1、求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。一、利用公式法求通项公式例 1 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。a
2、nn1n23aa1an解： 两边除以 ，得 ，则 ，n23a 23n231故数列 是以 为首，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得n1a2，所以数列 的通项公式为 。23)1(2ann nn2)3(a评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明1223an1数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出2an )(an数列 的通项公式。二、利用累加法求通项公式例 2 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1an2a1n， an解：由 21n得 a则 1232n1nn a)()a()a()( 1)n(2)1( 1 所以数列 的通项公式为a2na评注：本题解题
3、的关键是把递推关系式 转化为 ，进1n2a1n 1n2a1n而求出 ，即得数列 的通项公32n1n a)()()()( 式。例 3 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a1an1n， an解：由 132an1n得 则 1232n1nn a)()a()a()( )(33(2 3121 1 所以 nann 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，132an1 132an1n进而求出 ，即得数列 的通项32n1n a)()()a()( 公式。例 4 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an a1an1n， an解： 两边除以 ，得32a1n 3，1n3则 ，1n3a故 3a)()3
4、a()a()(3 12n22n11n 132) 22n )3(1n 因此 ，nnn 3213)()(2a 则 213n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为1an1n，进而求出 +1nn132a3 )3a()3()3a( n22，即得数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。)(2 n n三、利用累乘法求通项公式例 5 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 3a5)1n(21n1， an解：因为 ，所以 ，则 ，3a5)1n(2a1n1， 0annn15)(2a则 1232n1n 35)1(25)(5)(5)(2 n 3312)(11n 所以数列 的通项公式为a!n5232)1(n
5、评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进n1na5)(2ann15)(2而求出 ，即得数列 的通项公式。1232n1aa 例 6 （2004 年全国 15 题）已知数列 满足an)1n(a3a1a21n ，则 的通项)()(n2n!1an，解：因为 )()(3a211n 所以 nana所以式式得 1n则 )2()(1n则 an所以 232n1aa2!4)(n 由 ，取 n=2 得 ，则 ，)n(a)1(a3a21 212a1a又知 ，则 ，代入得。!n54n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为)2n(a)1(an（n2） ，进而求出 ，从而可得当 n2 时 的表达式，1an 232
6、n1aa na最后再求出数列 的通项公式。a四、利用待定系数法求通项公式例 7 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 6a53a21n1n， an解：设 )x(5x11n将 代入式，得 ，等式两边消去n32a nn1n5x2x，得 ，两边除以 ，得 ，则 x=1，代入式，n n12 53得 )5a(5nn1由 0 及式，得 ，则 ，则数列6a0an25an1是以 为首项，以 2 为公比的等比数列，则 ，故5n15 1n。12评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为n1n53a，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的)5a(5an1n 5an通项公式，最后再求出数列 的通项公式。an
7、例 8 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 1a4253n1n ， an解：设 )yxa(y2xa11n将 代入式，得453n)2(3n1n 整理得 。yxy2)x(令 ，则 ，代入式，得3y455)2a(2an1n1n 由 及式，0135得 ，则 ，an 325an1n故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，25n 11因此 ，则 。1n3a25nnn评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为4a31，从而可知数列 是等比数列，进而求)25a(325an1n1n 25an出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 n例 9 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 1a5
8、43a22n1 ， an解：设 z)(y)(x21nza(22将 代入式，得5n43n1 z)1(y)(x22n ，则zyxa(2n2)5()4()3n等式两边消去 ，得 ，a z2ynx2)5zyx(n)4yx2()3( 则得方程组 ，则 ，代入式，得z5yx421803)1n(0)(3a1n )na(22n由 及式，得0382 n则 ，故数列 为以218n03a)()(2n1 18n03a2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此32，则 。n 1a4n评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为5n43a2n，从而可知数列)803(218)n(0)1(3a 2n21n 是等比数列，进而求出
