1、1函数及其表示教学设计函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学的转变。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义。从中学数学知识的组织结构看，函数是代数的“ 纽带” ，代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等都与函数知识有直接的联系。函数这一部分内容一直是高中数学的重点内容和难点内容,有的高中学生直到高三复习时还是不能理解函数的概念,学好函数的概念是学好函数其它知识的前提,函数学不好,后续知识的学习也会受到影响.故而对于刚入学的高一学生是否能学好函数对其能否学好后面的知识起着至关重要的作用.那么函数的概念课如何上?下面我就函数及其表示教学设计与各位交流一下:由于本节课是讲
2、函数的概念,我们采用核心概念教学法进行教学设计和教学活动, 首先我们了解一些概念，中学数学核心概念是指中学数学概念中主要的中心的部分而教学设计是应用系统方法,分析研究教学的问题和需求，确定解决它们的教学策略、教学方法和教学步骤，并对教学结果作出评价的一种计划过程与操作程序核心概念教学设计框架：（1）内容和内容解析；（2）目标和目标解析；（3）教学问题诊断分析；（4）教学支持条件分析；（5）教学过程设计；（6）目标检测设计。一、 教学内容与内容解析内容:本节课是新课标数学 1 （人教 A 版）第一章集合与函数概念第二节函数及函数表示第一课时。本节课主要内容是函数概念，是利用对2应的观点运用集合语
3、言来揭示两个非空数集之间的一种特殊的对应关系（即一对一、多对一的对应关系）,概念的内涵是：研究某一变化过程中两个变量间的依赖关系.外延是：和某一运动变化有关的两个变量之间的问题.在 逻 辑 学 的 学 术 范 围 内 ， 概 念 的 逻 辑 结 构 分 为 “内 涵 ”与 “外 延 ”。 内 涵 是 指 一 个 概念 所 概 括 的 思 维 对 象 本 质 特 有 的 属 性 的 总 和 。外 延 是 指 一 个 概 念 所 概 括 的 思 维 对 象 的 数 量 或 范 围 。内容解析:函数是高中数学的一个核心概念，它是贯穿整个数学课程的一个基本脉络. 在本节课之前，学生已经学习了集合的有关
4、知识，并且在初中，已经学习了函数概念本节课就是在这个基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，函数知识是学好数学后继知识的基础和工具同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题和解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律. 在函数教学前,对教师也有一定的要求,作为教师，我们应该知道函数概念形成的过程.第一个阶段,函数概念是由具体的现实或科学问题中简单抽象出来的，从最初人们注意到一个变量对另一个
5、变量的依赖关系，到 1718 年约翰贝努利对函数概念进行了明确定义“由任一变量和3常数的任一形式所构成的量” ，强调了函数要用公式来表示，再到 18 世纪中叶欧拉给出的定义“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数” ，再次发展到 1823 年柯西“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫作函数” ，其间经历了多次表述上的演变，1930 年维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了现代函数定义，“若对集合 M 的任意元素 x，总有集
6、合 N 确定的元素 y 与 x 之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 ，元素 x 称为自变元，元素 y()yfx称为因变元” ，从初中到高中的教材中可以看到一些函数概念发展的历史痕迹， 只是表现了两个有代表性的形式 ，但作为高中数学教师，应该深刻理解这一发展历程，我们知道概念的形成过程决定着它的教学过程，所以，我们必须理解这一过程，并能从中得出这一概念的教学设计。学生在初中阶段已学过把函数看成变量之间的依赖关系，在此基础上，本节课通过具体实例，抽象概括出用集合与对应的语言来刻画函数概念老师们想一想从函数概念的最初的提出到总结为集合与对应的语言描述要经过 200 多年的历史演变,而我们要
7、把这种演变在一节课的时间内完成真的是任重而道远啊! 想想我们也是挺了不起的喽!通过本节课的学习，培养学生对数学语言的学习和转换的能力，渗透静与动的辩证唯物主义观点在初中，学生已经学习过函数概念初中建4立的函数概念是： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说 y 是 x的函数其中 x 称为自变量这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式后来，人们逐渐意识到定义域与值域的重要性，而要说清楚变量以及两个变量间变化的依赖关
8、系，往往先要弄清各个变量的物理意义，这就使研究受到了一定的限制如果只根据变量观点，那么有些函数就很难进行深入研究 符号函数 ,对这个函数，如果用变量10(),xf观点来解释，会显得十分勉强但用集合、对应的观点来解释，就十分自然 进入高中，学生需要建立的函数概念是： 设 A、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集合A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 yf（x） ，xA 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的
9、集合 f（x）|x A 叫做函数的值域这个概念与初中概念相比更具有一般性 实际上，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的不同点5在于，表述方式不同高中明确了集合、对应的方法初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点与初中相比，高中引入了抽象的符号 f（x ） f（x）指集合 B 中与 x 对应的那个数当 x 确定时， f（x）也唯一确定 另外，初中并没有明确函数值域这个概念 函数概念的核心是“对应” ，理解函数概念要注意：两个数集间有一种确定的对应关系 f，即对于数集 A 中每一个 x，数集 B 中都有唯一确定的 y 和它对应 涉及两个数集 A，
10、B ，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个” “唯一确定” 也就是，对于集合 A 中的数，不能有的在集合 B 中有数与之对应，而有的没有数与之对应，每一个都要有而且，在集合 B 中只能有一个与其对应，不能有两个或者两个以上与其对应函数概念中涉及的集合 A，B ，对应关系 f 是一个整体，是集合 A与集合 B 之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数函数是中学数学中最重要的数学概念之一,是中学数学的核心概念之一，是贯穿高中数学由始至终的一条虹线，是联系其它内容和其它学科的最好纽带.其中蕴含着“ 函数与方程” ， “数形结合”， “转换与化归”等数学思想,其核心是：两个非空数集之间“
