1、0数学理科第 I 卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设全集 ，集合 ， ，则UR02Ax13By（ ） （自编）()CABA. B. C. D.2,3,1,01,2 计算设复数 ， ，则 在复平面内对应的点在 ( ) 3iziz221z（自编）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3从 2012 名学生中选取 50 名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从 2012 人中剔除 12 人，剩下的 2000 人 再按系统抽样的方法进行. 则每人入选的概率 ( )A不全
2、相等 B都相等，且为 1025C均不相等 D都相等，且为 4（改编）4设 、 表示两条直线， 、 表示两个 平面，下列命题中真命题是 ( )bc（改编）A若 ，则 B若/,./cb ./,/cb则C若 D若则c c则5下列四个函数： ，其中|,tan|xy|,lgxy),2sin(xyxy是偶函数，又在区间（0，1）内增的函数的个数是 ( ) （改编）A0 B1 C2 D36 254sina， ，则 )4cos(a的值为 （改编） 2（ ）A 1 B C D 57 117实数 、 满足不等式组 则 P= 的取值范围是( ) xy0,2.yx22)1yx（自编） A B C D 5,15,5,2
3、53,28有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能和乙站在一起，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有 （ ） （自编）A1200 种 B1330 种 C1320 种 D 600 种9已知条件 ： ，条件 ： ，则 是 的（ ） （改编）pa0q2apqA充分不必要条件 B 必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件10由直线 上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为 （ 1yx）（改编）A1 B C10 D73第卷（非选择题 共 100 分）二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。11一个五面体的三视图如下，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形
4、，部分边长如图所示，则此五面体的体积为 侧侧侧侧侧侧12222侧侧侧2112侧侧侧侧侧侧12222侧侧侧21112 展开式中 的系数为 (用数字作答). 521x4x（自编）13已知程序框图如右，则输出的 = i14.已知函数 有三个不同零点，则0log1)(3xaxf实数 的取值范围为-（改编）a15如图，第 个图形是由正 边形“扩展”而n*N2n来，则第 个图形中共有 个顶点16.在 中， ，AB=4，AC=2，D 是 BC 上的一点，DC=2BD ，则ABC012_（改编）D17.若实数 x,y 满足 ,则 的最小值是_（改编）42yx2yx三、解答题： 本大题共 5 小题，共 72 分
5、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（改编） (本题满分 14 分) 在ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且满足.0cos3scoAaCbB() 求 的值; () 若ABC 的面积是 , 求 的值.15AB开 始 1S结 束 3i10?Si输 出 2i*i是 否319.（本小题满分 14 分）已知数列 中， ， ，且 na123a112nna（1）设 ，是否存在实数 ，使数列 为等比数列若存在，求出nbb的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列 的前 项和 nanS20.（本小题满分 14 分）(（自编）已知长方形 的 AB=3，AD=4。 ACBDO将
6、长方形 沿对角线ABCDABCD折起，使 ，得到三棱锥 ，如图所示过 A 作 BD 的垂线交 BDa于 E。 （1）问 为何值时， ；E（2）当二面角 的大小为 时，求二面角 B的正切值AB0921（本小题满分 15 分）设椭圆 的右焦点为 ，直线 与 轴交于点2:1xyMa21F2:axlxABCDO4，若 （其中 为坐标原点）A12OF0O（1）求椭圆 的方程；M（2）设 是椭圆 上的任意一点， 为圆的任意一条直径（ 、 为直径的两个PEFEF端点），求 的最大值FE22（本小题满分 15 分）已知函数 的定义域为 I，导数 满足 且 ，常数 为方程fx()fx()2)( 0xffx()1
