1、厦门大学 2011 级 物理系电磁学实验班（论文）整数量子霍尔效应姓名：3704-黄新 integer quantum hall effect; two-dimension electron gas; Landau level引言霍尔效应是 1879 年由美国人霍尔发现的。从它的发现至今，科学家们从未停止过对它的研究。人们相继发现反常霍尔效应、整数霍尔效应、分数霍尔效应、自旋霍尔效应等。1980 年，德国物理学家冯克利青等在极低温 1.5K 和强磁场 18T 作用下，发现了霍尔效应的量子化效应（整数霍尔效应） ，并由此荣获 1985 年度诺贝尔物理学奖；美籍华裔物理学家崔琦等人发现了分数霍尔效
2、应，荣获 1998 年度诺贝尔物理学奖。一、经典霍尔效应在研究载流导体时，沿 Z 轴方向有均匀的磁场 B，在 X 轴方向有电流 I,导体板的两侧之间会出现一个横向电压 U,这个效应就是霍尔效应。如图，导体处在沿 z 轴方向的磁场 B 中，向导体通入 x 方向的电流 IX，则正电荷4在磁场中受到向下的洛伦兹力，故导体板的下侧积累正电荷，上侧感应出负电荷，从而形成向上的电场 Ey （E y为霍尔电场） 。从而导体中的电荷要受到电场与磁场的作用，当两个力达到平衡时，有 ，从而有 （其中 为电荷移动的速lxyFeuBEyxuBx率） 。注意到 （S 为导体横截面积， 为载流子密度或载流子浓度） ，故0
3、xxIn0n,当导体横截面积足够小的时候，电流视为均匀，即 （j x01yBEeS xIS为电流密度） 。所以就有 。我们定义 （ ，或记为 称为霍01yxEjBneyHxEjHxy尔电阻率） ，可见 。对于半导体来说，载流子有两种，空穴和电子。 （空穴0H密度记为 p,电子密度记为 n; 它们的迁移率分别用 和 表示）实验发现，载流子pn密度 。从而有 。对于确定条件下的半导体，20pnun2()1pnHuBe载流子密度 是一定的，从而可知， 与 B 成正比。0然而，半导体在产生霍尔电场时，同时与 z 轴方向的磁场作用于电荷，使 x、y 方向上都产生了电流。这使得电导率 和电阻率 都成为二阶
4、张量。在二维情形，他们可以写成欧姆定律微分形式，,电导率张量 与电阻率张量 互为逆矩阵。设电子经过两次散射的时间为 ，当 E 场和 B 场同时存在时，电子满足以下方程：1dvevEBtmcH5V 是电子漂移速率，当 dv/dt=0 时，可求解出，01/xyyxc其中电阻率张量的纵向分量和横向分量。亦可求出电导率张量的两个分量，,021xyc021cxyx由此可知，电导率与电阻率的关系，2xxy2xyxy容易得出，当为零时，亦等于零，而，表明，当出现平台时亦出现平台。可以等价表示成 xxycneB当为零时， xy二、整数霍尔效应1980 年，克利青等发现，霍尔电阻 与 B 的关系是在总的直线趋势
5、上出现了一HR系列的平台（称为量子化霍尔电阻） ，也就说明 不在与 B 成严格的正比关系，从而导致量子霍尔效应的发现。而对应于这些平台处有 ， =1,2,3,；并且2Hhie6。其中 是普朗克常数， 是元电荷常数。于是就有 ，由于0xRhe2581.HRi为整数，此效应被称为整数量子霍尔效应(参见下图） 。 1i（图中 即为纵向电阻率 ， 即为霍尔电阻率 ）xxyH1、二维电子系统和朗道能级 23要实现量子霍尔效应，就需要获得“二维电子气” （下一段将作详细介绍） ，即电子被约束在二维平面运动。目前我们可以采用硅金属氧化物效应管（MOSFET）或 GaAs-AlxGa1-xAs 异质结构等实现
6、。从测量中可以导出纵向电阻（或对角电阻） 和霍尔电阻 。在LxVRIHVRI二维情况中，定义的电流密度是单位长度上通过的电流，故有（其中 为纵向电阻率)；LxxxyyVELRIjx yyHHxxEIjLj量子霍尔效应是二维电子体系在极低温和强磁场条件下呈现出来的独特强关联特性。为了能够实验观测到量子霍尔效应，需要能够提供出近乎理想的二维电子体系。所以，首先介绍二维电子系统二维电子气是指电子气可以自由在二维方向移动，而在第三维上受到限制的现象。a Lx bB Ic7半导体反型层是一种准二维电子系统。而要获得反型层，只需在半导体器件，如硅MOSFE 器件上加一个门电压。则 P 型半导体中的反型载流
