1、机械加工生产计划问题摘要机械加工生产计划问题是通过分析各个变量对生产总利润的影响，利用数学知识，联系实际问题做出相应的解答和处理。根据表中数据和所给的条件，问题一我们建立了线性规划模型，对其进行分析解答，用 lingo 软件编程求解，得出在题设条件下最优的生产、库存、销售计划方案；问题二利用问题一的结果对产品的市场销售量上限进行灵敏性分析，得出在不改变原计划的前提下，销售量上限可以提高的最大幅度，从而得到获得最大利润的方法；问题三设备能力增加，利用每种设备生产时间的松弛变量进行分析，从而确定出购置新设备的优先顺序；问题四对模型一中每个月可以使用设备的台数，根据其松弛变量有微小变动时对总利润影响
2、的大小，从而设计出每台设备在每个月的检修计划；问题五在问题四的基础上建立了最优设备检修计划模型，能使各设备的检修台数满足题中要求而使利润为最大。关键词： 线性整数规划 最优生产方案 设备检修模型一、问题重述机械加工厂生产 7 种产品（产品 1 到产品 7） 。该厂有以下设备：四台磨床、两台立式钻床、三台水平钻床、一台镗床和一台刨床。每种产品的利润（元/件，在这里，利润定义为销售价格与原料成本之差）以及生产单位产品需要的各种设备的工时（小时）如下表。表中短线表示这种产品不需要相应的设备加工。表 1 产品的利润（元/件）和需要的设备工时（小时/件）产品 1 2 3 4 5 6 7单位产品利润 10
3、.00 6.00 3.00 4.00 1.00 9.00 3.00磨床 0.50 0.70 - - 0.30 0.20 0.50立钻 0.10 2.00 - 0.30 - 0.6 -水平钻 0.20 6.00 0.80 - - - 0.60镗床 0.05 0.03 - 0.07 0.10 - 0.08刨床 - - 0.01 - 0.05 - 0.05从一月份至六月份，每个月中需要检修的设备是（在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产）：表 2 设备检修计划月份 计划检修设备及台数 月份 计划检修设备及台数一 月 一台磨床 四月 一台立式钻床二 月 二台立式钻床 五月 一台磨床和一台立式钻床三
4、 月 一台镗床 六月 一台刨床和一台水平钻床每个月的各种产品的市场销售量的上限是：表 3 产品的市场销售量上限（件/月）产品 1 2 3 4 5 6 7一月 500 1000 300 300 800 200 100二月 600 500 200 0 400 300 150三月 300 600 0 0 500 400 100四月 200 300 400 500 200 0 100五月 0 100 500 100 1000 300 0六月 500 500 100 300 1100 500 60每种产品的最大库存量为 100 件，库存费用为每件每月 0.5 元，在一月初，所有产品都没有库存；而要求在六
5、月底，每种产品都有 50 件库存。工厂每天开两班，每班 8 小时，为简单起见，假定每月都工作 24 天。其中，生产过程中，各种工序没有先后次序的要求。问题 1: 制定六个月的生产、库存、销售计划, 使六个月的总利润最大。问题 2: 在不改变以上计划的前提下, 哪几个月中哪些产品的销售上限可以提高以达到增加利润的目的。销售量上限提高的幅度是多大?问题 3: 哪些设备的能力应该增加? 请列出购置新设备的优先顺序。问题 4: 是否可以通过调整现有的设备检修计划来提高利润? 提出一个新的设备检修计划, 使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。问题 5: 对上述生产计划问题。构造一个
6、最优设备检修计划模型,使在这半年中各设备的检修台数满足题中的要求而使利润为最大。二、问题的分析与假设问题分析：设第 i 种产品第 j 月的生产量为 ；ijX第 i 种产品第 j 月的库存为 。 其中 i=1,27;j=1,26ijR设 为第 j 种产品单位产品的利润，则jP=(10.00,6.00,3.00,4.00,1.00,9.00,3.00);j将该厂的设备按磨床，立式钻床，水平钻床，镗床，刨床这种顺序依次排列，则第 k 种设备加工第 i 种产品需要的工作时间（小时/件）为 ， 为一kiTi个 57 的矩阵： = 。kiT0.5 7. 0.3 2.50 126. 6.8 . . 18 0
7、. . 0.5 .由于从一月份到六月份中每个月都有需要检修的设备，而且在检修的月份，被检修的设备全月不能用于生产，根据设备的检修计划表，再结合该机械加工厂中各种设备的台数，得出第 k 种设备在第 j 个月中可以使用台数的矩阵 ，kjN其中 为一个 56 的矩阵： = 。kjNkjN3 4 261 0 由于在每个月中每种产品都有市场销售量上限，根据产品市场销量上限可得出第 i 种产品第 j 月份的市场销售上限矩阵 ，其中 为一个 76 的矩ijSCij阵： = 。ijSC50 6 30 2 5011 4 380 50 2 02351 1 61. 每种产品的最大库存量为 100 件，并且在 6 月
