1、实变函数课程报告姓名学号指导教师实变函数课程报告第 1 页 共 6 页实变函数【摘要】实变函数是近代分析数学领域的基础知识，它把研究对象扩大到定义在可测集上的可测函数，并运用集合论的观点对函数及其定义域做更加细致的分析，使微积分在较宽松的环境中加以运用。实变函数主要以 n 维欧式空间为基地，重点内容是 Lebesgue 测度和积分的理论，而 Lebesgue 外测度是 Lebesgue 积分的基础，本文主要论述了 Lebesgue 外测度、测度、可测集以及可测函数的定义、性质及相关证明和应用。【关键词】Lebesgue 外测度，测度，可测集，可测函数1.引言在 19 世纪时，数学家们已经认识到
2、,仅有连续函数与 Riemann 积分的古典理论已不足以解决数学分析中的许多问题，为了克服 Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义，建立一种新型积分。19 世纪下半叶,不少分析学家进行一系列扩充长度和面积概念的探索，逐渐形成测度概念，1898 年,Borel 建立了一维 Borel 点集的测度，法国数学家 Lebesgue 在 1902 年他的博士论文长度、面积和积分 中系统的建立了测度论，并成功的建立起新的积分理论Lebesgue 积分（1915 年,法国数学家弗雷歇提出在一般 代数上建立测度，开始创立抽象测度理论，1918 年，意大利数学家 Caratheodory
3、关于外测度的研究,对于现代形式测度理论的形成起了关键作用） 。Riemann 积分忽视了函数的变化而只从定义域方面划分小区域来构造积分和，这样做的结果是将大量的函数排除在 Riemann 可积函数类之外，Lebesgue 积分不是从分割自变量的区域而是从分割函数值域着手构造积分和。例设 在 上有界，满足 ，任给 ，作分割)(xf,baMxfm)(0yyn10其中， ，并作点集1iy .,21,)(:1 nibxayfyxEiii 则对应于上面分割的积分和为 ,其中 为点集 的长度，这种积分的优点在|1nii|iEi于可以取 很小，使得积分和的近似程度很高，它将积分对象从 Riemann 可积函
4、数类扩充到更大一类函数可测函数类。积分和计算的关键是点集 的度量，对于通常的区间i的度量就是区间的长度或体积，而对于一般的点集的度量就不是一件简单的事情，它涉iE实变函数课程报告第 2 页 共 6 页及到在 中如何建立一般点集的一种度量方案，这就是 Lebesgue 外测度与测度理论。nRLebesgue 外测度是对 中一般的点集 E 给出的一种度量，是长度、面积和体积等概念的n推广，是 Lebesgue 积分的基石，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，下文即是对Lebesgue 外测度的性质、可测集和可测函数的一些研究。2.Lebesgue 外测度2.1 Lebesgue 外测度定义Def
5、 1：设 。若 是 中的可数个开矩体，具有 ，则称 为nREkIn kIE1kI的一个 覆盖，我们称 为点集 的 LebesgueEL |:if1* 覆 盖的为 LImkk外测度。2.2 Rn 中点集的 外测度性质（1）非负性： 0,*）（E（2）单调性：若 ，则21)()(2*1Em（3）次可加性： 1*1*)(kkkm证明： ， 的 L覆盖 ，使得0EkI， lklkI,1kllkEm2)(|*1, ， lkkIE,111*1, )(|kklklI显然， 是 的 L覆盖，从而有 。由,2,:,lIlk k1 1*1*)()(kkkEm的任意性可知结论成立。（4）距离可加性：设 ， 是 中的
6、点集，若它们的距离1E2nR0)(21d)()()(2*1* Emm证明： 显然成立)(2121*只要证明 即可。)()(*E实变函数课程报告第 3 页 共 6 页设 ，对 ，作 的 L覆盖 ，使得)(21*Em021EkI，其中 的边长都小于 ，现将 分为如下两组：|21*1Ik kInd)(21kI（） （） iki JJ1, lkl JEJ121,且其中任一矩体皆不同时含有 与 中的点 E2)()(|)( 2*1*11121* mJIEmklkik 由 任意性可知()()(2*2* Em综上知 (121*E（5）平移不变性：设 ， ，令 ，则nRnx0 ,00Exx)(*0*m证明： E
