的效率都相同。证明：利用反证法，假设存在着两台效率不同的广义卡诺热机 R 和 R，它们的
7、效率分别是和 ，不失一般性，假设： ，则我们构造下列一台热机： T1RT2E1E2-RE1AE2即把热机 R 和逆转运行的热机-R同时并联于两个热源之间。根据卡诺热机的定义，逆转运行的热机-R 应该与热机 R有相同的效率，即：1EA因为根据假设 ，所以 E1E1。1EA根据公理 1（能量守恒）：E2+A=E10，而往高温热源释放能量 E1-E10 的能量，所以这与公理 2 相悖。于是，原假设不成立。所以，定理 2 得证。推论 1：既然一切工作于温度源 T1 和 T2 之间的卡诺热机效率都相同，那么很显然，一切卡诺热机的效率就必然是温度 T1 和 T2 的函数，即： )2,1()2,1(TfTE
8、推论 2：设卡诺热机 R1 工作于 T1 与 T2 之间，R2 工作于 T2 与 T3 之间，则工作于T1 与 T3 之间的卡诺热机为 R3，这三台热机的效率满足； )3,(),()3,1(ffTf证明：设热机 R1 在高温 T1 吸收能量 E1，释放到低温 T2 能量 E2；又设热机 R2 在低温 T2 吸收同等的能量 E2，往更低温的热源 T3 释放能量 E3。则把这两台热机联合起来看作一台大热机 R3，即从高温 T1 吸收能量 E1，释放到低温 T3上去，那么这台大热机 R3 的效率为： )3,2(),1(231),( TffETf 推论得证这个函数方程意味着： )2(1),(Tf这样才
9、会使得 成立。也就是说存在着一个与温度 T)3,2(),(3, Tfff呈单调关系的函数 。因此，我们可以通过对温度重新标度，即使得： 21TE这就是热力学温度的卡尔文温标。在这里，可以通过调整广义温度的定义，使得该等式成立。所以，广义卡诺热机的效率就都是： 121TE定理 3：一切广义热机的效率都必须大于广义卡诺热机的效率。采用与定理 2 类似的方法可证明。于是按照第 1 节的讨论，我们也就可以定义广义的柯劳修斯熵。这样，整个经典热力学的框架就可以扩展到一切系统中了。从这个不算严格的公理化体系中，我们看到热力学其实讨论的是一类系统的性质，它不仅仅局限于描述热物理系统，也很有可能描述类似经济系
10、统、水流系统等其他系统。但是，这种扩展中有一个致命的弱点就是公理 2 对于其他的广义系统来说并不都成立。然而，即使这样，我们也能清楚地看到整个热力学的框架。尤其是第一、第二定律的公理作用。还有卡诺热机就等价于可逆热机的重要性！三、模拟卡诺热机按照上一节的讨论，热力学框架完全可以广义化，因此，我们做了一个特定的与经典热力学“神似”的模拟系统：模拟卡诺热机。如下图所示：这是一个用 Netlogo 做的模拟系统。其中黑色的区域为自由空间，彩色的小圆球为随机运动的粒子，红色的区域为模拟卡诺热机的活塞，粒子可以与红色区域发生特定作用。绿色的区域为围墙，粒子不能通过。左上角的矩形区域为高温热源，底下的长条黑色区域+红色区域为卡诺热机。右上角的矩形区域为低温热源。这是一个广义的热力学系统，其中：广义能量：某一个系统中粒子数目广义温度：某一区域中平均粒子密度（粒子数/区域面积）该系统满足：公理 1：粒子在转移的过程中守恒（广义能量守恒）公理 2：粒子会自发从高温区域流向低温区域整个模拟系统运作分成 4 个阶段，与真实的卡诺热机相仿1、 等温膨胀