7、子（电子）跑到界面上，形成反型层。在反型层中，量子力学效应较为明显，低能量状态是具有分离能级的束缚态，高能量状态是具有连续能量的自由态，只要外加激活能量低于使电子跃迁的最小能量，则总是处于束缚态。也即说反型层中的电子可以在层内自由运动而垂直方向运动受到限制。在三维的自由电子中，存在 B 场时，哈密顿量为：其中 m 是电子有效质量，A 是矢量势，一般满足关系式：若磁场方向平行于 Z 轴，取朗道规范，则，哈密顿量就含有动量，,等，最后可写成简谐振动方程的形式，（1）其中， ，是磁场引起的电子回旋频率。 （1）式表明在 y 方向上有一简谐振动势。可知 y方向上量子化，即电子在 x-y 平面作回旋运动
8、。 （1）式中的能量本征值等于 1()2ncE该式给出的量子化能级即为朗道能级。容易证明二维电子系统的能态密度是与能量无关的常数，不考虑电子自旋状态，该常数等于。由于二维电子系统具有连续的能谱，在垂直磁场下，聚集成间隔为的分立的朗道能级。在这种转变过程中，量子总数不变，可以得出朗道间隔正比于 B。因此，在强磁场条件下，朗道能级被拉得很大，每个朗道能级中能容纳的电子态数目很多，可以证明，每个朗道能级可填入的电子数为。但当考虑电子自旋的影响时，每个能级上可填入电子数减小一半，为。以上的讨论对于完整晶体而言，实际晶体中总存在一些缺陷，从而引起电子能谱的改变，结果使得每个朗道能级出现一个带宽，由缺陷引
9、起的这些带尾，即图中阴影部分是电子的局域态，在带中的电子不能参与 xy 平面内的导电，或者说这些能级中的电子迁移率为 0。这样，在相邻两个朗道能级之间形成了一个迁移率为 0 的迁移率能隙可以这么说，二维体系中存在的缺陷正是能观测到量子霍尔效应的先决条件。82、整数量子霍尔效应的解释 234现在，让我们说一下冯克利青等人于 1980 年发现的量子霍尔效应的实验事实。冯克利青在 Si-MOS n 型反型层的垂直方向上加上强磁场（B=15T）,平行方向上加上电场，不断改变门电压，他们的结果表明：霍尔电阻率出现与电子密度无关的一定的平台，称为霍尔平台，这个平台的值上文说到每个朗道能级填入的电子数目与
10、B 成正比，改变 B 的大小就可以使得每个朗道能级的电子数目出现变化。当 B 减小时，某一朗道能级上多余电子数迁移到上一个朗道能级，而由于晶体的缺陷，两个朗道能级之间有能带间隙，即局域态，电子首先跃迁到这里，而这里的电子不能导电，故出现霍尔平台，B 继续减小，电子“逃离”这个局域态，平台结束，这就是对于整数量子霍尔效应的初步解释。上述理论存在一定缺陷，理由是进入局域态的电子对霍尔电阻率没有贡献，而晶体中的电子数目守恒，这意味着对霍尔电阻率产生贡献的电子数目必然减小，照这样说，霍尔电阻率不应该可以保持一个精确的值。为了解释这个问题，劳克林给出了一个比较合理的实验。他假想出一个实验，把二维电子气所
11、在的平面用一个首尾相接的圆环带代替，带上任意一处的磁场方向垂直于带表面，带上有电流沿圆环方向，则在带的两侧会产生霍尔电压。由电流引起的磁束 和磁场 B 引起的总的矢量势为，L 为圆筒周。这样一来，上文提到的在 y 方向上的简谐振动的中心坐标就受的影响，这种效果就是把朗道能级的一个态从带的一边移到另一边。体系中，电流可以通过本征波函数推导得到由此，可得到霍尔电导率这样，就得到了霍尔电阻的量子化条件。而在劳克林这个假想实验中，强调的是出现量子霍尔效应是由体系规范不变性所决定，而与晶体是否缺陷没有必然的联系。三、霍尔效应的应用由于金属和电解质的霍尔系数一般比较小，霍尔效应不明显；但是对于半导体，霍尔
12、系数比较大，所以霍尔效应应用于半导体方面的例子比较多。从上个世纪 60 年代以来，人们利用霍尔元件对磁场敏感、结构简单、体积小、频率响应宽、输出电压变化大和使用寿命长等优点，将其广泛应用于电磁测量、非电量测量、自动控制、计算9与通讯装置中。此外，在测量半导体特性、测量磁场、磁流体发电、电磁无损探伤、霍尔传感器方面也有一定的应用。 5特别是在质量单位的定义中，量子霍尔效应发挥了极大的作用。当今科学对精确程度的要求越来越高，这就导体我们需要对基本的物理量有相当精确的定义，目前国际单位的定义水平在不断提高，定义在基本常数或基本原子属性基础上是最理想的，因为这些常数与属性不随时间和空间变化。利用量子霍