9、数列 的通项公式，最后 180再求出数列 的通项公式。an五、利用对数变换法求通项公式例 10 已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。an5n1na3271an解：因为 ，所以 。在 式两边取常73251n， 0n， 5n1a32用对数得 lglgln设 )yxna(y)(xag1n 11将式代入 式，得 ，两边消去11 )yxna(lg5y)1n(x2lg3nalg5 并整理，得 ，则nalg5 5yx)3(，故y52lx3l42lg16代入 式，得11 l3)n(lalg1n42l634(l5n12由 及 式，042lg63lg7l1galg1 12得 ，042l63n4ll 则 ，5
10、42lg163n4lgal)(n1 所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的lll 42lg163l7g等比数列，则 ，因此1nn 5)4(l2163g4ag 2l63n5)l3l7(algnn 1n4645)2lg3llg7( )lg)237lg(2ll 164n141644164 1(，则)237()3lg( 451n455n5n1n nn 。4156n45n7a评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5n1naa，从而可知数列)42lg634lga(l542lg163)(4lgl n1n 是等比数列，进而求出数列 的通项l3a 42lg163laln公式，最后再求出数列 的
11、通项公式。an六、利用迭代法求通项公式例 11 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 5a12)n(31， an解：因为 ，所以2)1(3n1n2n1n3)1(323aa2)1n(1n )1n(2)3n(211n )1n(2)3n(3 )(2)n(!3)()(n)(aa 又 ，所以数列 的通项公式为 。51an 2)1n(1n!35a评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式，即先将等式两边取常用对数得 ，即 ，再n2)(31na n1nalg)(lgnn12)(3l由累乘法可推知 ，从而2)1(1!1232n1n 5llallalg 2)1(!n315a七、利用数学归纳法
12、求通项公式例 12 已知数列 满足 ，求数列 的通项an 98a)3n2()1(8a1n1 ， an公式。解：由 及 ，得22n1)3()(8a 912212(54984982534)32()1(a2381049)32()(a34由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论。2n)(a（1）当 n=1 时， ，所以等式成立。98)12(a1（2）假设当 n=k 时等式成立，即 ，则当 时，2k)1(a1kn22k1)3()1(8a22222222)3k()1(1k)k(8)()()(3k11k )()()(22)()(3由此可知，当 n=k+1 时等式也成立。根据（1） （2）可知，等式对任何
13、*Nn评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、利用换元法求通项公式例 13 已知数列 满足 ，求数列 的通项an 1a)241a(16nnn ， an公式。解：令 ，则nn241b)b(24nn故 ，代入 得)(a11 )a241a16anb)(246)b(24nnn即 13因为 ，故0ann0a2411nn则 ，即 ，b21 3b1可化为 ，)3b(21nn所以 是以 为首项，以 为公比的等比3b 23143a2411 21数列，因此 ，则 +3，即 ，得nnn)( n)(b 3)(a4n。3)2(413an评
14、注：本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化na241nb形式，从而可知数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公bn1n 3b3bn式，最后再求出数列 的通项公式。an九、利用不动点法求通项公式例 14 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。an 4a142n1n， an解：令 ，得 ，则 是函数x4210x2 3x21，的两个不动点。因为2)x(f。 ，所以数列91327a6)14(32a13a4213a nnnnn1n a2n是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，n1 93n1n)9(则 。3)9(2an评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的1x42)
15、(f1x42两个根 ，进而可推出 ，从而可知数列 为等比3x21， 3a93an1n 3an数列，再求出数列 的通项公式，最后求出数列 的通项公式。an例 15 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。n 2a3271n1， an解：令 ，得 ，则 x=1 是函数 的不动点。3x270x4)x(f7413因为 ，所以3a2513a271nnn ，所以数列 是以1an 521a)2(515nnnn 1an为首项，以 为公差的等差数列，则 ，故22 52)(。3n8a评注：本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的根7x413)(f3x27，进而可推出 ，从而可知数列 为等差数列，再求出数列1x521an1n an的通项公式，最后求出数列 的通项公式。an十、利用特征根法求通项公式例 16 已知数列 满足 ，求数列 的通项公an 1a)2n(a321n1 ， an式。解： 的相应特征方程为 ，解之求特征根是)2(3a1n1n 03，所以 。5251， 25c25ca1n由初始值 ，得方程组a212211)53(c)53(c求得 52c1从而 。nnn )253(5)3(a 评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 ，从而可得数21c，列 的通项公式。n3.3 递推数列