11、一对一、多对一 ”的对应关系.在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前，学生已经把函数看成变量6之间的依赖关系；同时，虽然函数概念比较抽象，但函数现象大量存在于学生周围.因此，课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念.这样不仅为学生理解函数概念打下了感性基础，而且注重培养学生的抽象概括能力，启发学生运用函数模型表述、思考、解决现实世界中蕴含的规律，逐渐养成善于提出问题的习惯，学会数学用数学语言表达和交流，发展数学应用意识.二、 教学目标和目标解析（1）从实际生活和学生已有知识出发，通过丰富实例，建立函数概念的背景，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，
12、使学生体会函数的实质.（2）能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素（3）会判断两个函数是否为同一函数（4）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力；通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识。由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感7受在两个数集 A，B 之间所存
13、在的对应关系 f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念然后再进一步理解它学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号 的理解.学生的理解障碍有两个：一是()yfx符号的高度抽象性，二是函数 中 的任意性，所以要充分铺垫，循序渐进.三、 教学问题诊断分析刚升入高中的学生对函数的概念还是停留在初中函数概念的基础上，尽管在实际教学中采取了适当渗透、螺旋上升的方法，分段而又循环地安排函数知识，但学生的函数概念水平仍然较低。即使是学生学习了高中函数的概念，但是先入为主，并不能将初中函数概念理解过渡到高中函数概念的理解上。造成困难的原因主要有两个方面:第
14、一是函数概念本身的原因,刚才我们提到了函数的发展过程，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程。这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换。在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维。与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高。认知心理学认为，个体的心理发展过程是人类社会认识发展过程的简约反映。因此，学生掌握函数概念的过程要简约地重演数学科学发展中对函数的认识过程，普遍出现认识上
15、的困难是比较自然的。8第二，函数概念表示的多样性，一方面表现在定义域、值域表示的多样性，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面表现在它可以用图像、表格、解析式等方法表示，从每一种表示中都可以独立地抽象出函数概念来。与其他数学概念相比，由于函数概念需要同时考虑几种表示，并要协调各种表示之间的关系，常常需要在各种表示之间进行转换，因此容易造成学习上的困难。能否正确地使用函数的不同表示形式，灵活地对不同的表示进行转换，是考察函数概念形成水平的重要标准,在高中最重要的一种数学思想数形结合,可以理解为是这种转换的一种体现。教学中存在问题有如下几点：1.学生对函数概念中的关键词、句关注不够，理解
16、不透，领会不深如“非空的数集” 、 “任意” 、 “唯一” 、 “对应关系 f”。 教学中，可以通过反例让学生加以认识比如忽视了“非空”和“数集” ，就把一般的映射关系理解成为函数，更为重要的是对“任意” 、 “唯一”这一核心关键词理解不到位，导致对函数概念理解的很模糊。2.不能正确的理解函数符号 意义。()yfx可以通过具体函数让学生理解抽象的 f（x ） 比如函数 。()2,fx1,f( 1)-2，f(0.5)1 ， f（2）无定义， 最终，让学生明白，f（x ）是集合 B 中的一个数，是与集合 A 中的 x 对应的那个数当 x 取具体数字时，f（x ）也是一个具体的数3.对为什么集合 B
17、 不是函数的值域不理解9可以通过举实例，通过实例进行对概念的辨析，这是理解概念的一种较好的方法。例如在学生忽视了数集这一条件时，我们就可以给学生举一个范例，我们班有 64 名同学，有 65 套桌椅，按照某种排座位方式，每位同学坐一套桌椅，学生构成的集合到桌椅构成的集合能看成一个函数吗？四、 教学支持条件分析在学生学习函数概念之前，学生已经学习了初中函数的概念和集合的有关知识。这些内容都是我们本节课的铺垫五、 教学过程设计情境引入：问题 1：在初中，我们学习过函数，你能说出它的概念吗？请举几个函数的例子。回顾初中所学函数（如一次函数 y=ax+b a0 等）及函数的概念：（传统定义：设在一个变化
18、过程中有两个变量 x 与 y,如果对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说 y 是 x 的函数， x 叫做自变量） ；指出用函数可以描述变量之间的依赖关系；强调函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。设计意图：温故知新，再现初中函数的定义，为下面的教学做铺垫。问题 2: 中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己10的总分的？这可以看作是一个函数吗？带着这个问题我们进入今天的探究学习。设计意图：通过电话或者是网络在中考成绩查询系统查询，输入一个准考证号得到一个总分，中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统。在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两
19、个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.(强调对应) 高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一生活中的实例，使学生感到数学与实际生活密不可分，调动学生的探究积极性，把学生的注意力引入课堂，对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.同时也由初中函数概念的“变量说”到高中函数概念的“对应说”的提升奠定了基础，实现高中函数概念的第一次认识。新课探究：阅读课本 15-16 页的内容,回答以下问题:问题 3: 你能得出炮弹飞行 5 秒、10 秒、20 秒时距地面多高吗？其中，时间 t 的变化范围是什么？炮弹距离地面高度 h 的变化范围是什么？炮弹飞行时间 t 的变化范围是数集 ，炮弹距地面的高260tA度 h 的变化范围是数集 8450hB设计意图：从学生熟悉的函数表示入手，由易到难；可以用几何画板