13、尔效应等理论，通过一系列的实验办法，可以使质量单位建立在基本常数普朗克常数上，从而大大提高了质量的测量精度。 6四、霍尔效应的新进展自从霍尔效应发现后一百年左右的今天，其发展仍具相当的活力与潜力。在理论研究中，日前，日本的物理学家发现，光学也有等同于霍尔效应的现象发生。而且此理论应该可以利用偏振光加以实验证明。在应用领域中，霍尔效应也有一定突破。在霍尔元件结构方面，常规霍尔元件要求磁场垂直于霍尔元件, 且在整个霍尔元件上是均匀磁场。而在其他情况, 需要根据磁场分布情况, 设计各种各样相应的非平面霍尔结构。其中, 垂直式霍尔器件是一种最近新发展出来的。这种垂直式霍尔片具有低噪声、低失调和高稳定性
14、的特点。目前根据这种原理国际上开展了许多研究项目。在霍尔传感器也有较大的进展。霍尔传感器趋向于微型化、高灵敏化、高集成化。发展迅速，可应用范围广泛。例如瑞士联邦技术研究所最新研制的超小型三维霍尔传感器工作面不到 300300m, 只有六个管脚，特别适合用于空间窄小的检测环境, 可用于电动机中的间隙、磁力轴承以及其他像永磁体扫描等需接近测量表面的场合。 另外也有利用成熟的微电子集，在霍尔传感器的基础上制作的磁通集中器，可使其灵敏度在现有基础上提高 5 倍以上。对于一些国家采用 CMOS 技术高度集成化的霍尔传感器, 使相同的功能可以集成在非常小的芯片内,使霍尔传感器的集成化程度大大增强。7五、结
15、语整数量子霍尔效应的发现，对于物理常数的值能进行高度测量，对计量学意义重大，另一方面，通过整数量子霍尔效应可以使凝聚态物理和量子电磁学理论发生联系，标志着当代凝聚态物理学惊人的发展趋势，同时，整数量子霍尔效应也为以后的分数量子霍尔效应，自旋量子霍尔效应的发展打下坚实的基础。可以说，随着物理学的高速发展，这一效应在今后新理论，新体系，新实验的条件下，将会得到不断发展，发挥着更加重要的作用。六、心得体会 这次我们的研究调查充满了挑战。量子霍尔效应涉及了大量量子方面的知识，对数学水平也具有较高的要求，而我们之前从来没有接触过量子理论和这些繁复的数学证明，比如哈密顿量，朗道能级，费米能级，波函数的推导
16、等等；再加上时间有限，10我们没办法从最根本的量子理论学起，弄清楚整个量子霍尔效应的推导及证明过程，所以在整个研究过程中，我们只能着重对其中蕴含的物理意义进行分析。但通过将近一个月的学习探索，我们也大致理解了量子霍尔效应的内容和原理，并对它有了一个较为基础的直观了解。虽然没有办法领会到其背后的深刻内涵，但我们认为在现有知识水平的基础上从物理思想本身出发的研究更加能够贴近物理的本质。整个研究的过程充满了艰辛，但我们也从中获得了很大的收获。首先我们学到了物理科研的基本方法：先确定研究的方向，建立一个大的理论框架；然后在物理思想的指导下，以数学为工具，逐渐去揭示一个个物理现象、物理概念背后的含义；最
17、后在细节的基础上逐步完善之前的大的理论框架。而在时间精力有限的情况下，要学会取舍，在通常情况下，注重对宏观问题的把握比计较细枝末节能给我们带来更多的收获。另外，我们在整个研究过程中也遇到了很多前所未有的挑战。比如理论晦涩难懂，公式抽象复杂，但我们在综合考虑的情况下，将研究范围缩小到整数量子霍尔效应，并只侧重于物理现象本身进行研究，这种重点突击的方式也给以后的科研工作提供了一个新的视角。不得不提的是，这份研究报告是小组共同的心血。在整个研究过程中，我们都极大了锻炼了团结协作的能力，大家各司其职，适时讨论，一直在共同努力着。面对一次次的困难之后，我们深感科学工作的不易，决心好好学习数理知识，为以后
18、的研究工作打下好的基础。参考文献1张礼.近代物理学进展.第 2 版,清华大学出版社,2009.12:185-1872赖武彦.量子霍尔效应.自然杂志 8 卷 1 期3杨锡震，田强.量子霍尔效应.物理实验.第21卷第6期4陈颖建.量子霍尔效应.科学技术文献出版社，1993 年 2 月5 张海涛. 霍尔效应及应用 . 温州职业技术学院学报 . 2005 年 12 月. 第 5 卷第 4 期:27-286黄小钉,蔡建臻,孙毅,李继东.量子化霍尔效应的发展与应用.第四届全国电磁计量大会.桂林.2007 年 09 月,2007 年:105-1067 程姝丹,张强.霍尔效应的应用与发展. 水泥技术.2007 年第 4 期：81-828刘雪梅.霍尔效应理论发展过程的研究.重庆文理学院学报.2011 年 4 月第三十卷第2 期：41-449刘恩科，朱秉升，罗晋生.半导体物理学.电子工业出版社.2011.310黄昆，韩汝琦.半导体物理基础.科学出版社，2010.11彭英才，赵新为，傅广生.低维半导体物理.国防工业出版社，2011.6