7、c1的实数根，常数 为方程 的实数根f0c2（1）若对任意 ，存在 ，使等式 abI， xab0， fbafx()()(0成立求证：方程 不存在异于 的实数根；f()c1（2）求证：当 时，总有 成立；xc2x2（3）对任意 ，若满足 ，求证： 1、 cc11， fxf()124参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 A C B C C D C A D B二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，满分 28 分11 2 1220 139 14 15.10a256n16. 17.3021三、解答
8、题：(18) ( ) 解: 利用正弦定理 , 得CcBbAasinisinsinCcosB+sinBcosC = 3sinAcosA,sin(B+C) = 3sinAcosA,即 sinA = 4cosAsinA,所以 cosA = . (7 分)() 解: 由(I), 得31sinA = ,由题意 ,得 bcsinA ,221ABCS5所以 bc = ,因此 . (14 分)30519（本小题满分 14 分）（1）方法 1：假设存在实数 ，使数列 为等比数列，nb则有 1 分23b由 ， ，且 ，得 ， 1a2112nna35a4所以 ， ， ，2 分13b335ba所以 ，2535解得 或
9、 3 分当 时， ， ，且 ，11nnba11nba214ba有 4 分1112nnn当 时， ， ，且 ，2ba12nba21ba有 5 分112nnnaab2所以存在实数 ，使数列 为等比数列nb当 时，数列 为首项是 、公比是 的等比数列；142当 时，数列 为首项是 、公比是 的等比数列6 分2n1方法 2：假设存在实数 ，使数列 为等比数列，nb设 ，1 分1nbq即 ，2 分1nnaa即 3 分1q与已知 比较，令 4 分112nna1,2.q解得 或 5 分所以存在实数 ，使数列 为等比数列nb当 时，数列 为首项是 、公比是 的等比数列；142当 时，数列 为首项是 、公比是
10、的等比数列6 分2n1（2）解法 1：由（1）知 ，7 分1nna当 为偶数时， 8 分n 1234561n nSaa 10 分 2462n221443n当 为奇数时， 11 分n13451n nSaaa13 分3512n1228543nn故数列 的前 项和 14 分na214,35,nnS为 偶 数 ，为 奇 数 .注：若将上述和式合并，即得 21143nnn20（本小题满分 14 分）（1）证明：根据题意，在 中， ，AE=12/5ABDEBD=5,DE=9/5,cosDB C=4/5，可得 =。2 分 51932C当 为直角三角形时，即 时，4 分ACE7aBD,所以 7 分 CDAE，
11、面（2） 二面角 的大小为 ， ，过 E 作 BC 的垂线交 BC09BAEBCD面于 F，连接 AF， ， ， 就是二面角FB, AF，面 ABCD的平面角,EF=27/25,而 AE=12/5， 920tan方法 2：建立坐标系来解。21. （本小题满分 15 分）（1）由题设知， ， ，1 分2,0aA21,0Fa由 ，得 3 分12OF 22解得 6a所以椭圆 的方程为 4 分M126:yx（2）方法 1：设圆 的圆心为 ，:2NN则 6 分PFEPF7 分8 分221NPF从而求 的最大值转化为求 的最大值 9 分E NP因为 是椭圆 上的任意一点，设 ， 10 分M0,yx所以 ，
12、即 11 分1260yx202036x因为点 ，所以 13 分,N120202 yyP因为 ，所以当 时， 取得最大值 12 14 分0y1NP所以 的最大值为 1115 分FPE方法 2：设点 ，120(,)(,)(,)xyxy因为 的中点坐标为 ，所以 6 分,21,4.所以 7 分 10201020()()PEFxxyy1010()4xy221010xy9 分20 1()yx因为点 在圆 上，所以 ，即 10 分EN21y2143xy因为点 在椭圆 上，所以 ，即 11 分PM206x22006所以 1 2 分EF2049y20(1)y因为 ，所以当 时， 14 分0,ymin1PEF方
13、法 3：若直线 的斜率存在，设 的方程为 ，6 分EF2ykx由 ，解得 7 分1)2(2yxk12kx因为 是椭圆 上的任一点，设点 ，PM0,yP所以 ，即 8 分1260yx202036yx所以 ，0022,1kPEk 00221,1kPFxyk 9 分所以 )()(1)( 2020202020 yyxkykxF10 分因为 ，所以当 时， 取得最大值 1111 分0,y0PFE若直线 的斜率不存在，此时 的方程为 ， E0x由 ，解得 或 22()1xyy3不妨设， ， 12 分0,3,F因为 是椭圆 上的任一点，设点 ，PM0,yxP所以 ，即 1260yx202036x所以 ， 0,3PE0,1PFy所以 2 24()xy 因为 ，所以当 时， 取得最大值 1114 分0,y0PFE综上可知， 的最大值为 1115 分22（本小题满分 15 分）证明：（1）假设方程 有异于 的实根 m，即 ，fx()0c1f()则有 成立mccfx110()因为 ，所以必有 ，这与 矛盾，fx()0因此方程 不存在异于 的实数根4 分fx()c1（2）令 ， 函数 为减函数hxhfx()220， hx()又 ，当 时， ，即 成立8 分 cfc()20c2()f2（3）不妨设 ， 为增函数，即 x1 ， fxfx()0xf()12