8、底每种产品都有 50 件库存，所以可以得到库存的约束条件：100 (1)Rij=50 (2) 6i2. 每个月每种产品都有市场销售上限，根据产品生产数量与产品库存量之间的关系，可以得出：a一月份：因为所有产品在月初都没有库存，所以在一月份每种产品的销售量等于该产品的生产量减去该产品的库存量；而且销售量不大于该月的销售上限，即， （i=1，27） (3)11iiiXRSCb二月份到六月份：由于产品在上个月有库存量的关系，所以，这五个月中每个月产品的销售量等于该月每种产品的生产量加上上个月的该产品的库存量再减去当月该产品库存量，并且产品的销售量不大于其当月的销售上限，即， （i=2，37;j=1,
9、26） 。 (4)(1)ijijijijXRSC3.该机械加工厂每天开两班，每班 8 小时，据题假定每月工作 24 天，则每个月功设备加工产品的工作时间为 2428=384 小时，得到第 k 种设备在第 j 个月中最大加工产品时间为 384 ，所以是时间的限制为 TkjkjN; (5)384kijiiTX问题假设：1、成本不会因为设备修检而发生改变；2、产品的生产不会受修检方案的影响；3、产品的生产、库存、销售均为整数；4、生产过程中，各种工序没有先后次序的要求；三、符号表示1、 ：第 i 种产品的单位产品利润；iP2、 :第 i 种产品在第 j 个月的生产量；ijX3、 ：第 i 种产品在第
10、 j 个月的库存；ijR4、 :第 i 种产品在第 j 个月的市场销售上限；ijSC5、 :第 k 台机器在第 j 个月内能使用的台数；jN6、 :第 k 台机器生产第 i 种产品所用的时间。iT四、模型的建立与求解问题 制定六个月的生产、库存、销售计划，使六个月的总利润最大。通过上面的问题分析，建立线性规划模型:目标函数为六个月的总利润 Y：Y= 76150.5ijjijijXPR约束条件为：100 ；Rij=50；6i；11iiiXSC； 其中 i=1，27；j=1,26()ijijijijR;384kijikiTN其中 ， ， 均为整数；ijXijj利用 lingo 软件求解，程序如下：
11、model:!机械产品生产计划SETS:months/mon1.mon6/;products/pro1.pro7/:P;machines/ma1.ma5/;links(products,months):X,R,SC;number(machines,months):N;links1(machines,products):T;ENDSETS!目标函数;max=sum(products(i):(sum(months(j):X(i,j)-50)*P(i)-sum(links(i,j):R(i,j)*0.5);!销量;for(links(i,j)|j#EQ#1:X(i,1)-R(i,1)镗床立钻水平钻,
12、而磨床则无须购买了。问题 4、能否可以通过调整现有设备的修检计划来提高利润？提出一个新的设备检修计划，使原来计划检修的设备在这半年中都得到检修而使利润尽可能增加。由问题（3）分析的数据可知，磨床在每个月中松弛变量都不为 0，约束条件为非紧约束，则相应的增加一个小时，其总利润不变；立式钻床在第二个月中松弛变量为 0，约束条件为紧约束，每多工作一小时总利润增加 100，远远大于其他月份的总利润，则其他月份的获利可不考虑。则在二月份可减少立式钻床的检修；水平钻床每多工作一小时，其总利润增加幅度不大，可不考虑；镗床在第三月份每多工作一小时总利润增加 200，其他月份均为 0，则镗床在第三月份可考虑不检
13、修；刨床在第六月份每多工作一小时总利润增加 220，在其他月份都为 0，则刨床在第六月份可不考虑检修；根据题意，为了到达最大利润可考虑不同的计划。得到每种设备在每个月的计划检修表如下 ：表 6月份 1 2 3 4 5 6磨床 1 1 1 1 1 1立式钻床 1 0 1 0 0 1水平钻床 0 1 1 1 0 0镗床 1 1 0 1 1 1刨床 1 1 1 1 1 0（注释：1 表示设备在相应的月份可以检修，0 表示最好不要检修。 ）根据以上分析，我们设定的检修计划为：表 7 设备检修计划一月份 计划检修设备及台数 月份 计划检修设备及台数一 月 一台立式钻床 四月 一台立式钻床二 月 一台磨床和一台刨床 五月 一台磨床和一台立式钻床三 月 一台镗床和一台立式 钻床 六月 一台水平钻床此时 ，代入模型一可得，在此检修计划下所得的最大利润为4 3 12 0 kjN50011.5 元。