7、 的任一 L覆盖 经过 的平移后， 仍是 的 L覆kIx0xIk0x盖，即 )(|)(* *1100 EmIxIxmkk )(*0Emx同理若对 作向量 平移，0E0则有 ，即 )()( 0* xEx )()0*x综上知 0m3.可测集与测度3.1 可测集与测度定义Def 2：设 ，若对任意的点集 ，有 ，nREnRT)()()* cETmTm则称 E 为 Lebesgue 可测集，简称可测集，其中 T 称为试验集，可测集的全体称为可测集类，简记为 。对于可测集 E，其外测度称为测度记为 ，也就是通常所说的 上的U)(EnRLebesgue 测度。实变函数课程报告第 4 页 共 6 页证明：对
8、 ， 的 L覆盖 ，使得0TkI1*|)(kITm )(|)( )()()()( )1*1* *1* 1*1*1* *TmII EImIEEIImkk ckkkkckkk ckkckk cc 由 任意性知： )* c（注意：一般为了证明 中任一点集 E 是可测集，则只需对任意一点集 ，证明nR nRT成立即可，有时也可利用 ，则 ）)()()* cTmETm 0)(*EmU3.2 可测集的性质（1） ；U（2）若 ，则 ；c（3）若 ，则 。21,EU2121,EE（4）若 ，则其并集也属于 ；若进一步有 ，则),(ii )(jiEji ，即 在 上满足可数可加性（或称为 -可加性） 。1)(
9、iiim*U4.可测函数4.1 可测函数定义Def 3：设 是定义在可测集 上的广义实值函数，若对于任意的实数 t，点)(xf nRE集 是可测集，则称 是 E 上的可测函数，或称 在 E 上可测。:tEx)(xf )(xf4.2 可测函数运算性质（1）若 ， 是 E 上的实值可测函数，则下列函数)(fxg ; ; 都是 E 上可测函数1Rcx)(xgf)(xgf证： 对于 t实变函数课程报告第 5 页 共 6 页若 ，则由 ，可知。 在 E 上可测。0c )(:)(: ctxftxcf)(xcf若 ，则由 ，由 在 E 上可测知 可)(:ctxf测，即 在 E 上可测。)(xcf若 ，则 ，
10、即 在 E 上可测。0)(xcf对于 ， ，其中1Rt )(:)(:1 iii rtxgrxftgf 是全体有理数，从而可知 是 E 上的可测函数。ir )(xf首先， 在 E 上可测，对于 ，)(2xf 1Rt ;0)(:)(: ttxftxftf ，其中由上知 在 E 上可4)()( 22gfgfxgf )(xgf测。即 在 E 上可测。)(xf（2）若 是 E 上的可测函数列，则下列函数k ; ; ; 都是 E 上可测函数)(sup1xfk)(inf1xk)(limxfk)(lixfk（3）若 是 E 上的可测函数列，且有 ，则 是 E 上的可测函 likf数。5.Lebesgue 积分
11、5.1 Lebesgue 积分的定义Def 4：设 是 上的非负可测函数，我们定义 是 E 上的勒)(xfmERn )(xf贝格积分 EEnxfh Rxhddf )(,sup)()( 上 的 非 负 可 测 简 单 函 数是这里的积分可以是 ，若 ，则称 在 E 上 Lebesgue 可积的。设f实变函数课程报告第 6 页 共 6 页是 上的可测函数，若积分 ， 至少有一个是有极限值，)(xfnREEdxf)(Exf)(则称 为 E 上可积函数的全体记作 。Efdxfd)()( )(1EL5.2 Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系Th1：设 是定义在有界闭区间a,b 上的有界
12、函数，则 在a,b上是 Riemann 可)(xf )(xf积的充要条件是 在a,b上的不连续点集是零测集。Th2：若 在有界闭区间a,b 上是 Riemann 可积的，则 在a,b上也是)(xf )(xfLebesgue 可积的，其积分值相同。6.小结Lebesgue 外测度是对 中一般的点集 E 给出的一种度量，是长度、面积和体积等概nR念的推广，是 Lebesgue 积分的基石，它成功的解决了 Riemann 积分只适用于连续函数的的最大缺限，所以对其性质和计算的研究是非常重要的，本论文主要论述了它的一些性质和相关的证明。首先，给出了 Lebesgue 外测度的定义；接着着重指出和证明了外测度具有的非负性、单调性、次可数可加性、距离可加性、平移不变性这五大主要性质；然后给出了测度的定义与性质；最后延伸介绍了可测数函数与 Lebesgue 积分。7.参考文献1 胡适耕.实变函数(第二版） M.北京: 高等教育出版社，2014.2 周民强.实变函数论（第二版）M. 北京: 北京大学出版社，2008. 3 周民强.实变函数解题指南 M.北京: 北京大学出版社，2007.
